Diese Dissertation untersucht Aspekte des Zusammenspiels von ergodischem Langzeitver-
halten und der Glättungseigenschaft dynamischer Systeme, die von stochastischen Differen-
tialgleichungen (SDEs) mit Sprüngen erzeugt sind. Im Speziellen werden SDEs getrieben
von Lévy-Prozessen und der Marcusschen kanonischen Gleichung untersucht. Ein vari-
ationeller Ansatz für den Malliavin-Kalkül liefert eine partielle Integration, sodass eine
Variation im Raum in eine Variation im Wahrscheinlichkeitsmaß überführt werden kann.
Damit lässt sich die starke Feller-Eigenschaft und die Existenz glatter Dichten der zuge-
hörigen Markov-Halbgruppe aus einer nichtstandard Elliptizitätsbedingung an eine Kom-
bination aus Gaußscher und Sprung-Kovarianz ableiten. Resultate für Sprungdiffusionen
auf Untermannigfaltigkeiten werden aus dem umgebenden Euklidischen Raum hergeleitet.
Diese Resultate werden dann auf zufällige dynamische Systeme angewandt, die von lin-
earen stochastischen Differentialgleichungen erzeugt sind. Ruelles Integrierbarkeitsbedin-
gung entspricht einer Integrierbarkeitsbedingung an das Lévy-Maß und gewährleistet die
Gültigkeit von Oseledets multiplikativem Ergodentheorem. Damit folgt die Existenz eines
Lyapunov-Spektrums. Schließlich wird der top Lyapunov-Exponent über eine Formel der
Art von Furstenberg–Khasminsikii als ein ergodisches Mittel der infinitesimalen Wachs-
tumsrate über die Einheitssphäre dargestellt. / The present thesis investigates certain aspects of the interplay between the ergodic long
time behavior and the smoothing property of dynamical systems generated by stochastic
differential equations (SDEs) with jumps, in particular SDEs driven by Lévy processes and
the Marcus’ canonical equation. A variational approach to the Malliavin calculus generates
an integration-by-parts formula that allows to transfer spatial variation to variation in the
probability measure. The strong Feller property of the associated Markov semigroup and
the existence of smooth transition densities are deduced from a non-standard ellipticity
condition on a combination of the Gaussian and a jump covariance. Similar results on
submanifolds are inferred from the ambient Euclidean space.
These results are then applied to random dynamical systems generated by linear stochas-
tic differential equations. Ruelle’s integrability condition translates into an integrability
condition for the Lévy measure and ensures the validity of the multiplicative ergodic theo-
rem (MET) of Oseledets. Hence the exponential growth rate is governed by the Lyapunov
spectrum. Finally the top Lyapunov exponent is represented by a formula of Furstenberg–
Khasminskii–type as an ergodic average of the infinitesimal growth rate over the unit
sphere.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:HUMBOLT/oai:edoc.hu-berlin.de:18452/19722 |
| Date | 03 April 2018 |
| Creators | Gairing, Jan Martin |
| Contributors | Imkeller, Peter, Rasmussen, Martin, Scheutzow, Michael |
| Publisher | Humboldt-Universität zu Berlin |
| Source Sets | Humboldt University of Berlin |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | doctoralThesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | (CC BY-NC-ND 3.0 DE) Namensnennung - Nicht-kommerziell - Keine Bearbeitung 3.0 Deutschland, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de/ |
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