L’exemple paradigmatique d’un processus stochastique multifractionnaire est le mouvement brownien multifractionnaire (mbm). Ce processus gaussien de nature fractale admet des trajectoires continues nulle part dérivables et étend de façon naturelle le célèbre mouvement brownien fractionnaire (mbf). Le mbf a été introduit depuis longtemps par Kolmogorov et il a ensuite été « popularisé » par Mandelbrot ; dans plusieurs travaux remarquables, ce dernier auteur a notamment insisté sur la grande importance de ce modèle dans divers domaines applicatifs. Le mbm, quant à lui, a été introduit, depuis plus de quinze ans, par Benassi, Jaffard, Lévy Véhel, Peltier et Roux. Grossièrement parlant, il est obtenu en remplaçant le paramètre constant de Hurst du mbf, par une fonction H(t) qui dépend de façon régulière du temps t. Ainsi, contrairement au mbf, les accroissements du mbm sont non stationnaires et la rugosité locale de ses trajectoires (mesurée habituellement par l’exposant de Hölder ponctuel) peut évoluer significativement au cours du temps ; en fait, à chaque instant t, l’exposant de Hölder ponctuel du mbm vaut H(t). Notons quecette dernière propriété, rend ce processus plus flexible que le mbf ; grâce à elle, le mbm est maintenant devenu un modèle utile en traitement du signal et de l’image ainsi que dans d’autres domaines tels que la finance. Depuis plus d’une décennie, plusieurs auteurs se sont intéressés à des problèmes d’inférence statistique liés au mbm et à d’autres processus/champs multifractionnaires ; leurs motivations comportent à la fois des aspects applicatifs et théoriques. Parmi les plus importants, figure le problème de l’estimation de H(t), l’exposant de Hölder ponctuel en un instant arbitraire t. Dans ce type de problématique, la méthode des variations quadratiques généralisées, initialement introduite par Istas et Lang dans un cadre de processus à accroissements stationnaires, joue souvent un rôle crucial. Cette méthode permet de construire des estimateurs asymptotiquement normaux à partir de moyennes quadratiques d’accroissements généralisés d’un processus observé sur une grille. A notre connaissance, dans la littérature statistique qui concerne le mbm, jusqu’à présent, il a été supposé que, l’observation sur une grille des valeurs exactes de ce processus est disponible ; cependant une telle hypothèse ne semble pas toujours réaliste. L’objectif principal de la thèse est d’étudierdes problèmes d’inférence statistique liés au mbm, lorsque seulement une version corrompue de ce dernier est observable sur une grille régulière.Cette version corrompue est donnée par une classe de modèles à volatilité stochastique dont la définition s’inspire de certains travaux antérieurs de Gloter et Hoffmann ; signalons enfin que la formule d’Itô permet de ramener ce cadre statistique au cadre classique : « signal+bruit ». / The paradigmatic example of a multifractional stochastic process is multifractional Brownian motion (mBm). This fractal Gaussian process with continuous nowhere differentiable trajectories is a natural extension of the well-known fractional Brownian motion (fBm). FBm was introduced a longtime ago by Kolmogorov and later it has been made « popular» by Mandelbrot; in several outstanding works, the latter author has emphasized the fact that this model is of a great importance in various applied areas. Regarding mBm, it was introduced, more than fifteen years ago, by Benassi, Jaffard, Lévy Véhel, Peltier and Roux. Roughly speaking, it is obtained by replacing the constant Hurst parameter of fBm by a smooth function H(t) which depends on the time variable t. Therefore, in contrast with fBm, theincrements of mBm are non stationary and the local roughness of its trajectories (usually measured through the pointwise Hölder exponent) is allowed to significantly evolve over time; in fact, at each time t, the pointwise Hölder exponent of mBm is equal to H(t). It is worth noticing that the latter property makes this process more flexible than fBm; thanks to it, mBm has now become a useful model in the area of signal and image processing, aswell as in other areas such as finance. Since at least one decade, several authors have been interested in statistical inference problems connected with mBm and other multifractional processes/fields; their motivations have both applied and theoretical aspects. Among those problems, an important one is the estimation of H(t), the pointwise Hölder exponent at an arbitrary time t. In the solutions of such issues, the generalized quadratic variation method, which was first introduced by Istas and Lang in a setting of stationary increments processes, usually plays a crucial role. This method allows to construct asymptotically normal estimators starting from quadratic means of generalized increments of a process observed on a grid. So far, to our knowledge, in the statistical literature concerning mBm, it has been assumed that, the observation of the true values of this process on a grid, is available; yet, such an assumption does not always seem to be realistic. The main goal of the thesis is to study statistical inference problems related to mBm, when only a corrupted version of it, can be observed on a regular grid. This corrupted version is given by a class of stochastic volatility models whose definition is inspired by some Gloter and Hoffmann’s earlier works; last, notice that thanks to Itô formula this statistical setting can be viewed as the classical setting: « signal+noise ».

