Cette thèse s'inscrit dans la problématique générale de l'inférence géométrique. Étant donné un objet qu'on ne connaît qu'à travers un échantillon fini, à partir de quelle qualité d'échantillonage peut-on estimer de manière fiable certaines de ses propriétés géométriques ou topologique? L'estimation de la topologie est maintenant un domaine assez mûr. La plupart des méthodes existantes sont fondées sur la notion de fonction distance. Nous utilisons cette approche pour estimer certaines notions de courbure dues à Federer, définies pour une classe assez générale d'objets non lisses. Nous introduisons une version approchée de ces courbures dont nous étudions la stabilité ainsi que calcul pratique dans le cas discret. Une version anisotrope de ces mesures de courbure permet en pratique d'estimer le lieu et la direction des arêtes vives d'une surface lisse par morceaux échantillonnée par un nuage de point. En chemin nous sommes amenés à étudier certaines propriétés de régularité de la fonction distance, comme le volume de l'axe médian. Un défaut des méthodes qui utilisent la fonction distance est leur extrême sensibilité aux points aberrants. Pour résoudre ce problème, nous sortons du cadre purement géométrique en remplaçant les compacts par des mesures de probabilité. Nous introduisons une notion de fonction distance à une mesure, robuste aux perturbations Wasserstein (et donc aux points aberrants) et qui partage certaines propriétés de régularité et de stabilité avec la fonction distance usuelle. Grâce à ces propriétés, il est possible d'étendre de nombreux théorèmes d'inférence géométrique à ce cadre.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00443038 |
| Date | 10 December 2009 |
| Creators | Mérigot, Quentin |
| Publisher | Université de Nice Sophia-Antipolis |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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