Des patchs en matériaux composites sont classiquement utilisés dans l'aéronautique pour réparer ou renforcer des structures métalliques. Ces deux types de matériaux présentent cependant des coefficients de dilatation très différents. De ce fait, leur assemblage, soumis à de grandes variations de température en cours de fonctionnement, est le siège de contraintes pouvant provoquer la rupture ou le décollement du patch. Afin d'évaluer précisement les distributions de contraintes dans l'assemblage collé, différents modèles de calcul ont été proposés : d'abord un modèle analytique bidimensionnel mettant en évidence des effets liés à la géométrie plane de la structure, puis un modèle thermo-viscoélastique intégrant le comportement non-linéaire de la colle en fonction du temps et de la température. Ces modèles ont été ensuite partiellement validés expérimentalement sur des éprouvettes patchées en utilisant des méthodes de mesure de champs.

Les propriétés mécaniques des tissus biologiques sont des paramètres importants en médecine : ce sont des biomarqueurs du fonctionnement normal ou pathologique d'un tissu. En effet, ces propriétés peuvent être affectées par certaines conditions mécaniques telles que l'application d'une contrainte externe, comme l'hypertension ou un traumatisme, mais également par la présence de certaines maladies, telles que le cancer, la fibrose, l'inflammation, la maladie d'Alzheimer, ou bien tout simplement avec l'âge. La palpation réalisée par le médecin permet de discerner ces changements mais ce geste est qualitatif et ne peut accéder à des organes profonds. L'élastographie-IRM reste une méthode quantitative, robuste, d'une grande précision, qui permet de sonder l'élasticité et la viscosité des tissus. Elle consiste à mesurer le champ de déplacement d'une onde de cisaillement induite dans l'organe ciblé par une technique IRM en contraste de phase. Les modules viscoélastiques sont alors déduits après inversion de l'équation d'onde. Malgré cela, la justesse de cette technique n'a pas encore été pleinement établie. L'élastographie-IRM est en cours d'implémentation en routine clinique sur des patients atteints de maladies hépatiques chroniques ou bien pour caractériser des tumeurs dans le cas de cancer du sein. L'application aux autres organes protégés, tels que le cerveau ou les poumons, reste encore du domaine de la recherche à cause de la difficulté d'y induire des ondes mécaniques (protection naturelle de la boîte crânienne ou de la cage thoracique). C'est dans ce contexte qu'intervient un volet de mon travail de thèse : la mise en place, la caractérisation et l'optimisation d'un système induisant des ondes mécaniques dans les organes profonds. L'approche originale suivie a été d'utiliser les voies naturelles permettant d'amener l'onde de pression aux poumons ou bien à l'encéphale, différente des approches classiques consistant à traverser les barrières protectrices. Ce générateur d'onde de pression nous a permis d'obtenir des amplitudes d'onde allant de 6 µm à 30 µm dans l'ensemble du cerveau, amplitudes suffisantes afin d'en déduire les modules viscoélastiques du cerveau entier. D'autre part, un travail important s'est attaché à la réalisation d'un schéma original de correction des mouvements du patient en élastographie-IRM. Nous avons mis en évidence comment ces mouvements peuvent entraîner une discordance des composantes du champ de déplacement, nécessitant alors d'être corrigées. La correction proposée est composée d'une première étape dont la finalité est de recaler spatialement l'ensemble des volumes acquis, puis d'une seconde étape permettant de rétablir les composantes du champ de déplacement dans la même base orthonormée. Nous avons évalué numériquement et expérimentalement le biais induit quand aucunes corrections n'étaient appliquées sur ces données ainsi que l'apport de ces deux étapes de correction. Un travail préliminaire sur l'étude de la reproductibilité des acquisitions (phase en particulier) a été nécessaire. Enfin, l'ensemble des résultats de ces deux volets nous ont permis de réaliser des acquisitions d'élastographie du cerveau complet et d'obtenir des cartes du champ de déplacement de qualité. Ainsi, nous avons pu montrer la tendance des ondes mécaniques à suivre les directions privilégiées des fibres du cerveau, résultats que nous avons commencé à confronter aux observations faites en DTI.