Cette thèse explore théoriquement et empiriquement les implications de la dynamique jointe action/option sur divers problématiques liées au trading d’options. Dans un premier temps, nous commençons par l’étude de la dynamique jointe entre une option sur un stock et une option sur l’indice de marché. Le modèle CAPM fournit un cadre mathématique adéquat pour cette étude car il permet de modéliser la dynamique jointe d’un stock et son indice de marché. En passant aux prix d’options, nous montrons que le beta et la volatilité idiosyncratique, paramètres du modèle, permettent de caractériser la relation entre les surfaces de volatilité implicite du stock et de l’indice. Nous nous penchons alors sur l’estimation du paramètre beta sous la probabilité risque-neutre en utilisant les prix d’options. Cette mesure, appelée beta implicite, représente l’information contenue dans les prix d’options sur la réalisation du paramètre beta dans le futur.Pour cette raison, nous essayons de voir, si le beta implicite a un pouvoir prédictif du beta futur.En menant une étude empirique, nous concluons que le beta implicite n’améliore pas la capacité de prédiction en comparaison avec le beta historique qui est calculé à travers la régression linéaire des rendements du stock sur ceux de l’indice. Mieux encore, nous remarquons que l’oscillation du beta implicite autour du beta futur peut entraîner des opportunités d’arbitrage, et nous proposons une stratégie d’arbitrage qui permet de monétiser cet écart. D’un autre côté, nous montrons que l’estimateur du beta implicite pourrait être utilisé pour la couverture d’options sur le stock en utilisant des instruments sur l’indice, cette couverture concerne notamment le risque de volatilité et aussi le risque de delta. Dans la deuxième partie de notre travail, nous nous intéressons au problème de market making sur options. Dans cette étude, nous supposons que le modèle de dynamique du sous-jacent sous la probabilité risque-neutre pourrait être mal spécifié ce qui traduit un décalage entre la distribution implicite du sous-jacent et sa distribution historique.Dans un premier temps, nous considérons le cas d’un market maker risque neutre qui vise à maximiser l’espérance de sa richesse future. A travers l’utilisation d’une approche de contrôle optimal stochastique, nous déterminons les prix optimaux d’achat et de vente sur l’option et nous interprétons l’effet de présence d’inefficience de prix sur la stratégie optimale. Dans un deuxième temps, nous considérons que le market maker est averse au risque et essaie donc de réduire l’incertitude liée à son inventaire. En résolvant un problème d’optimisation basé sur un critère moyenne-variance, nous obtenons des approximations analytiques des prix optimaux d’achat et de vente. Nous montrons aussi les effets de l’inventaire et de l’inefficience du prix sur la stratégie optimale. Nous nous intéressons par la suite au market making d’options dans une dimension plus élevée. Ainsi, en suivant le même raisonnement, nous présentons un cadre pour le market making de deux options ayant des sous-jacents différents avec comme contrainte la réduction de variance liée au risque d’inventaire détenu par le market-maker. Nous déterminons dans ce cas la stratégie optimale et nous appuyons les résultats théoriques par des simulations numériques.Dans la dernière partie de notre travail, nous étudions la dynamique jointe entre la volatilité implicite à la monnaie et le sous jacent, et nous essayons d’établir le lien entre cette dynamique jointe et le skew implicite. Nous nous intéressons à un indicateur appelé "Skew Stickiness Ratio"qui a été introduit dans la littérature récente. Cet indicateur mesure la sensibilité de la volatilité implicite à la monnaie face aux mouvements du sous-jacent. Nous proposons une méthode qui permet d’estimer la valeur de cet indicateur sous la probabilité risque-neutre sans avoir besoin d’admettre des hypothèses sur la dynamique du sous-jacent. [...] / This thesis explores theoretically and empirically the implications of the stock/option joint dynamics on applications related to option trading. In the first part of the thesis, we look into the relations between stock options and index options under the risk-neutral measure. The Capital Asset Pricing Model offers an adequate mathematical framework for this study as it provides a modeling approach for the joint dynamics between the stock and the index. As we compute option prices according to this model, we find out that the beta and the idiosyncratic volatility of the stock, which are parameters of the model, characterize the relation between the implied volatility surface of the stock and the one of the index. For this reason, we focus on the estimation of the parameter beta under the risk-neutral measure through the use of option prices.This measure, that we call implied beta, is the information contained in option prices concerning the realization of the parameter beta in the future. Trying to use this additional information, we carry out an empirical study in order to investigate whether the implied beta has a predictive power of the forward realized beta. We conclude that the implied beta doesn’t perform better than the historical beta which is estimated using the linear regression of the stock’s returns onthe index returns. We conclude also that the oscillation of the implied beta around the forward realized beta can engender arbitrage opportunities, and we propose an arbitrage strategy which enables to monetize this difference. In addition, we show that the implied beta is useful to hedge stock options using instruments on the index. In the second part of our work, we consider the problem of option market making. We suppose that the model used to describe the dynamics of the underlying under the risk-neutral probability measure can be misspecified which means thatthe implied distribution of the underlying may be different from its historical one. We consider first the case of a risk neutral market maker who aims to maximize the expectation of her final wealth. Using a stochastic control approach, we determine the optimal bid and ask prices on the option and we interpret the effect of price inefficiency on the optimal strategy. Next to that, we suppose that the market maker is risk averse as she tries to minimize the variance of her finalwealth. We solve a mean-variance optimization problem and we provide analytic approximations for the optimal bid and ask prices. We show the effects of option inventory and price inefficiency on the optimal strategy. We try then to extrapolate the study to a higher dimension in order to see the effect of joint dynamics of the different underlyings on the optimal strategy. Thus, we study market making strategies on a pair of options having different underlyings with the aim to reduce the risk due to accumulated inventories in these two options. Through the resolution of the HJB equation associated to the new optimization problem, we determine the optimal strategy and we support our theoretical finding with numerical simulations. In the final part of the thesis, we study the joint dynamics of the at-the-money implied volatility and the spot process. We try to establish a relation between this joint dynamics and the implied skew through the use of a quantity called the Skew Stickiness Ratio which was introduced in the recent literature. The Skew Stickiness Ratio quantifies the effect of the log-return of the spot on the increment of theat-the-money volatility. We suggest a model-free approach for the estimation of the SSR (Skew Stickiness Ratio) under the risk-neutral measure, this approach doesn’t depend on hypothesis on the dynamics of the underlying. [...]

