El objetivo de este trabajo es hacer un estudio del método subgradiente, que es un método usado para la minimización de funciones convexas no necesariamente diferenciables. Presentamos el método para el caso con restricciones como para el caso irrestricto, presentamos resultados de convergencia para los diferentes tamaños de pasos más usados y estudiamos variantes para las dificultades que pueden acontecer en el método También estudiamos un algoritmo para resolver desigualdades variacionales definidas por un operador monótono e un conjunto convexo y cerrado, se prueba un resultado de convergencia asumiendo que el operador es monótono maximal y paramonotono. Y por ultimo extendemos el algoritmo del subgradiente para el caso de funciones cuasiconvexas asumiendo la condición de ser Holder sobre el conjunto optimal, probando que la sucesión generada converge a un punto óptimo. PALABRAS CLAVES: Método del Subgradiente, Análisis no diferenciable, Desigualdades variacionales, Analisis convexo, Métodos para optimización no diferenciable / --- The objective of this work is to study the subgradient method, which is a method used to minimize not necessarily differentiable convex functions. We present a method for the case restricted to the unrestricted case, we present results of convergence for the different sizes of commonly used steps and study alternatives for the difficulties that may occur in the method Also study an algorithm for solving variational inequalities defined by a monotone operator and a convex closed set, a result of convergence assuming that the operator is monotone and maximal paramonotono is tested. And finally the algorithm Subgradient is extend to the case of functions cuasiconvexas assuming the condition of being Holder on the optimal set, proving that the generated sequence converges to an optimal point. KEYWORDS: Subgradient Method,Analysis not differentiable, Variational inequalities, Convex analysis, Methods for optimization not differentiable / Tesis

Demuestra la desigualdad de Sobolev. Inicialmente, el enfoque se basó en las desigualdades clásicas, tales como la desigualdad de Jensen, Holder y Minkowski. Luego de ello, se presentó las herramientas principales con las que se avanzó durante el proyecto que son convolución y transformada de Fourier. Para la segunda mitad se muestra al operador maximal de Hardy- Littlewood y probando la desigualdad de Sobolev. Finalmente, se exhibe una aplicación de la teoría expuesta para resolver un problema en concreto; las ecuaciones de Schrodinger. / Tesis

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Algunos fenómenos naturales, desde un enfoque teleológico, escogen trayectorias expeditas, e.g. la refracción de la luz, el plegamiento de biopol´ımeros, otros por el contrario seleccionan caminos ineficientes y extravagantes, e.g. la reflexión de la luz en superficies espejadas cóncavas. Otros, en cambio, eligen caminos que evolucionan sin proseguir estrategias extremas. Los problemas aqu´ı tratados plantean determinar el conjunto de trayectorias admisibles, para lo cual se apela a métodos y modelos sustentados en argumentos lógicos y proposiciones matemáticas. La metodología variacional permite un nexo entre el pensamiento de Hamilton en “Geometría ´Optica” y su diseño del “Icosian Game”. Vínculo que consiste en la identificación de las trayectorias hamiltonianas y cuasi-hamiltonianas reflexivas en las arquitecturas de las redes con nodos en los v´ertices de los n-gonos regulares. Mientras que mediante la aplicaci´on del algoritmo aritmético propuesto se caracterizan las soluciones extremales de diferentes problemas de hamiltonianos cíclicos y no cíclicos óptimos y subóptimos. / In the teleology of natural phenomena it is well known that some processes expedite progress, e.g. the law of refraction, the folding of biopolymers, while, on the contrary other processes perform the pathways of the inefficiency or extravagance, e.g. the law of reflection at the hollow mirrors, and there are processes that involve non-extreme strategies. The studied problems impose to determine the set of the admissible trajectories that require methods and models supported by logical arguments and mathematical statements. The variational procedure allows a link between Hamilton’s thoughts in “Geometric Optics”and his design of the “Icosian Game”. This connection identifies the reflective hamiltonian and quasi-hamiltonian paths in the architecture of the networks built on the vertices of the regular n-gons. The applications of the proposed algorithm deal with the characterization of the pathways that solve different hamiltonian cyclic and non-cyclic extremal path problems.

