On passe en revue les résultats de l'auteur sur la fonction $\beta$ de Mather.

Le mémoire constitue un panorama sur l'évolution des variables d'action pour les systèmes presque intégrables. C'est le problème de la diffusion d'Arnold. J'aborde la construction d'Arnold, ainsi que les méthodes variationnelles issues des travaux plus récents de John Mather. J'explique ce qu'est le large gap problem, et j'introduis la relation d'équivalence sur les variables d'action qui m'a permis d'obtenir une solution à ce problème.

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans une première partie, on donne une description nouvelle des points récurrents par chaînes d'un système dynamique comme ensemble d'Aubry projeté d'une barrière ultramétrique. Cette approche permet de munir l'ensemble des composantes transitives par chaînes d'une structure d'espace ultramétrique expliquant leur topologie totalement discontinue, et de retrouver un théorème célèbre de Charles Conley concernant l'existence de fonctions de Lyapunov décroissant strictement le long des orbites non-récurrentes par chaînes. Dans une deuxième partie, on développe une théorie d'Aubry-Mather pour les homéomorphismes d'un espace métrique compact. On introduit dans ce cadre un ensemble d'Aubry métrique, puis topologique, ainsi qu'un ensemble de Mañé. Ces notions, plus fines que la récurrence par chaînes, permettent de mieux comprendre les fonctions de Lyapunov d'un tel système dynamique. Dans une dernière partie, on montre un résultat général de densité de certains contre-exemples au théorème de Sard pour lesquels l'ensemble des points critiques est un arc topologique et on donne des applications dynamiques de ce résultat. Celles-ci sont liées à des problèmes d'unicité, à constantes près, des solutions KAM faibles (ou solutions de viscosité) de certaines équations d'Hamilton-Jacobi.