Dans cette thèse, des techniques d’homogénéisation multi-échelles sont proposées pour l’analyse des vibrations des matériaux composites viscoélastiques. Dans la première partie, la Méthode Asymptotique à Deux Echelles (MADE) est proposée pour la modélisation des vibrations des longues structures sandwichs viscoélastiques répétitives. Pour ce type de structures les pulsations amorties correspondant aux modes propres de vibration sont regroupées en paquets bien distincts. La MADE décompose le problème initial de grande taille en deux problèmes de petites tailles. Le premier est défini sur quelques cellules de base et le second est une équation différentielle d’amplitude à coefficients complexes. La résolution de ces problèmes permet de déterminer les propriétés amortissantes correspondant aux modes de début et de fin de paquet de la structure tout en évitant la discrétisation de toute la structure. Pour les structures dont les coeurs ont un module d’Young dépendant de la fréquence, le problème non linéaire formulé sur les cellules de bases est résolu par l’approche diamant. Les modèles ADF et à dérivées fractionnaires ont été considérés dans les tests numériques. En utilisant la MADE, on évite la discrétisation de toute la structure, ce qui permet donc de réduire considérablement le temps de calcul ainsi que l’espace mémoire CPU nécessaires. L’approche proposée a été validée en comparant les résultats à ceux de la simulation éléments finis basée sur la discrétisation de toute la structure, et utilisant l’approche diamant. Dans la seconde partie de cette thèse, la méthode des éléments finis multi-échelles (EF2) a été développée pour le calcul des propriétés modales des structures à matériaux hétérogènes viscoélastiques en terme de fréquences amorties et amortissements modaux. Dans le principe de l’approche EF2, le problème de vibration est formulé à deux échelles : l’échelle de la structure globale (échelle macroscopique) et l’échelle d’un VER minutieusement choisi (échelle microscopique). Le problème à résoudre à l’échelle microscopique est un problème non linéaire alors que le problème à résoudre à l’échelle macroscopique est un problème linéaire. La non linéarité à l’échelle microscopique est introduite par la dépendance en fréquence du module d’Young des matériaux des phases viscoélastiques. Le problème non linéaire ainsi généré à l’échelle microscopique est résolu grâce à la MAN et ses outils de différentiation automatique réalisés sous Matlab, Fortran et C++. Un outil numérique, générique, robuste, peu coûteux en temps de calcul et espace mémoire CPU, de résolution des problèmes de vibrations non amorties des structures composites viscoélastique est ainsi mis en place. Le modèle viscoélastique à module constant ainsi que des modèles à modules dépendant de la fréquence notamment le modèle ADF et le modèle à dérivées fractionnaires ont été considérés pour les tests numériques de validation. Les comparaisons avec les résultats ABAQUS ont confirmé l’efficacité du code propos é. Le modèle est ensuite utilisé pour le calcul des propriétés amortissantes des structures sandwichs viscoélastiques à coeur composite. Les capacités de la nouvelle approche à concevoir des structures sandwichs viscoélastiques à coeur composite et à haut pouvoir amortissant ont été testées avec succès à travers l’étude de l’influence des différents paramètres des inclusions sur les propriétés amortissantes d’une structure sandwich viscoélastique à coeur composite / In this thesis, multiscale homogenization techniques are proposed for vibration analysis of structures with viscoelastic composite materials. In the first part, the Double Scale Asymptotic Method is proposed for vibration modeling of large repetitive viscoelastic sandwich structures. For this kind of structures, la eigenfrequencies are closely located in well separated packets. The DSAM splits the initial problem of large size into two problems of relatively small sizes. The first problem is posed on few basic cells, and the second one is an amplitude equation with complex coefficients. The resolution of these equations permits to compute the damping properties that correspond to the beginning and the end of every packets of eigenmodes. In case of structure with frequency dependent Young modulus in the core, the diamant approach is used to solve the nonlinear problem posed on basic cells. The ADF and fractional derivative models are considered in numerical tests. By using the DSAM, one avoid the discretization of the whole structure, and the computation time and needed CPU memory are thus reduced. The proposed method is validated by comparing its results with those of the direct finite element method using the diamant approach. In the second part of this thesis, the multiscale finite element method (FE2) is proposed for computation of modal properties (resonant frequency and modal loss factors) of structures with composite materials. In the principle of the (FE2) method, the vibration problem is formulated at two scales: the scale of the whole structure (macroscopic scale) and the scale of a Representative Volume Element (RVE) considered as the microscopic scale. The microscopic problem is a nonlinear one and the macroscopic problem is linear. The nonlinearity at the microscopic scale is introduced by the frequency dependence of the Young modulus of the viscoelastic phases. This nonlinear problem is solved by the Asymptotic Numerical Method and its automatic differentiation tools realizable in Matlab, Fortran or C++. From this approach, numerical tool that is generic, flexible, robust and inexpensive in term of CPU time and memory is proposed for vibration analysis of viscoelastic structures. The constant Young modulus and frequency dependent Young modulus are considered in validation tests. The results of numerical simulation with ABAQUS are used are reference. The model is then used to compute the modal properties of sandwich structure with viscoelastic composite core. To test the capacities of the proposed approach to design sandwich viscoelastic structure with high damping properties, the influence of parameters of the inclusions are studied

