Sejam $M$ e $N$ superfícies fechadas e $\\tau: M \\to M$ uma involução livre de pontos fixos. Dizemos que uma classe de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ tem a propriedade de Borsuk-Ulam se para toda função contínua $g: M \\to N$ que representa $\\beta$, existe $x \\in M$ tal que $g(\\tau(x)) = g(x)$. No caso em que $N$ é diferente de $S^2$ e $RP^2$, mostramos que $\\beta$ não ter a propriedade de Borsuk-Ulam é equivalente a existência de um diagrama algébrico envolvendo $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau)$, $P_2(N)$ e $B_2(N)$, sendo $M_\\tau$ o espaço de órbitas de $\\tau$ e sendo $P_2 (N)$ e $B_2(N)$, respectivamente, o grupo de tranças puras e totais de $N$. Para cada caso listado abaixo, nós classificamos todas as classes de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ e $N = T^2$; $M = K^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = K^2$. No caso em que $N = S^2$, para cada superfície $M$ e involução $\\tau: M \\to M$, nós classificamos os elementos $\\beta \\in [M,S^2]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Para fazer tal classificação, nós usamos a teoria de funções equivariantes e a teoria de grau de aplicações. Para classes de homotopia $\\beta \\in [M,RP^2]$, classificamos aquelas que se levantam para $S^2$. No final, nós consideramos a propriedade de Borsuk-Ulam para ações livres de $Z_p$, com $p$ um inteiro primo positivo. Neste caso, mostramos que se $M$ e $N$ são superfícies fechadas e $Z_p$ age livremente em M, com $p$ ímpar, então sempre existe uma função $f: M \\to N$ homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora. / Let $M$ and $N$ be compact surfaces without boundary, and let $\\tau: M \\to M$ be a fixed-point free involution. We say that a homotopy class $\\beta \\in [M,N]$ has the Borsuk-Ulam property if for every continuous fuction $g: M \\to N$ that represents $\\beta$, there exists $x \\in M$ such that $g(\\tau(x)) = g(x)$. In the case where $N$ is different of $S^2$ and $RP^2$, we show that the fact that $\\beta$ does not have the Borsuk-Ulam property is equivalent to the existence of an algebraic diagram involving $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau), $P_2(N)$ and $B_2(N)$, where $M_\\tau$ is the orbit space of $\\tau$ and $P_2(N)$ and $B_2(N) $ are the pure and the full braid groups of the surface $N$ respectively. We then go on to consider the cases of the torus $T^2$ and the Klein bottle $K^2$. Let $M$ and $N$ satisfy one of the following: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ and $N = T^2$; $M = K^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = K^2$. In these cases we classify the homotopy classes $\\beta \\in [M,N]$ that possess the Borsuk-Ulam property. If $N= S^2$, for every surface $M$ and an involution $\\tau: M \\to M$, we classify the elements $\\beta \\in [M, S^2] $ that possess the Borsuk-Ulam property. To obtain this classification, we make use of the theory of equivariant functions and degree theory of maps. For homotopy classes $\\beta \\in [M,RP^2]$, we classify the classes that admit a lifting to $S^2$. Finally, we consider the Borsuk-Ulam property for free actions of $Z_p$, where $p$ is a prime number. If $M$ and $N$ are compact surfaces without boundary such that $Z_p$ acts freely on $M$, with $p$ odd, we show that there is always a function $f: M \\to N$ homotopic to the constant function whose restriction to every orbit of $\\tau$ is injective.

Em Artin (1925), Artin introduziu o estudo do grupo de tranças, o qual está intimamente relacionado ao estudo de nós e enlaçamentos. Em seu outro artigo Theory of Braids Artin (1947), ele questionou se as noções de isotopia e homotopia de tranças são as mesmas ou diferentes. Tal questão foi respondida muito mais tarde em Goldsmith (1974), onde a autora apresenta um exemplo de trança que é homotópica à trança trivial mas não é equivalente à trança trivial, caracterizando, além disso, o grupo de classes de homotopia de tranças puras no disco como um certo quociente do grupo de tranças puras original. Uma área de pesquisa mais recente nesta teoria é o estudo da ordenação destes grupos de tranças. Em Habegger e Lin (1990) os autores mostram que o grupo de classes de homotopia de tranças puras no disco é nilpotente e livre de torção. Resulta que ele é bi-ordenado. Em Yurasovskaya (2008) a autora fornece uma ordem explícita e calculável para este grupo. Neste trabalho discutiremos e apresentaremos os principais resultados neste contexto. / In Artin (1925), Artin introduced the study of braid groups, which is closely related to the study of knots and links. In his other paper Theory of Braids Artin (1947), he asked if the notions of isotopy and homotopy of braids are different or the same. Such question was answered much later in Goldsmith (1974), where the author presents an example of braid that is homotopic to the trivial braid, but it is not equivalent to the trivial braid, characterizing, beyond that, the group of homotopy classes of braids as an certain quotient of the original braid group. One more recent research area on this theory is the study of ordenation of braid groups. In Habegger e Lin (1990) the authors show that the homotopy group classes of pure braids is nilpotent and torsion free. It follows that it is bi-orderable. In Yurasovskaya (2008) the author provides one explicit and evaluable order for this group. In this work, we will discuss and present the main results involved on this context.

