Le but de la thèse est d'étudier l'homogénéisation d'équations de convection-diffusion singulières et de problèmes spectraux à poids indéfini. La thèse se compose de deux parties. La première partie contient des résultats qualitatifs et asymptotiques pour les solutions d'équations de type convection-diffusion stationnaires et instationnaires, qui sont définies dans des domaines bornés ou nonbornés. Les problèmes examinés comprennent des études qualitatives pour une équation elliptique avec des termes du premier ordre dans un cylindre semi-infini, l'homogénéisation de modèles de convection-diffusion dans des cylindres minces et une analyse asymptotique d'équations de convection-diffusion instationnaires avec un grand terme du premier ordre, posées dans un domaine borné. La deuxième partie de la thèse porte sur l'homogénéisation de problèmes spectraux à poids indéfini, pouvant changer de signe. On montre que le comportement asymptotique dépend essentiellement de la moyenne du poids, notamment si la moyenne est nulle ou non nulle. On construit alors le développement asymptotique du spectre dans les deux cas.

Neste trabalho estudamos problemas de reação-difusão semilineares do tipo \'u IND..t(x, t) = \'DELTA\'u(x, t)+ f (u(x, t)), x \'PERTENCE A\' \'OMEGA\' \'PARTIAL\' U/\'PARTIAL\'V (x, t) = 0, x \'PERTENCE A\' \'PARTIAL\'\' OMEGA\'. Desenvolvemos uma teoria abstrata para a obtenção da continuidade da dinâmica assintótica de (P) sob perturbações singulares do domínio espacial W e aplicamos a uma série de exemplos dos assim chamados domínios finos / In this work we study semilinear reaction-diffusion problems of the type \'u IND.t(x, t) = \'DELTA\'u(x, t)+ f (u(x, t)), x \' PERTENCE A\' \'OMEGA\' \'PARTIAL\'u/\'ARTIAL\' v (x, t) = 0, x \"PERTENCE A\' \'PARTIAL\' \' OMEGA\' We develop a abstract theory to obtain the continuity of the asymptotic dynamics of (P) under singular perturbations of the spatial domain W and we apply that to many examples in thin domains

Nesse trabalho, usamos métodos da teoria de homogeneização para analisar o compor- tamento assintótico das soluções da equação do p-Laplaciano com condição de contorno de Neumann posto numa família de domínios finos do tipo. De maneira geral, trabalhamos com funções G:(0,1)\\ x R - R uniformemente limitadas, suaves e L-periódicas na segunda variável. Note que o efeito de domínio fino é estabelecido passando ao limite no parâmetro \\varepsilon>0 com \\varepsilon\\to 0. Além disso, introduzimos um parâmetro \\alpha>0 com o objetivo de representar rugosidades via comportamento oscilat\\\'orio na fronteira superior de R^\\varepsilon. Em nossos resultados mostramos que no limite, uma equação unidimensional é obtida, preservando a quasilinearidade do problema original e capturando tanto o efeito da compressão como das oscilações. / In this work we apply homogenization theory methods in order to analyze the asymptotic behavior of the solutions of a p-Laplacian equation with Neumann boundary condition set in bounded thin domains of the type. Generally, we with functions G:(0,1) x R - R uniformly bounded, smooth and L-periodic in the second variable. The thin domain situation is established passing to the limit in the positive parameter \\varepsilon with \\varepsilon \\to 0. In our results we obtain a one dimensional equation that preserves the quasilinearity from the original problem and capturing the effects of compression and oscillations.

Neste trabalho estudamos problemas de reação-difusão semilineares do tipo \'u IND..t(x, t) = \'DELTA\'u(x, t)+ f (u(x, t)), x \'PERTENCE A\' \'OMEGA\' \'PARTIAL\' U/\'PARTIAL\'V (x, t) = 0, x \'PERTENCE A\' \'PARTIAL\'\' OMEGA\'. Desenvolvemos uma teoria abstrata para a obtenção da continuidade da dinâmica assintótica de (P) sob perturbações singulares do domínio espacial W e aplicamos a uma série de exemplos dos assim chamados domínios finos / In this work we study semilinear reaction-diffusion problems of the type \'u IND.t(x, t) = \'DELTA\'u(x, t)+ f (u(x, t)), x \' PERTENCE A\' \'OMEGA\' \'PARTIAL\'u/\'ARTIAL\' v (x, t) = 0, x \"PERTENCE A\' \'PARTIAL\' \' OMEGA\' We develop a abstract theory to obtain the continuity of the asymptotic dynamics of (P) under singular perturbations of the spatial domain W and we apply that to many examples in thin domains

Analisamos o comportamento assintótico de uma família de equilíbrios de uma equação de reação-difusão com a condição de Neumann homegênea definido num domínio fino bidimensional com termos de reação concentradas em uma vizinhança oscilante da fronteira. Assumimos que o domínio e portanto a vizinhança oscilante se degeneram em um intervalo quando o parâmetro positivo tende a zero. O objetivo principal foi mostrar que essa família de soluções, converge para uma equação limite unidimensional, que captura a geometria e o comportamento assintótico dos conjuntos abertos onde o problema é estabelecido. De fato mostramos a continuidade da família de equilíbrios / In this work we analyze the behavior of a family of stead state solutions of a semilinear reaction-diffusion equation with homogeneous Neumann boundary condition, posed in a two-dimensional thin domain with reaction term concentrated in an narrow oscillating neighborhood. Indeed, we assume that the domain of definition of the solutions degenerates into an interval as a small parameter $\\epsilon$ goes to zero. Our main result is that this family of solutions converge to the solution of a one-dimensional limit equation capturing the geometry and oscillatory behaviour of the open sets where the problem is estabilished.

Analisamos o comportamento assintótico de uma família de equilíbrios de uma equação de reação-difusão com a condição de Neumann homegênea definido num domínio fino bidimensional com termos de reação concentradas em uma vizinhança oscilante da fronteira. Assumimos que o domínio e portanto a vizinhança oscilante se degeneram em um intervalo quando o parâmetro positivo tende a zero. O objetivo principal foi mostrar que essa família de soluções, converge para uma equação limite unidimensional, que captura a geometria e o comportamento assintótico dos conjuntos abertos onde o problema é estabelecido. De fato mostramos a continuidade da família de equilíbrios / In this work we analyze the behavior of a family of stead state solutions of a semilinear reaction-diffusion equation with homogeneous Neumann boundary condition, posed in a two-dimensional thin domain with reaction term concentrated in an narrow oscillating neighborhood. Indeed, we assume that the domain of definition of the solutions degenerates into an interval as a small parameter $\\epsilon$ goes to zero. Our main result is that this family of solutions converge to the solution of a one-dimensional limit equation capturing the geometry and oscillatory behaviour of the open sets where the problem is estabilished.