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de la dispersion du pollen de maïs. Le grain de pollen est vu comme une particule soumise à un champ de forces et sa trajectoire est modélisée à l'aide de différents processus de diffusion. Lorsque deux champs sont contigüs (milieu homogène), différentes fonctions de dispersion individuelles paramétriques sont alors obtenues, différentes hypothèses étant faites sur des temps d'atteinte de processus stochastiques. A partir d'expériences, les paramètres sont alors estimés en considérant un modèle de régression non linéaire. Le choix du modèle le mieux adapté se fait à l'aide d'un critère de type Akaïke et de méthodes graphiques. Par ailleurs ces modèles permettent d'effectuer des prédictions. Les résultats sont alors appliqués lorsque deux champs sont séparés par une autre culture (milieu hétérogène), afin d'étudier l'effet d'une discontinuité sur la dispersion. <br />Dans la seconde partie, on s'intéresse à des modèles à volatilité stochastique «mean-reverting», souvent utilisés en économie. Le processus observé est fonction d'une diffusion non observable dont on souhaite estimer les paramètres. Une méthode d'estimation à deux pas basée sur la structure ARMA(1,1) du processus est proposée, en utilisant un estimateur de moments et un contraste de Whittle. Des simulations sont réalisées afin de comparer cette méthode avec d'autres méthodes existantes. Ensuite un paramètre dit «leverage» est ajouté et un modèle discrétisé est étudié. Un critère auxiliaire est proposé pour estimer les paramètres à l'aide d'une méthode d'inférence indirecte. Enfin des simulations sont réalisées pour évaluer leurs performances.

Nous développons une approche de résolution numérique du filtrage par méthode de grille, en utilisant des résultats de quantification optimale de variables aléatoires. Nous mettons en oeuvre deux algorithmes de calcul de filtres utilisant les techniques d'approximation du type ordre 0 et ordre 1. Nous proposons les versions implémentables de ces algorithmes et étudions le comportement de l'erreur des approximations en fonction de la taille des quantifieurs en s'appuyant sur la propriété de stationnarité des quantifieurs optimaux. Nous positionnons cette approche par grille par rapport à l'approche particulaire du type Monte Carlo à travers la comparaison des deux méthodes et leur expérimentation sur différents modèles d'états. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à l'avantage qu'offre la quantification pour le prétraitement des données offline pour développer un algorithme de filtrage par quantification des observations (et du signal). L'erreur est là aussi étudiée et un taux de convergence est établi en fonction de la taille des quantifieurs. Enfin, la quantification du filtre en tant que variable aléatoire est étudiée dans le but de la résolution d'un problème d'évaluation d'option américaine dans un marché à volatilité stochastique non observée. Tous les résultats sont illustrés à travers des exemples numériques.

Cette étude a pour but de contribuer à l’avancement des connaissances dans le domaine des systèmes de gestion de ponts (Bridge Management System (BMS)) par le développement d’un outil décisionnel pour optimiser les réparations sur les ponts. Cet outil décisionnel se base sur la valeur actualisée nette pour considérer le moment optimal de réparation. Il met ainsi à l’avant-plan la création de richesse permise par un réseau routier efficace. De plus, il permet d’étudier l’incertitude sur plusieurs variables, soit les valeurs financières d’inflation et d’actualisation, ainsi que l’évolution du débit routier. La flexibilité de l’outil décisionnel permet de vérifier l’impact de plusieurs variables. Ainsi, le modèle de détérioration présentement utilisée par le ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports du Québec est comparé à deux autres modèles, soit un modèle markovien basé sur la théorie des chaînes de Markov et un modèle stochastique développé dans le cadre de cette étude. Le projet innove en considérant les revenus générés par un pont et l’incertitude sur les variables futures de détérioration d’éléments de ponts, d’inflation et d’actualisation, ainsi que celles relatives à l’évolution du débit routier. Considérant la récente implantation du système de gestion du ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports, cette étude se base sur plusieurs hypothèses. Pour cette étude, la durée de vie maximale du pont est établie à 100 ans, la dégradation et la réparation d’un ouvrage est analysée aux 5 ans et une seule réparation majeure peut être effectuée sur la durée de vie. De plus, cette réparation permet de remettre le pont dans son état initial (neuf) et la détérioration de quelques éléments principaux (la dalle en béton armé et les poutres d’acier) du pont représente la détérioration globale de la structure. En se basant sur les données du ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports et à l’aide d’une analyse probabiliste de 20 000 simulations, l’étude met en évidence l’importance de considérer la variabilité sur la détérioration d’un élément/pont, sur le taux d’intérêt et dans une moindre mesure, l’inflation. Ainsi, lorsque seul l’état de la dalle représente l’état global du pont et en utilisant l’approche déterministe, une réparation entre 25 et 30 ans est appropriée. Un taux d’intérêt plutôt faible peut même repousser ce choix à 35 ans. Le choix de date optimale de réparation est très étalé avec l’approche markovienne considérant les probabilités élevées de maintien du pont en bon état. Finalement, l’approche stochastique favorise une réparation entre 20 et 35 ans selon la rapidité de la détérioration. Ce choix peut encore une fois changer légèrement avec l’ajout de taux d’intérêt et d’inflation variables. Lorsque seul l’état de la dalle et des poutres est considéré représenter l’état de l’ensemble du pont, l’approche déterministe propose une réparation à 25 ans pour le dalle en béton armé et une réparation à 30 ans pour les poutres