Orientador: Elíris Cristina Rizziolli / Banca: Edivaldo Lopes da Silva / Banca: João Peres Vieira / Resumo: Neste trabalho tratamos do objeto matemático Grupo Topológico. Para este desenvolvimento, abordamos elementos básicos de Grupo e Espaço Topológico / Abstract: In this work we consider the mathematical object Topological Group. For this development, we discuss the basic elements of the Group and Topological Space / Mestre

Orientador: João Peres Vieira / Banca: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: João Carlos Vieira Sampaio / Resumo: A Topologia Algébrica descreve a estrutura geométrica de um espaço topológico, associando a ele um sistema algébrico, geralmente um grupo ou uma sequência de grupos. À funções contínuas entre espaços topológicos correspondem homomorfismos entre grupos associados a estes espaços. Nesta dissertação, mostraremos que a homologia singular com coeficientes em Z, constituem uma teoria de homologia, baseados nos axiomas de Samuel Eilenberg e Norman Steenrod. Apresentaremos, também, resultados clássicos como a não existência de um homeomorfismo entre Rm e Rn, para m diferente de n, o teorema do ponto fixo de Brouwer e a não existência de campo vetorial não-nulo nas esferas de dimensão par / Abstract: The Algebraic Topology describes the geometrical structure of a topological space by associating an algebraic system, usually a group or a sequence of groups. To continuous functions between topological spaces correspond homomorphisms between groups associated to these spaces. In this work we will show that Singular Homology with Z-coe cients constitutes a homology theory, based on the Eilenberg-Steenrod Axioms. We also present some classical results as the nonexistence of a homeomorphism between Rm and Rn, if m ≠ n, the Brouwer's xed point theorem and the nonexistence of a non-zero vector eld in even dimension spheres / Mestre

Orientador: Elíris Cristina Rizziolli / Banca: João Carlos V. Sampaio / Banca: João Peres Vieira / Resumo: O presente projeto trata a topologia de superfícies fechadas através de ideias topológicas intuitivas. Mostramos que toda superfície fechada e orientável é topologicamente uma Esfera ou um Toro, ou ainda uma soma conexa de dois ou mais Toros; e também que toda superfície fechada e não-orientável é topologicamente um Plano Projetivo ou uma soma conexa de dois ou mais Planos Projetivos. Desta forma, obtemos uma classificação topológica para as superfícies fechadas orientáveis e não-orientáveis / Abstract: This project deals with the topology of closed surfaces using intuitive topological ideas. We show that every closed surface orientable is topologically a Sphere or a Torus, or a connected sum of two or more Tori, and also that every closed surface and non-orientable is topologically a Projective Plane or a connected sum of two or more Projective Planes. Therefore, we obtain a topological classification for closed surfaces, orientable and non-orientable / Mestre

Orientador: Sérgio Roberto Nobre / Banca: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: Carlos Roberto de Moraes / Resumo: Esta dissertação tem por objetivo trabalhar Topologia no Ensino Médio, usando como recurso pedagógico, a História da Matemática. Iniciaremos com o trabalho de Euler sobre as pontes de Königsberg, pois é com ele que se dá início as pesquisas neste ramo científico da Matemática. Em seguida resgataremos a descoberta de Euler acerca da "propriedade geral dos sólidos limitados por faces planas", conhecida hoje como relação de Euler. Seu trabalho, intitulado "Demonstratio nonnullarum insignium proprieatatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita", surgiu do incômodo de demonstrar que existia uma propriedade geral para os sólidos limitados por faces planas, uma vez que a propriedade geral para os polígonos já era conhecida. Também iremos trabalhar com as obras de Cauchy e Lhuilier que contribuíram enormemente com a evolução da propriedade citada por Euler. Para encerrar, destacaremos algumas observações sobre a Característica de Euler, assunto que se desenvolveu a partir da preocupação deste e que hoje faz parte da Topologia Algébrica. / Abstract: This dissertation aims to work topology in high school using as a teaching resource the History of Mathematics. We will start with Euler's work about the bridges of Königsberg, is with them that begins the research in this scientific branch of Mathematics. After that, we will redeem Euler's discovery about the " general property of the solids bounded by flat faces", known today as Euler's relation. His work, entitled " Demonstratio nonnullarum Insignium proprieatatum, quibus solida sunt hedras planis included praedita" arose from the inconvenience of demonstrate that there was a general property for solid bounded by flat faces since the general property for the polygons was already known. We will also work with Cauchy and Lhuilier's works, which contributed a lot of the evolution of property mentioned by Euler. As closing, we will detach some observations about Euler's Characteristic, a subject that was develop from Euler's concerns and now is part of Algebraic Topology. / Mestre

Orientador: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Karina Schiabel Silva / Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar uma demonstração combinatória dos teore- mas de Índice de Poincaré, a saber: "Sejam D um disco e γ seu bordo. Seja V um campo vetorial contínuo sobre D com pontos críticos isolados P1, P2, . . . , Pn pertencentes ao interior de D. Se V nunca se anula em γ, então W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn), onde I(Pi) é o índice do ponto crítico Pi e W(γ) o número de voltas de V sobre γ." "Seja V um campo vetorial tangente contínuo sobre uma superfície compacta, co- nexa e orientável S. Então a soma dos índices dos pontos críticos de V é igual à característica de Euler de S." / Abstract: bstract In this work we present a combinatorial proof for the Poincaré index theorems. "Let V be a continuous vector field. Let D be a cell and γ its boundary. Supposing that V is not zero on γ, then W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn) where P1, P2, . . . , Pn are the critical points of V inside D, I(Pi) is the index of Pi, and W(γ) is the winding number of V on γ." "Let V be a continuous tangent vector field on a compact, connected, orientable surface S. Then the sum of the indexes of the critical points of V equals the Euler characteristic of S." / Mestre