Sejam $M$ e $N$ superfícies fechadas e $\\tau: M \\to M$ uma involução livre de pontos fixos. Dizemos que uma classe de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ tem a propriedade de Borsuk-Ulam se para toda função contínua $g: M \\to N$ que representa $\\beta$, existe $x \\in M$ tal que $g(\\tau(x)) = g(x)$. No caso em que $N$ é diferente de $S^2$ e $RP^2$, mostramos que $\\beta$ não ter a propriedade de Borsuk-Ulam é equivalente a existência de um diagrama algébrico envolvendo $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau)$, $P_2(N)$ e $B_2(N)$, sendo $M_\\tau$ o espaço de órbitas de $\\tau$ e sendo $P_2 (N)$ e $B_2(N)$, respectivamente, o grupo de tranças puras e totais de $N$. Para cada caso listado abaixo, nós classificamos todas as classes de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ e $N = T^2$; $M = K^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = K^2$. No caso em que $N = S^2$, para cada superfície $M$ e involução $\\tau: M \\to M$, nós classificamos os elementos $\\beta \\in [M,S^2]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Para fazer tal classificação, nós usamos a teoria de funções equivariantes e a teoria de grau de aplicações. Para classes de homotopia $\\beta \\in [M,RP^2]$, classificamos aquelas que se levantam para $S^2$. No final, nós consideramos a propriedade de Borsuk-Ulam para ações livres de $Z_p$, com $p$ um inteiro primo positivo. Neste caso, mostramos que se $M$ e $N$ são superfícies fechadas e $Z_p$ age livremente em M, com $p$ ímpar, então sempre existe uma função $f: M \\to N$ homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora. / Let $M$ and $N$ be compact surfaces without boundary, and let $\\tau: M \\to M$ be a fixed-point free involution. We say that a homotopy class $\\beta \\in [M,N]$ has the Borsuk-Ulam property if for every continuous fuction $g: M \\to N$ that represents $\\beta$, there exists $x \\in M$ such that $g(\\tau(x)) = g(x)$. In the case where $N$ is different of $S^2$ and $RP^2$, we show that the fact that $\\beta$ does not have the Borsuk-Ulam property is equivalent to the existence of an algebraic diagram involving $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau), $P_2(N)$ and $B_2(N)$, where $M_\\tau$ is the orbit space of $\\tau$ and $P_2(N)$ and $B_2(N) $ are the pure and the full braid groups of the surface $N$ respectively. We then go on to consider the cases of the torus $T^2$ and the Klein bottle $K^2$. Let $M$ and $N$ satisfy one of the following: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ and $N = T^2$; $M = K^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = K^2$. In these cases we classify the homotopy classes $\\beta \\in [M,N]$ that possess the Borsuk-Ulam property. If $N= S^2$, for every surface $M$ and an involution $\\tau: M \\to M$, we classify the elements $\\beta \\in [M, S^2] $ that possess the Borsuk-Ulam property. To obtain this classification, we make use of the theory of equivariant functions and degree theory of maps. For homotopy classes $\\beta \\in [M,RP^2]$, we classify the classes that admit a lifting to $S^2$. Finally, we consider the Borsuk-Ulam property for free actions of $Z_p$, where $p$ is a prime number. If $M$ and $N$ are compact surfaces without boundary such that $Z_p$ acts freely on $M$, with $p$ odd, we show that there is always a function $f: M \\to N$ homotopic to the constant function whose restriction to every orbit of $\\tau$ is injective.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2361.pdf: 1168766 bytes, checksum: 505e6f4b858e087853d7d7b24eee313e (MD5) Previous issue date: 2009-02-27 / Financiadora de Estudos e Projetos / The aim of this work is construct the example, presented by Boju Jiang, of a self - map on a manifold with non - realizable Nielsen number. Firstly we will need to present the fixed point theory and some results about covering spaces, we do that in chapter 1. The chapter 2 is dedicated to obtain one presentation of the braid group of the Pants, that is the manifold used in Jiang´s example. This presentation is a very important tool and it will be used in the main results of this work. In the chapter 3 we construct the self - map. The aim of chapter 4 is to proof the following theorem: Let M be a compact, connected surface with negative Euler caracteristic. Then there exist a self - map on M such that all maps in its homotopy class have at least one fixed point, but its Nielsen number is zero . This result shows that even for the manifold without bondary it is possible to find self - maps with non - realizable Nielsen number. In chapter 3 e 4 we use Braid Group to construct such counter - examples, in the chapter 5 (the last one) we related some equation in braid group with the number of fixed points of a self - map on a compact connected surface. / O objetivo desse trabalho é construir detalhadamente o exemplo, apresentado por Boju Jiang, de uma auto-aplicação definida em uma variedade, com número de Nielsen não realizavel. Para tanto, inicialmente precisamos abordar a Teoria de pontos fixos e alguns resultados sobre espaços de recobrimento, isso é feito no capítulo 1. O capítulo 2 é dedicado a obtenção de uma presentação para o Grupo de Tranças do disco com dois furos, que é a variedade no qual está definido o exemplo apresentado por Jiang. O Grupo de Tranças do disco com dois furos é uma importante ferramenta e será utilizado nos principais resultados desse trabalho. No capítulo 3 construímos a auto-aplicação. O objetivo do capítulo 4 ´e demonstrar o seguinte Teorema : Seja M uma superfície compacta e conexa com característica de Euler negativa. Então existe uma auto - aplicação definida em M tal que todas as aplicações na sua classe de homotopia têm no mínimo um ponto fixo, entretanto seu número de Nielsen é zero . Esse resultado nos garante que mesmo no caso de variedades sem bordo é possível encontrar exemplos de auto-aplicações com número de Nielsen não realizável. Nos capítulos 3 e 4, a Teoria de Tranças é usada na construção de contra - exemplos, mas no quinto, e último, capítulo relacionamos equações com tranças e o número de pontos fixos de uma auto-aplicação definida em uma superfície compacta e conexa.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 5732.pdf: 1059800 bytes, checksum: a4fa7cf628d2d2c3153dbc90e012e100 (MD5) Previous issue date: 2014-02-17 / Universidade Federal de Minas Gerais / The objective of this work is to study the braid groups on topological surfaces as well as studying a generalization of the Fadell-Neuwirth short exact sequence. We treated also the existence of a cross-section for the Fadell-Neuwirth s generalized fibration, in particular, we are concerned in the case when the surface is equal the sphere S2. / O objetivo deste trabalho é estudar os grupos de tranças de uma superfície topológica e a generalização da sequência exata curta de Fadell-Neuwirth. Tratamos também da existência de uma secção geométrica e algébrica para a fibração de Fadell-Neuwirth generalizada, em particular, consideraremos o caso em que a superfície é a esfera S2.