en acier. Les paramètres financiers stochastiques peuvent affecter ce choix rendant possible une réparation optimale de 25 à 35 ans pour les deux types d’éléments. Les moments optimaux de réparation sont très étalés pour l’approche markovienne considérant les probabilités élevées de maintien des éléments en bon état. Finalement, l’approche stochastique propose une réparation entre 20 et 35 ans pour le dalle en béton armé et entre 15 et 40 ans pour les poutres en acier. Ces moments de réparations sont aussi affectés légèrement par l’ajout d’un taux d’intérêt et d’inflation variables. Une analyse de sensibilité permet de considérer l’impact de plusieurs paramètres du modèle considéré, soit la matrice de transition, la pénalité d’état, la variabilité de la matrice pour une détérioration stochastique et l’ajout d’un avantage de réparation simultanée à deux éléments. Une modification de la matrice de transition a surtout un impact sur la volatilité des résultats, alors qu’une modification sur la pénalité d’état crée une translation sur la distribution du moment optimal de réparation pour une détérioration de type markovienne et stochastique. La variabilité de la matrice pour une détérioration stochastique a directement un impact sur la volatilité du moment optimal de réparation. Plus le pourcentage de variation de la matrice est faible, plus les moments optimaux de réparation seront concentrés (plage moins étendue). Finalement, s’il est considéré que la réparation simultanée de deux éléments coûte moins cher que lorsque ces deux éléments sont réparés à des dates différentes (avantage de réparation simultanée de deux éléments plutôt que deux réparations distinctes), il y alors un impact sur le moment optimal de réparation. Cet effet est principalement perceptible lorsque les dates de réparation optimales sont séparées de moins de 10 ans. Pour une détérioration déterministe, il suffit que la réparation simultanée coûte de 3,72% de moins que deux réparations distinctes pour favoriser de réparer les deux éléments simultanément à 30 ans, la dalle étant réparée à 25 ans sans avantage (réduction des coût) de réparation simultanée. Cependant, un avantage de réparation simultanée a peu d’impact sur le moment optimal de réparation lorsque la détérioration se base sur un modèle markovien en raison de la grande répartition des moments optimaux de réparation. Enfin, l’avantage de réparation simultanée a un impact considérable pour une détérioration stochastique, la majorité des réparations se produisant entre 15 et 40 ans. / This study extends the existing literature on Bridge Management Systems (BMS) by developing a decision-making program to optimize bridge rehabilitations. This decision-making tool analyses the net present value to consider the optimal moment to repair a bridge. It highlights wealth creation by the maintenance of an efficient road network. Moreover, it allows the study of uncertainty on several parameters, such as financial values of inflation and interest rates as well as the evolution of traffic flow. The ability of the decision-making tool to verify the impact of several variables and the deterioration model currently used by the ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports is compared to two other models; a Markovian model and a stochastic model developed under this study. This project breaks new ground by considering the revenue generated by the bridge’s efficiency. It also considers uncertainty on several parameters, such as financial values of inflation and interest rate, and the evolution of traffic flow. Considering the recent establishment of the management system used by the ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports, this study is based on several assumptions. The life span of the bridge is limited to 100 years, degradation and repairs can only be done every 5 years, a single repair can be made over the bridge lifespan and the bridge condition is represented by only a few bridge components (elements). The study highlights the importance of considering variability on the deterioration of an element/bridge, interest rates and, to a lesser extent, inflation based on the ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports data and using a probabilistic analysis of 20,000 simulations. Thus, when the bridge is only represented by its reinforced concrete deck and using the deterministic deterioration approach, a repair between 25 and 30 years is appropriate. A rather low interest rate can even push this choice to 35 years. This choice is very broad with the Markovian approach considering the high probabilities of keeping the bridge in good condition. Finally, the stochastic approach favors repair between 20 and 35 years depending on the speed of deterioration. This choice may again change slightly with the addition of both a variable interest rate and a variable inflation rate. When a reinforced concrete deck and steel beams are considered to represent the entire bridge, the deterministic approach suggests a 25-year repair for the reinforced concrete deck and a 30-year repair for the steel beams. Stochastic financial parameters can affect this choice, making an optimal repair of 25 to 35 years possible for both elements. The optimal moments of repair are very spread out for the Markovian approach considering the high probabilities of maintaining the elements in good condition. Finally, the stochastic approach proposes a repair between 20 and 35 years for the reinforced concrete deck and between 15 and 40 years for the steel beams. These repairs are slightly affected by the addition of a variable interest rate and inflation rate as well. An in-depth analysis shows the impact that several parameters have on the model considered. These parameters include: the transition matrix, the state penalty, the variability of the matrix for stochastic deterioration, and the addition of a simultaneous repair advantage. A change in the transition matrix mainly has an impact on the volatility of the results, whereas a modification