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Infinite-dimensional lie theory for gauge groupsWockel, Christoph. Unknown Date (has links)
Techn. University, Diss., 2006--Darmstadt.
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Longitudinal dynamics of semiconductor lasersSieber, Jan 23 July 2001 (has links)
Die vorliegende Arbeit untersucht die longitudinale Dynamik von Halbleiterlasern anhand eines Modells, in dem ein lineares hyperbolisches System partieller Differentialgleichungen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen gekoppelt ist. Zunächst wird mit Hilfe der Theorie stark stetiger Halbgruppen die globale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für das konkrete System gezeigt. Die anschließende Untersuchung des Langzeitverhaltens der Lösungen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst wird ausgenutzt, dass Ladungsträger und optisches Feld sich auf unterschiedlichen Zeitskalen bewegen, um mit singulärer Störungstheorie invariante attrahierende Mannigfaltigkeiten niedriger Dimension zu finden. Der Fluss auf diesen Mannigfaltigkeiten kann näherungsweise durch Moden-Approximationen beschrieben werden. Deren Dimension und konkrete Gestalt ist von der Lage des Spektrums des linearen hyperbolischen Operators abhängig. Die zwei häufigsten Situationen werden dann einer ausführlichen numerischen und analytischen Bifurkationsanalyse unterzogen. Ausgehend von bekannten Resultaten für die Ein-Moden-Approximation, wird die Zwei-Moden-Approximation in dem speziellen Fall untersucht, dass die Phasendifferenz zwischen den beiden optischen Komponenten sehr schnell rotiert, so dass sie sich in erster Ordnung herausmittelt. Mit dem vereinfachten Modell können die Mechanismen verschiedener Phänomene, die bei der numerischen Simulation des kompletten Modells beobachtet wurden, erklärt werden. Darüber hinaus lässt sich die Existenz eines anderen stabilen Regimes voraussagen, das sich im gemittelten Modell als "bursting" darstellt. / We investigate the longitudinal dynamics of semiconductor lasers using a model which couples a linear hyperbolic system of partial differential equations with ordinary differential equations. We prove the global existence and uniqueness of solutions using the theory of strongly continuous semigroups. Subsequently, we analyse the long-time behavior of the solutions in two steps. First, we find attracting invariant manifolds of low dimension benefitting from the fact that the system is singularly perturbed, i. e., the optical and the electronic variables operate on different time-scales. The flow on these manifolds can be approximated by the so-called mode approximations. The dimension of these mode approximations depends on the number of critical eigenvalues of the linear hyperbolic operator. Next, we perform a detailed numerical and analytic bifurcation analysis for the two most common constellations. Starting from known results for the single-mode approximation, we investigate the two-mode approximation in the special case of a rapidly rotating phase difference between the two optical components. In this case, the first-order averaged model unveils the mechanisms for various phenomena observed in simulations of the complete system. Moreover, it predicts the existence of a more complex spatio-temporal behavior. In the scope of the averaged model, this is a bursting regime.
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On the Riemannian geometry of Seiberg-Witten moduli spacesBecker, Christian January 2005 (has links)
<p>In this thesis, we give two constructions for Riemannian metrics on
Seiberg-Witten moduli spaces. Both these constructions are
naturally induced from the L2-metric on the configuration space.
