In dieser Dissertation entwickeln wir eine Schnittheorie von torischen bzw. toroidalen b-Divisoren auf torischen bzw. toroidalen Einbettungen. Motiviert wird dies durch das Ziel, eine arithmetische Schnittheorie auf gemischten Shimura- Varietäten von nicht-kompaktem Typ zu begründen. Die bisher zur Verfügung stehenden Werkzeuge definieren keine numerischen Invarianten, die birational invariant sind. Zuerst definieren wir torische b-Divisoren auf torischen Varietäten und einen Integrabilitätsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass torische b-Divisoren unter geeigneten Annahmen an die Positivität integrierbar sind und dass ihr Grad als das Volumen einer konvexen Menge gegeben ist. Außerdem zeigen wir, dass die Dimension des Vektorraums der globalen Schnitte eines torischen b-Divisors, der nef ist, gleich der Anzahl der Gitterpunkte in besagter konvexer Menge ist und wir geben eine Hilbert–Samuel-Formel für das asymptotische Wachstum dieser Dimension. Dies verallgemeinert klassische Resultate für klassische torische Divisoren auf torischen Varietäten. Als ein zusätzliches Resultat setzen wir konvexe Mengen, die von torischen b-Divisoren kommen, mit Newton–Okounkov- Körpern in Beziehung. Anschließend definieren wir toroidale b-Divisoren auf toroidalen Varietäten und einen Integrierbarkeitsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass unter geeigneten Positivitätsannahmen toroidale b-Divisoren integrierbar sind und ihr Grad als ein Integral bezüglich eines Grenzmaßes aufgefasst werden kann. Dieses Grenzmaß ist ein schwacher Grenzwert von diskreten Maßen, deren Gewichte über tropische Schnittheorie auf rationalen konischen polyedrischen Komplexen definiert sind, welche zu der toroidalen Varietät gehören. Wir setzen dieses Grenzmaß ebenfalls in Beziehung zum zu einem konvexen Körper assoziierten Flächeninhaltsmaß. Diese Beziehung erlaubt es uns, Integrale bezüglich des Grenzmaßes explizit auszurechnen. Zusätzlich erhalten wir eine kanonische Zerlegung der Differenz zweier konvexer Mengen und eine Beziehung zwischen das Volumen von den Teilen und tropische Schnittheoretische Mengen. Schließlich berechnen wir als Anwendung den Grad des b-Divisors von Jacobiformen vom Gewicht k und Index m bezüglich der Hauptkongruenzuntergruppe zum Level N >= 3 auf der verallgemeinerten universellen elliptischen Kurve und wir zeigen, dass der b-divisoriale Ansatz gegenüber lediglich einer kanonischen Kompaktifizierung Vorteile bietet. / In this thesis we develop an intersection theory of toric and toroidal b-divisors on toric and toroidal embeddings, respectively. Our motivation comes from wanting to establish an arithmetic intersection theory on mixed Shimura varieties of non- compact type. The tools available until now do not define numerical invariants which are birationally invariant. First, we define toric b-divisors on toric varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toric b- divisors are integrable and that their degree is given as the volume of a convex set. Moreover, we show that the dimension of the space of global sections of a nef toric b-divisor is equal to the number of lattice points in this convex set and we give a Hilbert-Samuel type formula for its asymptotic growth. This generalizes classical results for classical toric divisors on toric varieties. As a by-product, we relate convex sets arising from toric b-divisors with Newton-Okounkov bodies. Then, we define toroidal b-divisors on toroidal varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toroidal b-divisors are integrable and that their degree is given as an integral with respect to a limit measure, which is a weak limit of discrete measures whose weights are defined via tropical intersection theory on the rational con- ical polyhedral complex attached to the toroidal variety. We also relate this limit measure with the surface area measure associated to a convex body. This relation enables us to compute integrals with respect to these limit measures ex- plicitly. Additionally, we give a canonical decomposition of the difference of two convex sets and we relate the volume of the pieces to tropical top intersection numbers. Finally, as an application, we compute the degree of the b-divisor of Jacobi forms of weight k and index m with respect to the principal congruence subgroup of level N >= 3 on the generalized universal elliptic curve and we show that it is meaningful to consider the b-divisorial approach instead of just fixing one canonical compactification.