Tesis por compendio / [ES] En esta tesis doctoral se propone y evalúa un sistema para detectar señales débiles (weak signals) relacionadas con cambios futuros trascendentales. Si bien la mayoría de las soluciones conocidas se basan en el uso de datos estructurados, el sistema propuesto detecta cuantitativamente estas señales utilizando información heterogénea y no estructurada de fuentes científicas, periodísticas y de redes sociales. La predicción de nuevas tendencias en un medio tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, empresas y startups se enfrentan a cambios constantes en sus mercados que son muy difíciles de predecir. Por esta razón, el desarrollo de sistemas para detectar automáticamente cambios futuros significativos en una etapa temprana es relevante para que cualquier organización tome decisiones acertadas a tiempo. Este trabajo ha sido diseñado para obtener señales débiles del futuro en cualquier campo dependiendo únicamente del conjunto de datos de entrada de documentos. Se aplican técnicas de minería de textos y procesamiento del lenguaje natural para procesar todos estos documentos. Como resultado, se obtiene un mapa con un ranking de términos, una lista de palabras clave clasificadas automáticamente y una lista de expresiones formadas por múltiples palabras. El sistema completo se ha probado en cuatro sectores diferentes: paneles solares, inteligencia artificial, sensores remotos e imágenes médicas. Este trabajo ha obtenido resultados prometedores, evaluados con dos metodologías diferentes. Como resultado, el sistema ha sido capaz de detectar de forma satisfactoria nuevas tendencias en etapas muy tempranas que se han vuelto cada vez más importantes en la actualidad. La computación cuántica es un nuevo paradigma para una multitud de aplicaciones informáticas. En esta tesis doctoral también se presenta un estudio de las tecnologías disponibles en la actualidad para la implementación física de qubits y puertas cuánticas, estableciendo sus principales ventajas y desventajas, y los marcos disponibles para la programación e implementación de circuitos cuánticos. Con el fin de mejorar la efectividad del sistema, se describe un diseño de un circuito cuántico basado en máquinas de vectores de soporte (SVM) para la resolución de problemas de clasificación. Este circuito está especialmente diseñado para los ruidosos procesadores cuánticos de escala intermedia (NISQ) que están disponibles actualmente. Como experimento, el circuito ha sido probado en un computador cuántico real basado en qubits superconductores por IBM como una mejora para el subsistema de minería de texto en la detección de señales débiles. Los resultados obtenidos con el experimento cuántico muestran también conclusiones interesantes y una mejora en el rendimiento de cerca del 20% sobre los sistemas convencionales, pero a su vez confirman que aún se requiere un desarrollo tecnológico continuo para aprovechar al máximo la computación cuántica. / [CA] En aquesta tesi doctoral es proposa i avalua un sistema per detectar senyals febles (weak signals) relacionats amb canvis futurs transcendentals. Si bé la majoria de solucions conegudes es basen en l'ús de dades estructurades, el sistema proposat detecta quantitativament aquests senyals utilitzant informació heterogènia i no estructurada de fonts científiques, periodístiques i de xarxes socials. La predicció de noves tendències en un medi té moltes aplicacions. Per exemple, empreses i startups s'enfronten a canvis constants als seus mercats que són molt difícils de predir. Per això, el desenvolupament de sistemes per detectar automàticament canvis futurs significatius en una etapa primerenca és rellevant perquè les organitzacions prenguen decisions encertades a temps. Aquest treball ha estat dissenyat per obtenir senyals febles del futur a qualsevol camp depenent únicament del conjunt de dades d'entrada de documents. S'hi apliquen tècniques de mineria de textos i processament del llenguatge natural per processar tots aquests documents. Com a resultat, s'obté un mapa amb un rànquing de termes, un llistat de paraules clau classificades automàticament i un llistat d'expressions formades per múltiples paraules. El sistema complet s'ha provat en quatre sectors diferents: panells solars, intel·ligència artificial, sensors remots i imatges mèdiques. Aquest treball ha obtingut resultats prometedors, avaluats amb dues metodologies diferents. Com a resultat, el sistema ha estat capaç de detectar de manera satisfactòria noves tendències en etapes molt primerenques que s'han tornat cada cop més importants actualment. La computació quàntica és un paradigma nou per a una multitud d'aplicacions informàtiques. En aquesta tesi doctoral també es presenta un estudi de les tecnologies disponibles actualment per a la implementació física de qubits i portes quàntiques, establint-ne els principals avantatges i desavantatges, i els marcs disponibles per a la programació i implementació de circuits quàntics. Per tal de millorar l'efectivitat del sistema, es descriu un disseny d'un circuit quàntic basat en màquines de vectors de suport (SVM) per resoldre problemes de classificació. Aquest circuit està dissenyat especialment per als sorollosos processadors quàntics d'escala intermèdia (NISQ) que estan disponibles actualment. Com a experiment, el circuit ha estat provat en un ordinador quàntic real basat en qubits superconductors per IBM com una millora per al subsistema de mineria de text. Els resultats obtinguts amb l'experiment quàntic també mostren conclusions interessants i una millora en el rendiment de prop del 20% sobre els sistemes convencionals, però a la vegada confirmen que encara es requereix un desenvolupament tecnològic continu per aprofitar al màxim la computació quàntica. / [EN] In this doctoral thesis, a system to