Diese Arbeit befasst sich mit Differential-algebraischen Gleichungen (DAEs). DAEs spielen eine wichtige Rolle in der Modellierung, der Simulation und der Optimierung von Netzwerken und gekoppelten Problemen in vielen Anwendungsgebieten. Es werden in Bezug auf die Modellierung und die numerische Simulation von DAEs bereits bestehende Ergebnisse diskutiert und erweitert. Des Weiteren wird die globale eindeutige Lösbarkeit und die Sensitivität der Lösungen mit Hinsicht auf Störungen der DAEs untersucht. Häufig wird die Modellierung von multiphysikalischen Anwendungen durch die Kopplung mehrerer einzelner DAE Systeme realisiert. Diese Herangehensweise kann hochdimensionale DAEs erzeugen, welche aufgrund von Instabilitäten nicht von klassischen numerischen Methoden, simuliert werden können. Angesichts dieser Herausforderungen werden drei Ziele formuliert: Erstens wird ein globales Lösungstheorem formuliert und bewiesen, welches auf gekoppelte Systeme angewandt werden kann, um deren Kopplungsansatz mathematisch zu rechtfertigen. Zweitens werden numerische Methoden vorgestellt, welche unter wesentlich schwächeren Strukturannahmen stabil sind und sich daher für die Simulation von gekoppelten Systemen eignen. Drittens wird eine Strategie präsentiert, die es ermöglicht, explizite Methoden auf gekoppelte Systeme anzuwenden. Um diese Ziele zu erreichen, braucht man ein Entkopplungsverfahren für DAEs, welches die folgenden drei Eigenschaften erfüllt: Die Komplexität des Entkopplungsverfahrens sollte nicht die Komplexität der DAE überschreiten. Das Entkopplungsverfahren sollte Eigenschaften wie Symmetrie, Monotonie und positive Definitheit erhalten. Das Entkopplungsverfahren sollte durch einen Schritt-für-Schritt Ansatz mit unabhängigen Schritten realisiert werden. Sowohl das Konzept des Tractability Index als auch das des Strangeness Index liefert kein solches Entkopplungsverfahren. Daher wird hier ein neues Index Konzept eingeführt, das diesen Anforderungen entspricht. / This thesis addresses differential-algebraic equations (DAEs). They play an important role in the modeling, simulation and optimization of networks and coupled problems in various applications. The main application in this thesis are coupled problems in electric circuit simulation. We discuss and extend existing results regarding the modeling and numerical simulation of DAEs. Furthermore, we investigate the global unique solvability and the sensitivity of solutions with respect to perturbations of DAEs. Nowadays the modeling of multi-physical applications is often realized by coupling systems of DAEs together with the help of additional coupling terms. This approach may yield high dimensional DAEs which cannot be simulated, due to instabilities, by standard numerical methods. Regarding these challenges we formulate three objectives: First we provide a global solvability theorem which can be applied to coupled systems to mathematically justify their coupling approach. Second we introduce numerical methods which are stable without needing any structural assumptions. Third we provide a way to apply explicit methods to coupled systems to be able to handle the size of the coupled systems by parallelizing the algorithms. To achieve these objectives, we need a decoupling procedure which fulfills the following three properties: The complexity of the decoupling procedure has to reflect the complexity of the DAE, i.e. the decoupling procedure should be state-independent if possible. The decoupling procedure should preserve properties like symmetry, monotonicity and positive definiteness. The decoupling procedure should be realized by a step-by-step approach with independent stages. Both the Tractability Index concept and the Strangeness Index concept do not provide such a decoupling procedure. For this reason we introduce a new index concept which provides such a decoupling procedure.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:HUMBOLT/oai:edoc.hu-berlin.de:18452/17818 |
| Date | 17 March 2015 |
| Creators | Jansen, Lennart |
| Contributors | Tischendorf, Caren, Mehrmann, Volker, Führer, Claus |
| Publisher | Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät I |
| Source Sets | Humboldt University of Berlin |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | doctoralThesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen, http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/ |
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