Cette thèse est un travail conjointement sur l'espace de modules $\mathscr<br />M$ des connexions plates du fibré principal $S\times G$ d'une sphère de<br />Riemann $S$ (ayant $n\geq 3$ bords), où $G=\GL{N,\C}$ et sur l'algèbre de<br />lacets $\tilde\g=\gl{N,\C}(\!(\l^\mi)\!)$. <br /><br />Dans un premier temps, nous étudions une hiérarchie de bidérivations<br />quadratiques sur $\tilde\g$. En particulier, grâce au processus de fusion<br />introduit par Alekseev, Kosmann-Schwarzbach et Meinrenken en 2002, nous<br />extrayons parmi elles une structure $\PB^Q_1$ de quasi-Poisson sur<br />$\tilde\g$. Celle-ci se restreint au sous-espace<br />$\tilde\g_n=\set{\sum_{k=0}^nx^{[k]}\l^k}$.<br /><br />Nous montrons ensuite un résultat de réduction dans un contexte de<br />bidérivation de quasi-Poisson. Il permet d'équipper le quotient $\mathscr<br />A/G:=\set{\Id\l^n+\l Y(\l)+\Id|Y\in\tilde\g_{n-2}}/G$ d'une structure de<br />Poisson induite par $\PB^Q_1$.<br /><br />En s'appuyant sur le système intégrable de Beauville sur<br />$\tilde\g_{n-2}/G$, nous montrons que la famille de fonctions $({\text{tr}}<br />X^k(a))_{k\in\N,a\in\C}$ constitue un système intégrable sur $\mathscr<br />A/G$. Les fonctions que nous considérons sur l'espace de modules $\mathscr<br />M$ sont les tiré-en-arrière $(\mathscr<br />T^*{\text{tr}X^k(a)})_{k\in\N,a\in\C}$, où $\mathscr T:G^n\to\tilde\g_n$<br />est un morphisme de quasi-Poisson et un difféomorphisme local. Nous<br />utilisons ces propriétés de $\mathscr T$ pour montrer que cette famille de<br />fonctions constitue un système intégrable sur $\mathscr M$.

Cette thèse traite essentiellement de deux systèmes intégrables associés à des algèbres de Lie simples. Les deux résultats principaux sont la construction et l'intégrabilité au sens de Liouville des réseaux de 2-Toda et de Full Kostant-Toda périodique sur toute algèbre de Lie simple. Ces réseaux sont l'un et l'autre décrit par un champ hamiltonien associé à un crochet de Poisson qui provient d'une algèbre de Lie munie d'une R-matrice. Nous construisons dans les deux cas une grande famille de constantes de mouvement que nous utilisons pour démontrer l'intégrabilité au sens de Liouville des deux systèmes. Nos constructions et nos démonstrations font appel à de nombreux résultats sur les algèbres de Lie simples, leurs R-matrices, leurs fonctions Ad-invariantes et leurs systèmes de racines.