detect weak signals related to future transcendental changes is proposed and tested. While most known solutions are based on the use of structured data, the proposed system quantitatively detects these signals using heterogeneous and unstructured information from scientific, journalistic, and social sources. Predicting new trends in an environment has many applications. For instance, companies and startups face constant changes in their markets that are very difficult to predict. For this reason, developing systems to automatically detect significant future changes at an early stage is relevant for any organization to make right decisions on time. This work has been designed to obtain weak signals of the future in any field depending only on the input dataset of documents. Text mining and natural language processing techniques are applied to process all these documents. As a result, a map of ranked terms, a list of automatically classified keywords and a list of multi-word expressions are obtained. The overall system has been tested in four different sectors: solar panels, artificial intelligence, remote sensing, and medical imaging. This work has obtained promising results that have been evaluated with two different methodologies. As a result, the system was able to successfully detect new trends at a very early stage that have become more and more important today. Quantum computing is a new paradigm for a multitude of computing applications. This doctoral thesis also presents a study of the technologies that are currently available for the physical implementation of qubits and quantum gates, establishing their main advantages and disadvantages and the available frameworks for programming and implementing quantum circuits. In order to improve the effectiveness of the system, a design of a quantum circuit based on support vector machines (SVMs) is described for the resolution of classification problems. This circuit is specially designed for the noisy intermediate-scale quantum (NISQ) computers that are currently available. As an experiment, the circuit has been tested on a real quantum computer based on superconducting qubits by IBM as an improvement for the text mining subsystem in the detection of weak signals. The results obtained with the quantum experiment show interesting outcomes with an improvement of close to 20% better performance than conventional systems, but also confirm that ongoing technological development is still required to take full advantage of quantum computing. / Griol Barres, I. (2022). Modelling of a System for the Detection of Weak Signals Through Text Mining and NLP. Proposal of Improvement by a Quantum Variational Circuit [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/183029 / Compendio

There are two main subjects in this thesis: the first one deals with the numerical simulation of shallow water equations, the other one is the resolution of some problems in image processingThe first part of this dissertation is devoted to the shallow waters. We propose a combined scheme which uses the Marquina's double flux decomposition (extended to the non homogeneous case) when adjacent states are not close and a single decomposition otherwise. This combined scheme satisfies the exact C property. Furthermore, we propose a special treatment of the numerical scheme at dry zones.The second subject is the digital simulation of the Day for Night (or American Night in Europe). The proposed algorithm simulates a night image coming from a day image and considers some aspects of night perception. In order to simulate the loss of visual acuity we introduce a partial differential equation that simulates the spatial summation principle of the photoreceptors in the retina.The gap restoration (inpainting) on surfaces is the object of the third part. For that, we propose some geometrical approaches based on the mean curvature. Then, we also use two interpolation methods: the resolution of the Laplace equation, and an Absolutely Minimizing Lipschitz Extension (AMLE). Finally, we solve the restoration problem of satellite images. The variational problem that we propose manages to do irregular to regular sampling, denoising, deconvolution and zoom at the same time. / Los temas tratados en esta tesis son, por un lado, la simulación numérica de las ecuaciones de aguas someras ("shallow waters") y por otro, la resolución de algunos problemas de procesamiento de imágenes. En la primera parte de la tesis, dedicada a las aguas someras, proponemos un esquema combinado que usa la técnica de doble descomposición de flujos de Marquina (extendida al caso no homogéneo) cuando los dos estados adyacentes no están próximos y una única descomposición en caso contrario. El esquema combinado verifica la propiedad C exacta. Por otro lado, proponemos un tratamiento especial en las zonas secas.El segundo tema tratado es la simulación digital de la Noche Americana ("Day for Night"). El algoritmo propuesto simula una imagen nocturna a partir de una imagen diurna considerando varios aspectos de la percepción visual nocturna. Para simular la pérdida de agudeza visual se propone una ecuación en derivadas parciales que simula el principio de sumación espacial de los fotoreceptores situados en la retina.La restauración de agujeros ("inpainting") en superficies es objeto de la tercera parte. Para ello se proponen varios enfoques geométricos basados en la curvatura media. También se utilizan dos métodos de interpolación: la resolución de la ecuación de Laplace y el método AMLE (Absolutely Minimization Lipschitz Extension).Por último, tratamos la restauración de imágenes satelitales. El método propuesto consigue obtener una colección de muestras regulares a partir de un muestreo irregular, eliminando a la vez el ruido, deconvolucinando la imagen y haciendo un zoom.