Dans cette thèse, on s'est intéressé à la dynamique des poches de tourbillon pour des équations issues de la mécanique des fluides posées dans le plan. La thèse est composée de trois partie indépendantes. Un des objectifs est d'établir l'existence des tourbillons uniformément concentrés et rigides, c’est-à-dire, qui ne se déforment pas lors de l'évolution. Nous analysons deux configurations liées à la nature topologique du support: poches simplement et doublement connexes. Nos solutions sont obtenues via des techniques de bifurcations et d'analyse complexe. Le deuxième objectif est d'obtenir des précisions sur la structure globale du diagramme de bifurcation et sa réponse vis-à-vis des petites perturbations dans le modèle. Plus précisément, dans le deuxième chapitre on prouve l'existence de V-states doublement connexes dans un voisinage de l'anneau pour le modèle des surfaces quasi-géostrophique. On montre que l'on peut construire des branches de solutions qui sont des anneaux perturbés pour certaines valeurs explicites de vitesses angulaires qui sont liées aux fonctions hypergéométriques de Gauss et aux fonctions de Bessel. Le troisième chapitre porte sur l'étude de la structure du diagramme de bifurcation dans le cas doublement connexes pour l'équation d'Euler. Numériquement, près d'un cas dégénéré, les deux branches issues des deux vitesses angulaires possibles semblaient se rejoindre pour former un lacet. Nous avons prouvé analytiquement ce résultat. Le quatrième chapitre porte sur le modèle shallow water quasi-géostrophique. Dans une première partie, on prouve l'existence de V-states simplement connexes dans un voisinage du tourbillon de Rankine pour un nombre dénombrable de vitesses angulaires liées aux fonctions de Bessel modifiées. La deuxième partie porte sur la réponse du diagramme de bifurcation lorsque l'on fait varier un paramètre du modèle. On montre en particulier qu'une singularité présente lors d'un cas limite est éclatée. Notre étude analytique a été complétée par des simulations numériques portant sur les V-states limites pour les symétries deux et trois. / In this dissertation, we are concerned with the vortex dynamics for some equations arising in fluid mechanics. We distinguish three independent parts. One of the objectives is to prove the existence of uniformly concentrated rigid vortices, they do not change their shapes during the motion. We examine two configurations related to the topological nature of the support: simply and doubly connected vortex patches. Our solutions are obtained using bifurcation arguments and complex analysis tools. The second objective is to obtain some precisions on the global structure of the bifurcation diagram and its response to small perturbations. More precisely, in the second chapter we prove the existence of doubly connected V-states in a neighborhood of the annulus for the surface quasi-geostrophic model. We check that we can construct some branches of solutions which are perturbated annulus at some angular velocities related to hypergeometric Gauss functions and Bessel functions. The goal of the third chapter is to study the structure of the bifurcation diagram in the doubly connected case for Euler equations. Numerically, close to a degenerate case, the two branches of solutions come from the two angular velocities seems to merge to form a loop. We prove analytically this result. In the last chapter, we focus on the shallow quasi-geostrophic model. In the first part, we prove the existence of the simply V-states in a neighborhood of the Rankine Vortices for a countable number of angular velocities related to modified Bessel functions. In the second part, we study the reaction of the diagram bifurcation for small perturbations of the parameter. In particular, we prove that some singularities are broken due to a resonance phenomenon. Our analytical study is completed by numerical simulations on the limiting V-states for the two and three fold symetries.

Dans cette thèse, nous avons étudié le problème de l'estimation de mouvement chez les mammifères et nous proposons que passer à l’échelle des modèles ancrés dans la biologie pour les applications du monde réel peut nous donner de nouvelles perspectives en vision biologique. En utilisant un modèle classique qui décrit l'activité des neurones dans les aires corticales V1 et MT du cerveau des primates, nous avons proposé une architecture montante pour l'estimation de mouvement et l’avons évaluée sur des exemples de référence de vision par ordinateur (une première pour ce type de modèles), révélant des lacunes telles que le manque de sélectivité au niveau des frontières de mouvement et l'absence d'association spatiale du champ de vitesses. Pour y remédier, nous avons proposé deux extensions, une stratégie d’intégration modulée par la forme pour minimiser les erreurs aux discontinuités de texture et un schéma de régression pour le décodage. Ces extensions ont amélioré la précision de l'estimation, mais aussi souligné à nouveau le débat sur le rôle des différents types de cellules dans le codage mouvement, par exemple le rôle relatif des cellules “pattern” par rapport aux cellules “component”. Pour comprendre cela, nous avons utilisé un modèle de champs neuronaux représentant une population de cellules MT pour comprendre le rôle des récurrences. Nos résultats montrent qu'une variété de comportements peuvent être reproduits, ils expliquent les changements dynamiques en fonction des stimuli, et nous conduisent à remettre en cause les régimes élevés d'inhibition généralement choisis dans la littérature. / In this thesis, we studied the problem of motion estimation in mammals and propose that scaling up models rooted in biology for real world applications can give us fresh insights into the biological vision. Using a classic model that describes the activity of directionally-selective neurons in V1 and MT areas of macaque brain, we proposed a feedforward V1-MT architecture for motion estimation and benchmarked it on computer vision datasets (first publicly available evaluation for this kind of models), revealing interesting shortcomings such as lack of selectivity at motion boundaries and lack of spatial association of the flow field. To address these, we proposed two extensions, a form modulated pooling strategy to minimize errors at texture boundaries and a regression based decoding scheme. These extensions improved estimation accuracy but also reemphasized the debate about the role of different cell types (characterized by their tuning curves) in encoding motion, for example relative role of pattern cells versus component cells. To understand this, we used a phenomenological neural fields model representative of a population of directionally tuned MT cells to check whether different tuning behaviors could be reproduced by a recurrently interacting population or if we need different types of cells explicitly. Our results indicated that a variety of tuning behavior can be reproduced by a minimal network, explaining dynamical changes in the tuning with change of stimuli leading us to question the high inhibition regimes typically considered by models in the literature.