on the state penalty shifts the optimal repair time distribution for Markovian and stochastic deteriorations. The variability of the matrix for stochastic deterioration directly affects the volatility of the optimal repair time. For example, the lower the percentage of variation of the matrix, the more the optimal repair moments will be concentrated (or fixed). Finally, the implementation of a simultaneous repair benefit mainly has an impact when the optimal repair time is within 10 years of a simultaneous repair. For a deterministic deterioration, a reduction in costs of 3.72% is sufficient to reconcile repair dates to 30 years, the bridge being repair at 25 years without this benefit. However, this advantage has little impact on Markovian deterioration due to the wide distribution of optimal repair times but a considerable impact on stochastic deterioration, with the majority of repairs occurring within a range of 15 to 40 years. / Cette étude a pour but de contribuer à l’avancement des connaissances dans le domaine des systèmes de gestion de ponts (Bridge Management System (BMS)) par le développement d’un outil décisionnel pour optimiser les réparations sur les ponts. Cet outil décisionnel se base sur la valeur actualisée nette pour considérer le moment optimal de réparation. Il met ainsi à l’avant-plan la création de richesse permise par un réseau routier efficace. De plus, il permet d’étudier l’incertitude sur plusieurs variables, soit les valeurs financières d’inflation et d’actualisation, ainsi que l’évolution du débit routier. La flexibilité de l’outil décisionnel permet de vérifier l’impact de plusieurs variables. Ainsi, le modèle de détérioration présentement utilisée par le ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports du Québec est comparé à deux autres modèles, soit un modèle markovien basé sur la théorie des chaînes de Markov et un modèle stochastique développé dans le cadre de cette étude. Le projet innove en considérant les revenus générés par un pont et l’incertitude sur les variables futures de détérioration d’éléments de ponts, d’inflation et d’actualisation, ainsi que celles relatives à l’évolution du débit routier. Considérant la récente implantation du système de gestion du ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports, cette étude se base sur plusieurs hypothèses. Pour cette étude, la durée de vie maximale du pont est établie à 100 ans, la dégradation et la réparation d’un ouvrage est analysée aux 5 ans et une seule réparation majeure peut être effectuée sur la durée de vie. De plus, cette réparation permet de remettre le pont dans son état initial (neuf) et la détérioration de quelques éléments principaux (la dalle en béton armé et les poutres d’acier) du pont représente la détérioration globale de la structure. En se basant sur les données du ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports et à l’aide d’une analyse probabiliste de 20 000 simulations, l’étude met en évidence l’importance de considérer la variabilité sur la détérioration d’un élément/pont, sur le taux d’intérêt et dans une moindre mesure, l’inflation. Ainsi, lorsque seul l’état de la dalle représente l’état global du pont et en utilisant l’approche déterministe, une réparation entre 25 et 30 ans est appropriée. Un taux d’intérêt plutôt faible peut même repousser ce choix à 35 ans. Le choix de date optimale de réparation est très étalé avec l’approche markovienne considérant les probabilités élevées de maintien du pont en bon état. Finalement, l’approche stochastique favorise une réparation entre 20 et 35 ans selon la rapidité de la détérioration. Ce choix peut encore une fois changer légèrement avec l’ajout de taux d’intérêt et d’inflation variables. Lorsque seul l’état de la dalle et des poutres est considéré représenter l’état de l’ensemble du pont, l’approche déterministe propose une réparation à 25 ans pour le dalle en béton armé et une réparation à 30 ans pour les poutres en acier. Les paramètres financiers stochastiques peuvent affecter ce choix rendant possible une réparation optimale de 25 à 35 ans pour les deux types d’éléments. Les moments optimaux de réparation sont très étalés pour l’approche markovienne considérant les probabilités élevées de maintien des éléments en bon état. Finalement, l’approche stochastique propose une réparation entre 20 et 35 ans pour le dalle en béton armé et entre 15 et 40 ans pour les poutres en acier. Ces moments de réparations sont aussi affectés légèrement par l’ajout d’un taux d’intérêt et d’inflation variables. Une analyse de sensibilité permet de considérer l’impact de plusieurs paramètres du modèle considéré, soit la matrice de transition, la pénalité d’état, la variabilité de la matrice pour une détérioration stochastique et l’ajout d’un avantage de réparation simultanée à deux éléments. Une modification de la matrice de transition a surtout un impact sur la volatilité des résultats, alors qu’une modification sur la pénalité d’état crée une translation sur la distribution du moment optimal de réparation pour une détérioration de type markovienne et stochastique. La variabilité de la matrice pour une détérioration stochastique a directement un impact sur la volatilité du moment optimal de réparation. Plus le pourcentage de variation de la matrice est faible, plus les moments optimaux de réparation seront concentrés (plage moins étendue). Finalement, s’il est considéré que la réparation simultanée de deux éléments coûte moins cher que lorsque ces deux éléments sont réparés à des dates différentes (avantage de réparation simultanée de deux éléments plutôt que deux réparations distinctes), il y alors un impact sur le moment optimal de réparation. Cet effet est principalement perceptible lorsque les dates de réparation optimales sont séparées de moins de 10 ans. Pour une détérioration déterministe, il suffit que la réparation simultanée coûte de 3,72% de moins que deux réparations distinctes pour favoriser de réparer les deux éléments simultanément à 30 ans, la dalle étant réparée à 25 