L'étude de la p-variation d'un processus en probabilité n'est pas nouvelle.<br>Elle est en effet initiée par des auteurs parmi lesquels, on peut citer Lévy (1940), Blumenthal et Getoor (1960, 1961), Monroe (1972), Bretagnolle (1972) et Lépingle (1976). <br>Elle a connue un engouement ces dernières années en relation avec leur utilité révélée dans l'estimation de la volatilité et les tests de présence de sauts en mathématiques financières.<br>Dans cette thèse, nous généralisons certains résultats obtenus dans ce domaine avec des fonctions test qui dépendent de l'aléa, du temps et du l'espace.<br>Nous prouvons la convergence des processus étudiés et sous certaines conditionsnous donnons le théorème central limite associé.<br>Les résultats obtenus peuvent servir également en statistique des processus concernant la convergence des fonctions de contrastes.

Cette thèse porte sur l'étude des propriétés asymptotiques des p-variations de processus observés de manière discrète dans le temps et entachés d'une erreur d'arrondi en espace. Cette thèse comporte trois parties ; le chapitre 1 est consacré à des rappels sur les semimartingales et les types de convergences étudiés. Dans le chapitre 2, nous étudions les p,q-variations associées à un mouvement brownien bidimensionnel arrondi lorsque les pas de temps et d'espace tendent vers 0. Leur comportement dépend de deux paramètres : le premier est le rapport entre le pas d'arrondi et la racine du pas de temps, les résultats différant radicalement selon que ce paramètre converge ou diverge ; le second est la matrice de covariance associée au mouvement brownien. Lorsque celle-ci est inversible, le comportement des p,q-variations avec arrondi est une généralisation naturelle de celui des p-variations d'un brownien unidimensionnel arrondi. Lorsque par contre la matrice de covariance est dégénérée, les deux composantes du brownien sont proportionnelles et nous obtenons des lois des grands nombres très différentes selon que le rapport entre les deux est ou non rationnel. Le chapitre 3 s'intéresse au comportement asymptotique des p-variations d'une semimartingale arrondie. Nous montrons dans un premier temps des lois des grands nombres pour les p-variations renormalisées ou non renormalisées, ainsi qu'une généralisation à des semimartingales bidimensionnelles continues. Lorsque cela est possible, c'est-à-dire pour des p-variations non-renormalisées, nous prouvons ensuite des théorèmes centraux limites associés, au prix d'hypothèses supplémentaires sur la structure de la semimartingale.