The construction of the so called quotient L2-metric is very similar
to the one construction of an L2-metric on Yang-Mills moduli spaces as
given by Groisser and Parker. To construct a Riemannian metric on
the total space of the Seiberg-Witten bundle in a similar way, we define the reduced gauge group as a subgroup of the gauge group. We show, that the quotient of the premoduli space by the reduced gauge group is
isomorphic as a U(1)-bundle to the quotient of the premoduli space by the based gauge group. The total space of this new representation of the Seiberg-Witten bundle carries a natural quotient L2-metric, and the bundle projection is a
Riemannian submersion with respect to these metrics. We compute explicit formulae for the sectional curvature of the moduli space in terms of Green operators of the elliptic complex associated with a monopole. Further, we construct a Riemannian metric on the cobordism between moduli spaces for
different perturbations. The second construction of a Riemannian metric on
the moduli space uses a canonical global gauge fixing, which represents the total space of the Seiberg-Witten bundle as a finite dimensional submanifold of the configuration space.</p>
<p>We consider the Seiberg-Witten moduli space on a simply
connected Käuhler surface. We show that the moduli space
(when nonempty) is a complex projective space, if the perturbation
does not admit reducible monpoles, and that the moduli space consists of a single point otherwise. The Seiberg-Witten bundle can then be identified with the Hopf fibration.
On the complex projective plane with a special Spin-C structure, our Riemannian metrics on the
moduli space are Fubini-Study metrics. Correspondingly, the metrics on
the total space of the Seiberg-Witten bundle are Berger
metrics. We show that the diameter of the moduli space shrinks to 0 when the perturbation approaches the wall of reducible perturbations.
Finally we show, that the quotient L2-metric on the Seiberg-Witten moduli space
on a Kähler surface is a Kähler metric.</p> / <p>In dieser Dissertationsschrift geben wir zwei Konstruktionen Riemannscher Metriken auf Seiberg-Witten-Modulräumen an. Beide Metriken werden in natürlicher Weise durch die L2-Metrik des Konfiguartionsraumes induziert. Die Konstruktion der sogenannten Quotienten-L2-Metrik entspricht der durch Groisser und Parker angegebenen Konstruktion einer L2-Metrik auf Yang-Mills-Modulräumen. Zur Konstruktion einer Quotienten-Metrik auf dem Totalraum des Seiberg-Witten-Bündels führen wir die sogenannte reduzierte Eichgruppe ein. Wir zeigen, dass der Quotient des Prämodulraumes nach der reduzierten Eichgruppe als U(1)-Bündel isomorph ist zu dem Quotienten nach der basierten Eichgruppe. Dadurch trägt der Totalraum des Seiberg-Witten Bündels eine natürliche Quotienten-L2-Metrik, bzgl. derer die Bündelprojektion eine Riemannsche Submersion ist. Wir berechnen explizite Formeln für die Schnittrümmung des Modulraumes in Ausdrücken der Green-Operatoren des zu einem Monopol gehörigen elliptischen Komplexes. Ferner konstruieren wir eine Riemannsche Metrik auf dem Kobordismus zwischen Modulräumen zu verschiedenen Störungen. Die zweite Konstruktion einer Riemannschen Metrik auf Seiberg-Witten-Modulräumen benutzt eine kanonische globale Eichfixierung, vermöge derer der Totalraum des Seiberg-Witten-Bündels als endlich-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Konfigurationsraumes dargestellt werden kann.</p>
<p>Wir betrachten speziell die Seiberg-Witten-Modulräume auf einfach zusammenhängenden Kähler-Mannigfaltigkeiten. Wir zeigen, dass der
Seiberg-Witten-Modulraum (falls nicht-leer) im irreduziblen Fall ein komplex projektiver Raum its und im reduziblen Fall aus einem einzelnen Punkt besteht.
Das Seiberg-Witten-Bündel läßt sich mit der Hopf-Faserung identifizieren. Die L2-Metrik des Modulraumes auf der komplex projektiven Fläche CP2 (mit einer speziellen Spin-C-Struktur) ist die Fubini-Study-Metrik; entsprechend sind die Metriken auf dem Totalraum Berger-Metriken. Wir zeigen, dass der Durchmesser des Modulraumes gegen 0 konvergiert, wenn die Störung sich dem reduziblen Fall nähert. Schließlich zeigen wir, dass die Quotienten-L2-Metrik auf dem Seiberg-Witten-Modulraum einer Kählerfläche eine Kähler-Metrik ist.</p>
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