ans sans avantage (réduction des coût) de réparation simultanée. Cependant, un avantage de réparation simultanée a peu d’impact sur le moment optimal de réparation lorsque la détérioration se base sur un modèle markovien en raison de la grande répartition des moments optimaux de réparation. Enfin, l’avantage de réparation simultanée a un impact considérable pour une détérioration stochastique, la majorité des réparations se produisant entre 15 et 40 ans. / Cette étude a pour but de contribuer à l’avancement des connaissances dans le domaine des systèmes de gestion de ponts (Bridge Management System (BMS)) par le développement d’un outil décisionnel pour optimiser les réparations sur les ponts. Cet outil décisionnel se base sur la valeur actualisée nette pour considérer le moment optimal de réparation. Il met ainsi à l’avant-plan la création de richesse permise par un réseau routier efficace. De plus, il permet d’étudier l’incertitude sur plusieurs variables, soit les valeurs financières d’inflation et d’actualisation, ainsi que l’évolution du débit routier. La flexibilité de l’outil décisionnel permet de vérifier l’impact de plusieurs variables. Ainsi, le modèle de détérioration présentement utilisée par le ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports du Québec est comparé à deux autres modèles, soit un modèle markovien basé sur la théorie des chaînes de Markov et un modèle stochastique développé dans le cadre de cette étude. Le projet innove en considérant les revenus générés par un pont et l’incertitude sur les variables futures de détérioration d’éléments de ponts, d’inflation et d’actualisation, ainsi que celles relatives à l’évolution du débit routier. Considérant la récente implantation du système de gestion du ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports, cette étude se base sur plusieurs hypothèses. Pour cette étude, la durée de vie maximale du pont est établie à 100 ans, la dégradation et la réparation d’un ouvrage est analysée aux 5 ans et une seule réparation majeure peut être effectuée sur la durée de vie. De plus, cette réparation permet de remettre le pont dans son état initial (neuf) et la détérioration de quelques éléments principaux (la dalle en béton armé et les poutres d’acier) du pont représente la détérioration globale de la structure. En se basant sur les données du ministère des Transports, de la Mobilité durable et de l'Électrification des transports et à l’aide d’une analyse probabiliste de 20 000 simulations, l’étude met en évidence l’importance de considérer la variabilité sur la détérioration d’un élément/pont, sur le taux d’intérêt et dans une moindre mesure, l’inflation. Ainsi, lorsque seul l’état de la dalle représente l’état global du pont et en utilisant l’approche déterministe, une réparation entre 25 et 30 ans est appropriée. Un taux d’intérêt plutôt faible peut même repousser ce choix à 35 ans. Le choix de date optimale de réparation est très étalé avec l’approche markovienne considérant les probabilités élevées de maintien du pont en bon état. Finalement, l’approche stochastique favorise une réparation entre 20 et 35 ans selon la rapidité de la détérioration. Ce choix peut encore une fois changer légèrement avec l’ajout de taux d’intérêt et d’inflation variables. Lorsque seul l’état de la dalle et des poutres est considéré représenter l’état de l’ensemble du pont, l’approche déterministe propose une réparation à 25 ans pour le dalle en béton armé et une réparation à 30 ans pour les poutres en acier. Les paramètres financiers stochastiques peuvent affecter ce choix rendant possible une réparation optimale de 25 à 35 ans pour les deux types d’éléments. Les moments optimaux de réparation sont très étalés pour l’approche markovienne considérant les probabilités élevées de maintien des éléments en bon état. Finalement, l’approche stochastique propose une réparation entre 20 et 35 ans pour le dalle en béton armé et entre 15 et 40 ans pour les poutres en acier. Ces moments de réparations sont aussi affectés légèrement par l’ajout d’un taux d’intérêt et d’inflation variables. Une analyse de sensibilité permet de considérer l’impact de plusieurs paramètres du modèle considéré, soit la matrice de transition, la pénalité d’état, la variabilité de la matrice pour une détérioration stochastique et l’ajout d’un avantage de réparation simultanée à deux éléments. Une modification de la matrice de transition a surtout un impact sur la volatilité des résultats, alors qu’une modification sur la pénalité d’état crée une translation sur la distribution du moment optimal de réparation pour une détérioration de type markovienne et stochastique. La variabilité de la matrice pour une détérioration stochastique a directement un impact sur la volatilité du moment optimal de réparation. Plus le pourcentage de variation de la matrice est faible, plus les moments optimaux de réparation seront concentrés (plage moins étendue). Finalement, s’il est considéré que la réparation simultanée de deux éléments coûte moins cher que lorsque ces deux éléments sont réparés à des dates différentes (avantage de réparation simultanée de deux éléments plutôt que deux réparations distinctes), il y alors un impact sur le moment optimal de réparation. Cet effet est principalement perceptible lorsque les dates de réparation optimales sont séparées de moins de 10 ans. Pour une détérioration déterministe, il suffit que la réparation simultanée coûte de 3,72% de moins que deux réparations distinctes pour favoriser de réparer les deux éléments simultanément à 30 ans, la dalle étant réparée à 25 ans sans avantage (réduction des coût) de réparation simultanée. Cependant, un avantage de réparation simultanée a peu d’impact sur le moment optimal de réparation lorsque la détérioration se base sur un modèle markovien en raison de la grande répartition des moments optimaux de réparation. Enfin, l’avantage de réparation simultanée a un impact considérable pour une détérioration stochastique, la majorité des réparations se produisant entre 15 et 40 ans.

