In dieser Arbeit untersuchen wir Superlösungen stochastischer Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSDEs) und ein Gleichgewichtsmodell angewandt auf zwei spezifische verallgemeinerte Capital Asset Pricing Models (CAPMs). Unter der Annahme, dass Generatoren der BSDEs unterhalbstetig und von unten durch eine affine Funktion der Kontrollvariablen beschränkt sind sowie eine spezifische Normalisierungseigenschaft erfüllen, beweisen wir Existenz und Eindeutigkeit der minimalen Superlösung, wobei wir Semimartingalkonvergenz und eine geeignet definierte Präorder in Verbindung mit dem Zornschen Lemma nutzen. Anschließend betrachten wir konvexe Generatoren und restringieren admissible Kontrollen auf stetige Semimartingale, wobei wir eine Abhängigkeit des Generators von den Zerlegungsteilen zulassen. Wir beweisen Existenz von Superlösungen, die an endlich vielen Zeitpunkten minimal sind. Neben Stabilitätsresultaten für den nichtlinearen Operator, der einer Endbedingung den Wert der minimalen Superlösung zum Zeitpunk null zuordnet, leiten wir dessen duale Darstellung her und geben eine explizite Form dieser im Falle eines quadratischen Generators an. Ferner geben wir mittels der Dualität Bedingungen für die Existenz von Lösungen unter Nebenbedingungen. Im zweiten Teil der Arbeit behandeln wir ein Gleichgewichtsmodell in stetiger Zeit für verallgemeinerte CAPMs, das endlich viele Agenten und Finanzprodukte umfasst. Die Agenten maximieren exponentielle Nutzenfunktionen und ihre Anfangsausstattung wird von den gehandelten Produkten aufgespannt. Wir zeigen Existenz eines Gleichgewichts, in welchem die optimalen Handelsstrategien konstant sind und von jeweiliger Risikoaversion und Anfangsausstattung abhängen. Hiernach werden affine Prozesse sowie die Theorie des sogenannten Information-based Asset Pricing zur Modellierung herangezogen. Wir leiten semi-explizite Preisformeln her, die sich für effiziente numerische Berechnungen eignen, da keine Monte-Carlo-Methoden gebraucht werden. / In this thesis we study supersolutions of backward stochastic differential equations (BSDEs) and equilibrium pricing within two specific generalized capital asset pricing models (CAPMs). In the first part of the thesis we begin by assuming that the generators of the BSDEs under consideration are jointly lower semicontinuous, bounded from below by an affine function of the control variable, and satisfy a specific normalization property. We prove the existence and uniqueness of the minimal supersolution making use of a particular kind of semimartingale convergence and a suitably defined preorder in combination with Zorn''s lemma. Next, we assume generators to be convex and introduce constraints by restricting admissible controls to continuous semimartingales, where we allow for a dependence of the generator on the respective decomposition parts. We prove existence of supersolutions that are minimal at finitely many fixed times. Besides providing stability results for the non-linear operator that maps a terminal condition to the value of the minimal supersolution at time zero, we give a dual representation of it, including an explicit computation of the conjugate in the case of a quadratic generator, and derive conditions for the existence of solutions under constraints by means of the duality results. In the second part of the thesis we study equilibrium pricing in continuous time within generalized CAPMs. Our model comprises finitely many economic agents and tradable securities. The agents seek to maximize exponential utilities and their endowments are spanned by the securities. We show that an equilibrium exists and the agents'' optimal trading strategies are constant and dependent on their risk aversion and endowment. Affine processes, and the theory of information-based asset pricing are then used for modeling purposes. We derive semi-explicit pricing formulae which lend themselves to efficient numerical computations, as no Monte Carlo methods are needed.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:HUMBOLT/oai:edoc.hu-berlin.de:18452/17568 |
| Date | 24 February 2014 |
| Creators | Mainberger, Christoph |
| Contributors | Kupper, Michael, Horst, Ulrich, Elie, Romuald |
| Publisher | Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Source Sets | Humboldt University of Berlin |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | doctoralThesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | Namensnennung, http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/ |
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