La première moitié de ce mémoire est consacrée à la théorie KAM et au théorème d'Arnold sur la stabilité des systèmes planétaires. Ce travail a fait l'objet d'un article en préparation et d'une publication~:\footnote{ \url{http://people.math.jussieu.fr/~fejoz/articles.html}} -- ''Twisted conjugacies and invariant tori theorems''~\cite{Fejoz:2010a}. Je redémontre une forme normale de champs de vecteurs due à Moser~\cite{Moser:1967}, pour les perturbations de champs de vecteurs admettant un tore invariant quasi-périodique diophantien. Cette forme normale, que j'appelle une \emph{conjugaison tordue} est une porte d'entrée pour démontrer des théorèmes de tores invariants dus à Kolmogorov, Arnold, Rüssmann et Herman, ainsi que d'autres théorèmes, par exemple pour des champs de vecteurs dissipatifs. J'introduis une notion de \emph{conjugaison hypothétique}, comme un intermédiaire commun aux théorèmes de tores invariants avec une condition de non-dégénérescence faible, améliore certaines estimations sur la dépendance fonctionnelle de la forme normale, et donne quelques applications nouvelles à la mécanique céleste. -- ''Démonstration du théorème d'Arnold sur la stabilité du système planétaire (d'après Herman)''~\cite{Fejoz:2004}. Cet article donne une démonstration du théorème d'Arnold pour $N$ planètes dans l'espace $\R^3$. La démonstration de~\cite{Fejoz:2010a} est une clarification et une amélioration de la partie abstraite de ~\cite{Fejoz:2004}. Arnold avait publié le résultat remarquable suivant~: dans le problème planétaire newtonien à $N$ planètes, si les masses des planètes sont assez petites, il existe dans l'espace des phases un sous-ensemble invariant de mesure de Lebesgue strictement positive, formé de tores invariants quasipériodiques de dimension $3N-1$~\cite{Arnold:1963}. La suggestion d'Arnold pour le démontrer en toute généralité était de fixer la direction du moment cinétique, pour se débarrasser de la dégénérescence due à l'invariance par rotation, puis d'appliquer sa version dégénérée du théorème de Kolmogorov pour trouver des tores lagrangiens invariants au voisinage de la singularité séculaire elliptique (mouvements képlériens elliptiques circulaires horizontaux). Cette stratégie de réduction partielle ne marche pas à cause d'une résonance mystérieuse, découverte par Herman, qui généralise à $N$ planètes une résonance déjà connue de Clairaut dans le problème de la lune. Cette résonance n'avait pas été remarquée dans le cas de $2$ planètes, où la réduction des noeuds de Jacobi permet de réduire complètement le problème par la symétrie de rotation, en coordonnées de Delaunay (je rappelle en appendice la définition de ces coordonnées, et propose une nouvelle démonstration de leur caractère symplectique). Ici, je démontre par récurrence sur le nombre de planètes, en suivant les idées d'Herman, que l'image locale de l'application fréquence (vue comme fonction des demi grands axes des planètes) est contenue dans un plan vectoriel de codimension deux, mais dans aucun plan vectoriel de codimension supérieure. Un argument de la théorie des intersections lagrangiennes permet alors d'appliquer un théorème de tores invariants qui ne requiert qu'une faible condition de non-dégénérescence. La seconde moitié de ce mémoire traite d'orbites périodiques et relativement périodiques (i.e. périodiques en repère tournant), dans le problème global des $N$ corps. Elle aussi est basée sur deux articles. -- ''The flow of the equal-mass spatial 3-body problem in the neighborhood of the equilateral relative equilibrium'' (avec A. Chenciner)~\cite{Chenciner:2008}. Nous démontrons qu'exactement deux familles de solutions relativement périodiques bifurquent de la solution d'équilibre relatif de Lagrange~: la famille homographique et la famille $\mathcal{P}_{12}$. De plus, en restriction à la variété centrale de dimension $4$ de l'équilibre relatif de Lagrange, la dynamique locale est une application twist d'un anneau de section, bordé par les deux familles. Un autre article montre que la famille $\mathcal{P}_{12}$ se termine, de l'autre côté, à la solution en Huit de Chenciner-Montgomery~\cite{Chenciner:2005a}. Entre ces deux extrémités, on sait que la famille $\mathcal{P}_{12}$ existe comme famille des minima de l'action lagrangienne parmi les lacets possédant sa classe de symétrie. Une telle famille pourrait a priori être non unique, ou discontinue, mais les expériences numériques ne laissent guère de doute (voir la figure dans la préface). -- ''Unchained polygons and the {$N$}-body problem'' (avec A. Chenciner)~\cite{Chenciner:2009}. L'équilibre relatif de Lagrange apparaît dans ce qui précède comme le centre organisateur du Huit. Nous montrons que le même phénomène se produit avec l'équilibre relatif du carré à quatre masses égales, qui apparaît comme centre organisateur de la famille du Hip-Hop. Plus généralement, beaucoup de classes de solutions récemment découvertes appartiennent aux familles de Lyapunov issues d'équilibres relatifs symétriques. Dans un repère tournant où elles deviennent périodiques, ces familles acquièrent des symétries remarquables. Nous étudions la possibilité de les prolonger globalement comme minima de l'action lagrangienne en un repère tournant, au sein de leur classe de symétrie. Une étape préliminaire est de déterminer les intervalles de la fréquence de rotation du repère sur lesquels un équilibre relatif est l'unique minimum absolu de l'action. Nous nous focalisons ensuite sur notre exemple principal, l'équilibre relatif du polygone régulier à $N$ sommets. L'existence locale de familles de Lyapunov verticales repose sur le fait que la restriction de la partie quadratique de l'énergie aux directions centrales est définie positive. Nous calculons les groupes de symétrie $G_{\frac rs}(N,k,\eta)$ des familles de Lyapunov verticales, et les utilisons pour prolonger les familles globalement. Les exemples paradigmatiques sont les familles de Huits pour un nombre impair de corps et les familles de Hip-Hops pour un nombre pair. Ce sont précisément les éléments de ces deux types de familles qui peuvent être des minima globaux. Dans les autres cas, des obstructions apparaissent, qui sont dues à des isomorphismes entre les groupes de symétrie de différentes famille~; c'est le cas des \emph{chaînes chorégraphiques}, dont les éléments sont seulement des minima locaux (sauf pour $N=3$). Une autre particularité intéressante de ces chaînes est le rôle décisif joué par la parité, en particulier à travers la valeur prise par le moment cinétique. Pour les familles de Lyapunov bifurquant d'un polygone à au plus $6$ sommets, nous vérifions en outre que la torsion locale est non dégénérée, ce qui justifie de prendre la rotation du repère comme paramètre. Cet article montre la fécondité des considérations de symétrie, comme technique de démonstration mais aussi comme guide heuristique dans la recherche de solutions remarquables. Le problème des $n$ corps, depuis longtemps à l'origine de nombreuses théories mathématiques, garde entier, de part la variété des techniques nécessaires à son étude, son pouvoir de fascination.