Cette thèse se divise en trois parties. La première partie est constituée des chapitres 2 et 3 dans laquelle nous considérons des modèles qui décrivent l'évolution d'un sous-jacent dans le monde des actions ainsi que l'évolution des taux d'intérêt. Ces modèles, qui utilisent les processus de Wishart, appartiennent à la classe affine et généralisent les modèles de Heston multi-dimensionnels. Nous étudions les propriétés intrinsèques de ces modèles et nous nous intéressons à l'évaluation des options vanilles. Après avoir rappelé certaines méthodes d'évaluation, nous introduisons des méthodes d'approximation fournissant des formules fermées du smile asymptotique. Ces méthodes facilitent la procédure de calibration et permettent une analyse intéressante des paramètres. La deuxième partie, du chapitre 4 au chapitre 6, étudie les risques de mortalité et de longévité. Nous rappelons tout d'abord les concepts généraux du risque de longévité et un ensemble de problématiques sous-jacentes à ce risque. Nous présentons ensuite un modèle de mortalité individuelle qui tient compte de l'âge et d'autres caractéristiques de l'individu qui sont explicatives de mortalité. Nous calibrons le modèle de mortalité et nous analysons l'influence des certaines caractéristiques individuelles. Enfin, nous introduisons un modèle microscopique de dynamique de population qui permet de modéliser l'évolution dans le temps d'une population structurée par âge et par traits. Chaque individu évolue dans le temps et est susceptible de donner naissance à un enfant, de changer de caractéristiques et de décéder. Ce modèle tient compte de l'évolution, éventuellement stochastique, des taux démographiques individuels dans le temps. Nous décrivons aussi un lien micro/macro qui fournit à ce modèle microscopique de bonnes propriétés macroscopiques. La troisième partie, concernant les chapitres 7 et 8, s'intéresse aux applications des modélisations précédentes. La première application est une application démographique puisque le modèle microscopique de dynamique de population permet d'effectuer des projections démographiques de la population française. Nous mettons aussi en place une étude démographique du problème des retraites en analysant les solutions d'une politique d'immigration et d'une réforme sur l'âge de départ à la retraite. La deuxième application concerne l'étude des produits d'assurance-vie associant les risques de longévité et de taux d'intérêt qui ont été étudiés en détails dans les deux premières parties de la thèse. Nous nous intéressons tout d'abord à l'étude du risque de base qui est généré par l'hétérogénéité des portefeuilles de rentes. De plus, nous introduisons la Life Nominal Chooser Swaption (LNCS) qui est un produit de transfert de risque des produits d'assurance-vie : ce produit a une structure très intéressante et permet à une assurance détenant un portefeuille de rente de transférer intégralement son risque de taux d'intérêt à une banque.

Des travaux récents dans le domaine des mathématiques financières ont fait émerger l'importance de l'étude de la régularité et du comportement fin des queues de distribution pour certaines classes de diffusions à coefficients non globalement réguliers. Dans cette thèse, nous traitons des problèmes issus de ce contexte. Nous étudions d'abord l'existence, la régularité et l'asymptotique en espace de densités pour les solutions d'équations différentielles stochastiques en n'imposant que des conditions locales sur les coefficients de l'équation. Notre analyse se base sur les outils du calcul de Malliavin et sur des estimations pour les processus d'Ito confinés dans un tube autour d'une courbe déterministe. Nous obtenons des estimations significatives de la fonction de répartition et de la densité dans des classes de modèles comprenant des généralisations du CIR et du CEV et des modèles à volatilité locale-stochastique : dans ce deuxième cas, les estimations entraînent l'explosion des moments du sous-jacent et ont ainsi un impact sur le comportement asymptotique en strike de la volatilité implicite. La modélisation paramétrique de la surface de volatilité, à son tour, fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons le modèle SVI de J. Gatheral, en proposant une nouvelle stratégie de calibration quasi-explicite, dont nous illustrons les performances sur des données de marché. Ensuite, nous analysons la capacité du SVI à générer des approximations pour les smiles symétriques, en le généralisant à un modèle dépendant du temps. Nous en testons l'application à un modèle de Heston (sans et avec déplacement), en générant des approximations semi-fermées pour le smile de volatilité / Some recent works in the field of mathematical finance have brought new light on the importance of studying the regularity and the tail asymptotics of distributions for certain classes of diffusions with non-globally smooth coefficients. In this Ph.D. dissertation we deal with some issues in this framework. In a first part, we study the existence, smoothness and space asymptotics of densities for the solutions of stochastic differential equations assuming only local conditions on the coefficients of the equation. Our analysis is based on Malliavin calculus tools and on « tube estimates » for Ito processes, namely estimates for the probability that the trajectory of an Ito process remains close to a deterministic curve. We obtain significant estimates of densities and distribution functions in general classes of option pricing models, including generalisations of CIR and CEV processes and Local-Stochastic Volatility models. In the latter case, the estimates we derive have an impact on the moment explosion of the underlying price and, consequently, on the large-strike behaviour of the implied volatility. Parametric implied volatility modeling, in its turn, makes the object of the second part. In particular, we focus on J. Gatheral's SVI model, first proposing an effective quasi-explicit calibration procedure and displaying its performances on market data. Then, we analyse the capability of SVI to generate efficient approximations of symmetric smiles, building an explicit time-dependent parameterization. We provide and test the numerical application to the Heston model (without and with displacement), for which we generate semi-closed expressions of the smile