Seja $B_mM$ o grupo de tranças com $m$ cordas sobre uma superfície $M$ e seja $N$ uma subsuperfície de $M$. Estudaremos inicialmente condições necessárias e suficientes para as quais $B_nN$ é um subgrupo de $B_mM$ ($m$ podendo ser diferente de $n$), isto é, se considerarmos a inclusão $i\\colon N \\to M$, queremos estabelecer condições sobre $M$ e $N$ para que a aplicação induzida $i_\\ast \\colon B_nN \\to B_mM$ seja injetora. Em seguida, sob certas hipóteses para $N$ e $M$ calcularemos o comensurador, normalizador e centralizador de $B_nN$ em $B_mM$, sendo esse o objetivo principal desta dissertação. / Let $B_m(M)$ be the braid group with $m$ strings on a surface $M$ and let $N$ be a subsurface of $M$. We will study the necessary and sufficient conditions out of which $B_n(N)$ is a subgroup of $B_m(M)$ ($m$ can be different of $n$), it means, if we consider the inclusion $i \\colon N \\to M$, we would like to establish conditions for $M$ and $N$ for the induced application $i_\\ast \\colon B_nN \\to B_mM$ should be injective. After that, under some certain conditions for $M$ and $N$ we will calculate the commensurator, normalizer and centralizer of $Bn(N)$ in $Bm(M)$, being this one the principal objective of this work.