L’objectif de ce travail est de développer des outils numériques utilisables dans la détermination de manière exacte des propriétés modales des structures sandwichs viscoélastiques composites au vue de la conception des structures sandwichs viscoélastiques légères mais à haut pouvoir amortissant. Pour cela nous avons tout d’abord développé un outil générique implémenté en Matlab pour la détermination des propriétés modales en vibration libre des plaques sandwichs viscoélastiques dont les faces sont en stratifié de plusieurs couches orientées dans diverses directions. L’intérêt de cet outil, basé sur une formulation éléments finis, réside dans sa capacité à prendre en compte l’anisotropie des couches composites, la non linéarité matérielle de la couche viscoélastique traduit par diverses lois viscoélastiques dépendant de la fréquence ainsi que diverses conditions aux limites. La résolution du problème aux valeurs propres non linéaires complexes se fait par le couplage entre la technique d’homotopie, la méthode asymptotique numérique et la différentiation automatique. Ensuite pour permettre une étude continue des effets d’un paramètre de modélisation sur les propriétés modales des sandwichs viscoélastiques, nous avons proposé une méthode générique de résolution de problème résiduel non linéaire aux valeurs propres complexes possédant en plus de la dépendance en fréquence introduite par la couche viscoélastique du coeur, la dépendance du paramètre de modélisation qui décrit un intervalle d’étude bien spécifique. Cette résolution est basée sur la méthode asymptotique numérique, la différentiation automatique, la technique d’homotopie et la continuation et prend en compte diverses lois viscoélastiques. Nous proposons après cela, deux formulations distinctes pour étudier les effets, sur les propriétés amortissantes, de deux paramètres de modélisation qui sont importants dans la conception de sandwichs viscoélastiques à haut pouvoir amortissement. Le premier est l’orientation des fibres des composites dans la référence du sandwich et le second est l’épaisseur des couches qui lorsqu’elles sont bien définies permettent d’obtenir non seulement des structures sandwichs à haut pouvoir amortissant mais très légères. Les équations fortement non linéaires aux valeurs propres complexes obtenues dans ces formulations sont résolues par la nouvelle méthode de résolution d’équation résiduelle développée. Des comparaisons avec des résultats discrets sont faites ainsi que les temps de calcul pour montrer non seulement l’utilité de ces deux formulations mais également celle de la méthode de résolution d’équations résiduelles non linéaires aux valeurs propres complexes à double dépendance / Modeling and design of composite viscoelastic structures with high damping powerThe aim of this thesis is to develop numerical tools to determine accurately damping properties of composite sandwich structures for the design of lightweight viscoelastic sandwichs structures with high damping power. In a first step, we developed a generic tool implemented in Matlab for determining damping properties in free vibration of viscoelastic sandwich plates with laminate faces composed of multilayers. The advantage of this tool, which is based on a finite element formulation, is its ability to take into account the anisotropy of composite layers, the material non-linearity of the viscoelastic core induiced by the frequency-dependent viscoelastic laws and various boundary conditions . The nonlinear complex eigenvalues problem is solved by coupling homotopy technic, asymptotic numerical method and automatic differentiation. Then for the continuous study of a modeling parameter on damping properties of viscoelastic sandwichs, we proposed a generic method to solve the nonlinear residual complex eigenvalues problem which has in addition to the frequency dependence introduced by the viscoelastic core, a modeling parameter dependence that describes a very specific study interval. This resolution is based on asymptotic numerical method, automatic differentiation, homotopy technique and continuation technic and takes into account various viscoelastic laws. We propose after that, two separate formulations to study effects on the damping properties according to two modeling parameters which are important in the design of high viscoelastic sandwichs with high damping power. The first is laminate fibers orientation in the sandwich reference and the second is layers thickness which when they are well defined allow to obtain not only sandwich structures with high damping power but also very light. The highly nonlinear complex eigenvalues problems obtained in these formulations are solved by the new method of resolution of eigenvalue residual problem with two nonlinearity developed before. Comparisons with discrete results and computation time are made to show the usefulness of these two formulations and of the new method of solving nonlinear complex eigenvalues residual problem of two dependances