Ce mémoire présente une étude expérimentale et théorique de la locaisation dans les matériaux granulaires.<br /><br />La première partie se présente comme une revue des méthodes et théories de la mécanique des sols (ou plus généralement des solides) qui ont trait, de près ou de loin, à la rupture localisée. Les différentes approches sont examinées sous l'angle du rôle joué par la notion de déformation localisée. Les concepts de base de l'analyse de bifurcation par localisation en bande de cisaillement sont exposés, et les principaux travaux discutés.<br /><br />La seconde partie rend compte d'une étude expérimentale réalisée à l'essai biaxial, avec visualisation quantitative (mesure de champs de déformation) de l'apparition et du développement de la localisation au cours de l'essai. Une méthode de mesure de champs, la stéréophotogrammétrie de faux relief, a été développée et on l'expose en détail. Les résultats discutés concernent la naissance de la localisation, la façon dont elle se propage, les variations de volume au sein de la bande de cisaillement, le rôle des imperfections de l'essai.<br /><br />La partie théorique concerne l'analyse de bifurcation par localisation. Après avoir rapproché quelques études concernant le matériau élastoplastique non standard, et discuté le rôle de l'angle de dilatance dans ces prévisions, on s'intéresse à l'application du cadre classique de cette analyse aux cas des lois incrémentalement non linéaires; la nécessité d'une extension de ce cadre est avancée, et la mise en oeuvre du cadre élargi sur une loi heuristique permet d'illustrer la pertinence de cette approche générale.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique de quelques modèles d'évolution non-linéaires issus de la mécanique des fluides. Nous distinguons trois parties indépendantes. La première partie de la thèse traite essentiellement de l'existence des poches de tourbillon en rotation uniforme (appelées aussi V-states) pour un modèle quasi-géostrophique non visqueux. Notre étude est répartie sur deux chapitres où les poches présentent des structures topologiques différentes. Dans le premier chapitre nous étudions le cas simplement connexe et nous validons l'existence de ces structures dans un voisinage du tourbillon de Rankine en utilisant des techniques de bifurcation. Dans le deuxième chapitre nous abordons le cas doublement connexe où la poche admet un seul trou. Plus précisément, proche d'un anneau donné, nous décrivons cette famille par des branches dénombrables bifurquant de cet anneau à certaines valeurs explicites des vitesses angulaires liées aux fonctions de Bessel. Notre étude théorique a été complétée par des simulations numériques portant sur les V-states limites et un bon nombre de constatations ont été formulées ouvrant la porte à de nouvelles perspectives de recherche. La seconde partie concerne l'étude du problème de Cauchy pour le système de Boussinesq non visqueux 2D avec des données initiales de type Yudovich. Le problème est dans un certain sens critique à cause de quelques termes comportant la transformée de Riesz dans la formulation tourbillon-densité. Nous donnons une réponse positive pour une sous-classe comprenant les poches de tourbillon régulières et singulières. Dans la dernière partie nous analysons le problème de la limite incompressible pour les équations d'Euler isentropiques 2D associées à des données initiales très mal préparées et pour lesquelles les tourbillons ne sont pas forcément bornés mais appartiennent plutôt à des espaces de type ''BMO'' à poids. On utilise principalement deux ingrédients: d'un côté les estimations de Strichartz pour contrôler la partie acoustique. D'un autre côté, on se sert de la structure de transport compressible du tourbillon et on démontre une estimation de propagation linéaire dans l'esprit d'un travail récent de Bernicot et Keraani mené dans le cas incompressible. / In this dissertation, we are concerned with the study of some non-linear evolution models arising in fluid mechanics. We distinguish three independent parts. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case.

Ce travail présente une caractérisation expérimentale du comportement mécanique et de la rupture par localisation de la déformation dans un grès des Vosges. L'évolution temporelle de la localisation a été caractérisée par des mesures de champs. Une nouvelle cellule triaxiale vraie a été développée au Laboratoire 3SR (Grenoble), qui permet une visualisation des échantillons sous chargement pour réaliser de la corrélation d'image numérique (CIN). Les essais ont été réalisés par compression en déformation plane (confinement de 20 à 50 MPa). La transition d'une déformation diffuse à localisée a été finement étudiée. Une analyse comparative a été ensuite effectuée entre les mesures de champs et la microstructure à l'échelle des grains observée par microscope (MEB). Enfin, une étude théorique basée sur une analyse en bifurcation a été menée pour comparer observations des bandes de cisaillement et prédiction sur la localisation de la déformation. / This work aims an experimental characterization of the mechanical behaviour and failure by strain localization on a Vosges sandstone. The time evolution of strain localization has been characterized by full-field measurements. A new true-triaxial apparatus has been developed at Laboratoire 3SR (Grenoble), which enables the observation of the specimens during mechanical loading for application of digital image correlation (DIC). Tests have been performed in plane strain compression (confining pressure from 20 to 50 MPa). The transition from diffuse to localised deformation regimes has been extensively studied. Then, a comparative analysis has been done between the strain fields (DIC) and microscope (SEM) observations to determine how closely the DIC fields are related to deformation mechanisms detected at the grain scale. Finally, a theoretical bifurcation analysis is presented to compare the experimental observations of shear bands with strain localization prediction.