Neste trabalho apresentamos uma descrição geométrica do grupo de tranças no disco Bpnq e sua apresentação em termos de geradores e relatores no famoso teorema da apresentação de Artin. Mostraremos também que o grupo de tranças puras PBpnq, grupo que possui a permutação trivial das cordas, é bi-ordenável, ou seja, exibiremos uma ordenação para PBpnq que será invariante pela multiplicação em ambos os lados. Esse processo é dado a partir da combinação da técnica de pentear Artin e a expansão Magnus para grupos livres. / In this work, we present a geometric description of the braids groups of the disk Bpnq and its presentation in terms of generators and relations in the famous theorem of Artin\'s presentation. We also show that groups of pure braids, denoted by PBpnq, groups that have the trivial permutation of the strings, are bi-orderable, that is, we will present the explicit construction of a strict total ordering of pure braids PBpnq which is invariant under multiplying on both sides. This process is given from the combination of the techniques of combing Artin and Magnus expansion to free groups.

Neste trabalho apresentamos uma descrição geométrica do grupo de tranças no disco Bpnq e sua apresentação em termos de geradores e relatores no famoso teorema da apresentação de Artin. Mostraremos também que o grupo de tranças puras PBpnq, grupo que possui a permutação trivial das cordas, é bi-ordenável, ou seja, exibiremos uma ordenação para PBpnq que será invariante pela multiplicação em ambos os lados. Esse processo é dado a partir da combinação da técnica de pentear Artin e a expansão Magnus para grupos livres. / In this work, we present a geometric description of the braids groups of the disk Bpnq and its presentation in terms of generators and relations in the famous theorem of Artin\'s presentation. We also show that groups of pure braids, denoted by PBpnq, groups that have the trivial permutation of the strings, are bi-orderable, that is, we will present the explicit construction of a strict total ordering of pure braids PBpnq which is invariant under multiplying on both sides. This process is given from the combination of the techniques of combing Artin and Magnus expansion to free groups.

Seja $B_mM$ o grupo de tranças com $m$ cordas sobre uma superfície $M$ e seja $N$ uma subsuperfície de $M$. Estudaremos inicialmente condições necessárias e suficientes para as quais $B_nN$ é um subgrupo de $B_mM$ ($m$ podendo ser diferente de $n$), isto é, se considerarmos a inclusão $i\\colon N \\to M$, queremos estabelecer condições sobre $M$ e $N$ para que a aplicação induzida $i_\\ast \\colon B_nN \\to B_mM$ seja injetora. Em seguida, sob certas hipóteses para $N$ e $M$ calcularemos o comensurador, normalizador e centralizador de $B_nN$ em $B_mM$, sendo esse o objetivo principal desta dissertação. / Let $B_m(M)$ be the braid group with $m$ strings on a surface $M$ and let $N$ be a subsurface of $M$. We will study the necessary and sufficient conditions out of which $B_n(N)$ is a subgroup of $B_m(M)$ ($m$ can be different of $n$), it means, if we consider the inclusion $i \\colon N \\to M$, we would like to establish conditions for $M$ and $N$ for the induced application $i_\\ast \\colon B_nN \\to B_mM$ should be injective. After that, under some certain conditions for $M$ and $N$ we will calculate the commensurator, normalizer and centralizer of $Bn(N)$ in $Bm(M)$, being this one the principal objective of this work.

Neste trabalho, estudamos os grupos de tranças em superfícies visando encontrar apresentações para estes grupos em superfícies fechadas orientáveis de gênero g >= 1 ou superfícies fechadas não orientáveis de gênero g >= 2. Uma consequência destas apresentações é resolvermos o problema da palavra, que consiste em encontrar um algoritmo para decidir quando uma dada palavra num grupo definido por seus geradores e suas relações é a palavra trivial / In this work, we find presentations for surface braid groups either in closed orientable surfaces of genus g >= 1 or in closed non-orientable surfaces of genus g >= 2. A consequence of this presentations is to solve the word problem, which consists in finding an algorithm to decide when a given word in a group defined by its generators and its relations is the trivial word