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans une première partie, on donne une description nouvelle des points récurrents par chaînes d'un système dynamique comme ensemble d'Aubry projeté d'une barrière ultramétrique. Cette approche permet de munir l'ensemble des composantes transitives par chaînes d'une structure d'espace ultramétrique expliquant leur topologie totalement discontinue, et de retrouver un théorème célèbre de Charles Conley concernant l'existence de fonctions de Lyapunov décroissant strictement le long des orbites non-récurrentes par chaînes. Dans une deuxième partie, on développe une théorie d'Aubry-Mather pour les homéomorphismes d'un espace métrique compact. On introduit dans ce cadre un ensemble d'Aubry métrique, puis topologique, ainsi qu'un ensemble de Mañé. Ces notions, plus fines que la récurrence par chaînes, permettent de mieux comprendre les fonctions de Lyapunov d'un tel système dynamique. Dans une dernière partie, on montre un résultat général de densité de certains contre-exemples au théorème de Sard pour lesquels l'ensemble des points critiques est un arc topologique et on donne des applications dynamiques de ce résultat. Celles-ci sont liées à des problèmes d'unicité, à constantes près, des solutions KAM faibles (ou solutions de viscosité) de certaines équations d'Hamilton-Jacobi. / This thesis is divided into three parts. In the first part, we give a new description of chain-recurrence using an ultrametric barrier. This barrier allows to endow the space of chain-transitive components with an ultrametric structure, explaining its topology and leading to the famous result of Charles Conley about Lyapunov function decreasing along non chain-recurrent orbits. Most of the results, first given in the setting of a continuous map on a compact metric space are then generalised to multivalued map on arbitrary separable metric spaces. In the second part, we develop an Aubry-Mather theory for a homeomorphism on a compact metric space. In this setting, we introduce metric and topological Aubry set and Mañé set, allowing a better understanding of Lyapunov functions arising in such a dynamical system. In the last part, we prove a general density result for some counterexamples of Sard's theorem for which the set of critical points is a topological arc and we give applications to dynamics.

Dans cette thèse nous étudions la dynamique engendrée par une famille de flots Hamiltoniens. Un tel système dynamique à plusieurs générateurs est aussi appelé 'polysystème'. Motivés par des questions liées au phénomène de la diffusion d'Arnold, notre objectif est de construire des trajectoires du polysystème qui relient deux régions lointaines de l'espace des phases. La thèse est divisée en trois parties.Dans la première partie, nous considérons le polysystème engendré par les flots discrétisés d'une famille d'Hamiltoniens Tonelli. En utilisant une approche variationnelle issue de la théorie KAM faible, nous donnons des conditions suffisantes pour l'existence des trajectoires souhaitées.Dans la deuxième partie, nous traitons le cas d'un polysystème engendré par un couple de flots Hamiltoniens à temps continu, dont l'étude rentre dans le cadre de la théorie géométrique du contrôle. Dans ce contexte, nous montrons dans certains cas la transitivité d'un polysystème générique, à l'aide du théorème de transversalité de Thom.La dernière partie de la thèse est dédiée à obtenir une nouvelle version du théorème de transversalité de Thom s'exprimant en termes d'ensembles rectifiables de codimension positive. Dans cette partie il n'est pas question de polysystèmes, ni d'Hamiltoniens. Néanmoins, les résultats obtenus ici sont utilisés dans la deuxième partie de la thèse

Dans cette thèse nous étudions la dynamique engendrée par une famille de flots Hamiltoniens. Un tel système dynamique à plusieurs générateurs est aussi appelé ‘polysystème’. Motivés par des questions liées au phénomène de la diffusion d’Arnold, notre objectif est de construire des trajectoires du polysystème qui relient deux régions lointaines de l’espace des phases. La thèse est divisée en trois parties.Dans la première partie, nous considérons le polysystème engendré par les flots discrétisés d’une famille d’Hamiltoniens Tonelli. En utilisant une approche variationnelle issue de la théorie KAM faible, nous donnons des conditions suffisantes pour l’existence des trajectoires souhaitées.Dans la deuxième partie, nous traitons le cas d’un polysystème engendré par un couple de flots Hamiltoniens à temps continu, dont l’étude rentre dans le cadre de la théorie géométrique du contrôle. Dans ce contexte, nous montrons dans certains cas la transitivité d’un polysystème générique, à l’aide du théorème de transversalité de Thom.La dernière partie de la thèse est dédiée à obtenir une nouvelle version du théorème de transversalité de Thom s’exprimant en termes d’ensembles rectifiables de codimension positive. Dans cette partie il n’est pas question de polysystèmes, ni d’Hamiltoniens. Néanmoins, les résultats obtenus ici sont utilisés dans la deuxième partie de la thèse / In this thesis we study the dynamics generated by a family of Hamiltonian flows. Such a dynamical system with several generators is also called ‘polysystem’.Motivated by some questions related to the phenomenon of Arnold diffusion, our aim is to construct trajectories of the polysystem which connect two far-apart regions of the phase space.The thesis is divided into three parts.In the first part, we consider the polysystem generated by the time-onemaps of a family of Tonelli Hamiltonians. By using a variational approach falling within the framework of weak KAM theory, we give sufficient conditions for the existence of the desired trajectories.In the second part, we address the case of a polysystem generated by twocontinuous-time Hamiltonian flows. This problem fits into the framework of geometriccontrol theory. In this context, we show in some cases the transitivity of a generic polysystem, by means of Thom’s transversality theorem.The third and last part of the thesis is devoted to the proof of a newversion of Thom’s transversality theorem, formulated in terms of rectifiable sets of positive codimension. Neither polysystems nor Hamiltonians are explicitly involved in this part. However, the results obtained here are used in the second part of the thesis.