In dieser Doktorarbeit untersuchen wir einige Modulräume der Prym-Paaren, Prym-Varietäten und Spin-Kurven. Nachdem der passende theoretische Rahmen eingeführt wird, erhalten wir neue Ergebnisse zu zwei verschiedenen Aspekten ihrer Geometrie, die wir in zwei entsprechenden Kapiteln beschreiben. In Kapitel 1 betrachten wir die universelle Prym-Varietät über dem Modulraum R_g der Prym-Paaren vom Geschlecht g und bestimmen ihre Unirationalität für g=3. Dazu bilden wir eine explizite rationale Parametrisierung der universellen 2-fachen Prym-Kurve über R_3, die die universelle Prym-Varietät durch die globale Version der Abel-Prym-Abbildung dominiert. Darüber hinaus passen wir den Beweis an den Rahmen von Nikulin-Flächen an und zeigen, dass die universelle doppelte Nikulin-Fläche ebenfalls unirational ist. In Kapitel 2 untersuchen wir die Wechselwirkung zwischen R_g und dem Modulraum S_g der (stabilen) Spin-Kurven vom Geschlecht g. Wenn man den Divisor der Kurven, die mit einem verschwindenden Thetanull ausgestattet sind, von S_g^+ nach R_g versetzt, erhält man zwei geometrische Divisoren der (stabilen) Prym-Kurven mit einem verschwindenden Thetanull. Wir verwenden Testkurventechniken, um die Klassen dieser (Prym-Null-)Divisoren für g>=5 zu berechnen, und werten die Prymnull-Klassen auf einigen weiteren Familien von Kurven aus, um ihre verschwindenden Thetanulls zu analysieren. Darüber hinaus diskutieren wir am Ende von Kapitel 2 eine mögliche Kompaktifizierung des Modulraums der Kurven, die eine doppelte Quadratwurzel tragen. Anschließend untersuchen wir den Rand des Modulraums RS_g der (stabilen) Prym-Spin-Kurven vom Geschlecht g und überprüfen die Prymnull-Klassen anhand des Diagramms R_g<--RS_g-->S_g. Zum Schluss schlagen wir eine Erweiterung des Produkts von Wurzeln, das über glatten Kurven durch das Tensorprodukt definiert ist, zu einer Operation auf stabilen Doppelwurzeln vor. / In this thesis, we study several moduli spaces of Prym pairs, Prym varieties, and spin curves. After the appropriate theoretical framework is introduced, we obtain new results concerning two different aspects of their geometry, which we describe across two corresponding chapters. In Chapter 1, we consider the universal Prym variety over the moduli space R_g of Prym pairs of genus g, and determine its unirationality for g=3. To do this, we build an explicit rational parametrization of the universal 2-fold Prym curve over R_3, which dominates the universal Prym variety through the global version of the Abel-Prym map. Furthermore, we adapt the proof to the setting of Nikulin surfaces and show that the universal double Nikulin surface is also unirational. In Chapter 2, we explore the interaction between R_g and the moduli space S_g of (stable) spin curves of genus g. When the divisor of curves equipped with a vanishing theta-null is moved from S_g^+ to R_g, it yields two geometric divisors of (stable) Prym curves with a vanishing theta-null. We use test curve techniques to compute the classes of these (Prym-null) divisors for g>=5, and evaluate the Prym-null classes on some more families of curves in order to analyse their vanishing theta-nulls. In addition, at the end of Chapter 2 we discuss a potential compactification of the moduli space of curves carrying a double square root. We then examine the boundary of the moduli space RS_g of (stable) Prym-spin curves of genus g and check the Prym-null classes against the diagram R_g<--RS_g-->S_g. Finally, we propose an extension of the product of roots, defined over smooth curves by the tensor product, to an operation on stable double roots.