Orientador: Maria Gorete Carreira Andrade / Banca: Denise de Mattos / Banca: Ermínia de Lourdes Campello Fanti / Resumo: Em Topologia, mais especificamente em Topologia Algébrica, temos alguns resultados clássicos que de alguma forma estão relacionados. No desenvolvimento deste trabalho, estudamos alguns desses resultados, a saber: Teorema de Lefschetz-Hopf, Teorema do Ponto Fixo de Lefschetz, Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, Teorema da Curva de Jordan e o Teorema Clássico de Borsuk-Ulam. Além disso, tivemos como objetivo principal mostrar relações existentes entre esses teoremas a partir do Teorema de Lefschetz-Hopf. / Abstract: In Topology, more specifically in Algebraic Topology, we have some classical results that are in some way related. In developing this work, we studied some of these results, namely the Lefschetz-Hopf Theorem, the Lefschetz Fixed Point Theorem, the Brouwer Fixed Point Theorem, the Jordan Curve Theorem and the Classic Borsuk-Ulam Theorem. Moreover, our main objective was to show relationships among those theorems by using Lefschetz-Hopf Theorem. / Mestre

Resumo: A topologia do estado nativo de uma proteína desempenha um papel crucial no processo de enovelamento. Neste trabalho uma nova aproximação utilizando aspectos topol ogicos para investigar a evolução protéica e apresentada. O modelo utiliza uma rede c ubica 3 3 3 de 27 monômeros e um mapa de conexões entre diferentes conformações em espa co de fase estrutural e de sequência. Desenhamos a melhor sequência não frustrada para cada uma das 103346 conformações maximamente compactas usando um algorítimo que maximiza o número de tipos de monômeros na sequência. Isto significa que cada sequência não pode possuir contatos desfavor aveis. O n umero m aximo de tipos de monômeros e 5. A sequência-conformação e considerada \protein-like" se ela tem uma unica conformação de mais baixa energia, alem de acessibilidade e robustez. De todas as conformações maximamente compactas, somente 4; 75% geraram sequências \protein-like', o qual são o alvo neste estudo. Com esses dados realizamos simulações de Monte Carlo (MC) no qual examinamos as melhores sequêencias estruturas baseando-se no ZScore. A simulação e iniciada com uma sequência aleatória no qual e testada em todas as conformações, seguindo as regras estipuladas por MC. Se o ZScore aumenta, assumimos que a nova conformação e mais estável que a anterior. Esse processo e repetido até que as sequências otimamente desenhadas (com mais alto ZScore) são alcançadas. Mantendo as trajetórias originadas via MC, um mapa de conectividade sequências-estruturas e obtido. Os resultados mostram trajetórias conectadas com estruturas com baixos valores de ZScore. O aumento do ZScore ao longo da simulação conduz a um pequeno grupo de conformações preferenciais. O modelo sugere um funil de estruturas para a evolução de proteínas no qual as estruturas do fundo estão associadas com o ii \motif" de uma proteína... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: The topology of a protein native state plays a crucial role in the folding process. In this work a new approach using topological aspects to investigate the protein evolutions is presented. The model uses the 27-mer in a cubic lattice of 3 3 3, and a conection map between di erent conformations is found in the sequence and structural phase space. We designed the best unfrustrated sequence for each of the 103346 maximally compact conformation, using an algorithm that maximizes the number for monomers types in the sequence. This means that each sequence cannot have unfavorable contacts. The maximum number of types of monomer is 5. The sequence-conformation is considered protein-like if it has a unique lowest energy conformation, accessible and robust . Out of all maximally compact conformations, only 4,75% generated protein-like sequence, with are targeted in this study. With this data we performed a Monte Carlo simulations in which we probe for better sequence-structure based on Zscore. The simulation start which a random sequence and it is tested all conformations, nding its conformations according to the Monte Carlo rules. If the Zscore increases, we assume that the new conformation is more stable than the previous. This process is repeated until the optimally designed sequence (with the highest Zscore) is reached. Keeping track of all the Monte Carlo trajectories, a map of conectivity of sequence-structures is obtained. The results shows trajectories connected with structures of low Zscore values. The increase of Zscore along of the simulation leads to a small group of preferred conformations. The model suggest a funnel like structure for folding evolution, in which the structures at the bottom of the funnel are associated with the motif of a protein. This result can be a possible iv explanation for the restricted number of conformations compared to the large number of sequences... (Complete abstract click electronic access below) / Orientador: Vitor Barbanti Pereira Leite / Coorientador: Jorge Chahine / Banca: Alexandre Souto Martinez / Banca: Antonio Caliri / Banca: Antonio Francisco Pereira de Araújo / Banca: José Roberto Ruggiero / Doutor