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Optimisation des modèles d'évaluation et de couverture d'options financières sous contraintes de liquidité / Optimization of pricing and hedging models for financial options under liquidity constraints

L’objet de cette thèse est l’étude de problèmes d’évaluation d’options dans les modèles à volatilité stochastique. La première partie est centrée sur les options américaines dans le modèle de Heston. Nous donnons d’abord une caractérisation analytique de la fonction de valeur d’une option américaine comme l’unique solution du problème d’obstacle parabolique dégénéré associé. Notre approche est basée sur des inéquations variationelles dans des espaces de Sobolev avec poids étendant les résultats récents de Daskalopoulos et Feehan (2011, 2016) et Feehan et Pop (2015). On étudie aussi les propriétés de la fonction de valeur d’une option américaine. En particulier, nous prouvons que, sous des hypothèses convenables sur le payoff, la fonction de valeur est décroissante par rapport à la volatilité. Ensuite nous nous concentrons sur le put américaine et nous étendons quelques résultats qui sont bien connus dans le monde Black-Scholes. En particulier nous prouvons la convexité stricte de la fonction de valeur dans la région de continuation, quelques propriétés de la frontière libre, la formule de Prime d’Exercice Anticipée et une forme faible de la propriété du smooth fit. Les techniques utilisées sont de type probabiliste. Dans la deuxième partie nous abordons le problème du calcul numérique du prix des options européennes et américaines dans des modèles à volatilité stochastiques et avec sauts. Nous étudions d’abord le modèle de Bates-Hull-White, c’est-à-dire le modèle de Bates avec un taux d’intérêt stochastique. On considère un algorithme hybride rétrograde qui utilise une approximation par chaîne de Markov (notamment un arbre “avec sauts multiples”) dans la direction de la volatilité et du taux d’intérêt et une approche (déterministe) par différence finie pour traiter le processus de prix d’actif. De plus, nous fournissons une procédure de simulation pour des évaluations Monte Carlo. Les résultats numériques montrent la fiabilité et l’efficacité de ces méthodes. Finalement, nous analysons le taux de convergence de l’algorithme hybride appliqué à des modèles généraux de diffusion avec sauts. Nous étudions d’abord la convergence faible au premier ordre de chaînes de Markov vers la diffusion sous des hypothèses assez générales. Ensuite nous prouvons la convergence de l’algorithme: nous étudions la stabilité et la consistance de la méthode hybride par une technique qui exploite les caractéristiques probabilistes de l’approximation par chaîne de Markov / We study option pricing problems in stochastic volatility models. In the first part of this thesis we focus on American options in the Heston model. We first give an analytical characterization of the value function of an American option as the unique solution of the associated (degenerate) parabolic obstacle problem. Our approach is based on variational inequalities in suitable weighted Sobolev spaces and extends recent results of Daskalopoulos and Feehan (2011, 2016) and Feehan and Pop (2015). We also investigate the properties of the American value function. In particular, we prove that, under suitable assumptions on the payoff, the value function is nondecreasing with respect to the volatility variable. Then, we focus on an American put option and we extend some results which are well known in the Black and Scholes world. In particular, we prove the strict convexity of the value function in the continuation region, some properties of the free boundary function, the Early Exercise Price formula and a weak form of the smooth fit principle. This is done mostly by using probabilistic techniques.In the second part we deal with the numerical computation of European and American option prices in jump-diffusion stochastic volatility models. We first focus on the Bates-Hull-White model, i.e. the Bates model with a stochastic interest rate. We consider a backward hybrid algorithm which uses a Markov chain approximation (in particular, a “multiple jumps” tree) in the direction of the volatility and the interest rate and a (deterministic) finite-difference approach in order to handle the underlying asset price process. Moreover, we provide a simulation scheme to be used for Monte Carlo evaluations. Numerical results show the reliability and the efficiency of the proposed methods.Finally, we analyze the rate of convergence of the hybrid algorithm applied to general jump-diffusion models. We study first order weak convergence of Markov chains to diffusions under quite general assumptions. Then, we prove the convergence of the algorithm, by studying the stability and the consistency of the hybrid scheme, in a sense that allows us to exploit the probabilistic features of the Markov chain approximation