Cette thèse est consacrée à l'étude de deux sujets de géométrie symplectique inspirés<p>de la physique mathématique. Les thèmes que nous développerons mettent en évidence certaines <p>connexions avec la topologie symplectique d'une part, la géométrie Riemannienne d'autre part.<p><p>Dans la partie 1, nous étudions la quantification par déformation formelle d'une variété <p>symplectique, à l'aide de produits star. Nous définissons le groupe des automorphimes<p>hamiltoniens d'un produit star formel. En nous inspirant d'idées de Banyaga, nous <p>identifions ce groupe comme étant le noyau d'un morphisme remarquable sur le groupe<p>des automorphismes du produit star. Nous relions certaines propriétés géométriques de <p>ce groupe d'automorphismes hamiltoniens à la topologie du groupe des difféomorphismes<p>hamiltoniens.<p><p>Dans la partie 2, nous étudions les opérateurs de Dirac symplectiques. Les ingrédients<p>nécessaires à leur construction (algèbre de Weyl, structures $Mp^c$, champs de spineurs <p>symplectiques, connexions symplectiques,) sont également utilisés en quantification géométrique et en<p>quantification par déformation formelle. Les opérateurs de Dirac symplectiques sont construits<p>de manière analogue à l'opérateur de Dirac de la géométrie Riemannienne. Une formule de Weitzenbock<p>lie les opérateurs de Dirac symplectiques à un opérateur elliptique $mathcal{P}$ d'ordre 2. Nous étudions<p>les noyaux de ces opérateurs de Dirac symplectiques et leur lien avec le noyau de P.<p>Sur l'espace hermitien symétrique $CP^n$, nous calculerons le spectre de $mathcal{P}$ et nous <p>prouverons un théorème de Hodge pour les opérateurs de Dirac-Dolbeault symplectiques.<p><p>/<p><p>In this thesis we study two topics of symplectic geometry inspired from mathematical physics.<p><p>Part 1 is devoted to the study of deformation quantization of symplectic manifolds. More precisely, we consider formal star products on a symplectic manifold. We define the group of Hamiltonian automorphisms of a formal star product. Following ideas of Banyaga, we describe this group as the kernel<p>of a morphism on the group of automorphisms of the star product. We relate geometric properties of the group of Hamiltonian automorphisms to the topology of the group of Hamiltonian diffeomorphisms. <p><p>Part 2 is devoted to the study of symplectic Dirac operators. The construction of those operators relies on many concepts used in geometric quantization and formal deformation quantization such as Weyl algebra, $Mp^c$ structures, symplectic spinors, symplectic connections, The construction of symplectic Dirac operators is analogous to the one of Dirac operators in Riemannian geometry. A Weitzenbock formula relates the symplectic Dirac operators to an elliptic operator $mathcal{P}$ of order 2. We study the kernels of the symplectic Dirac operators and relate them to the kernel of $mathcal{P}$. On the hermitian symmetric space <p>$CP^n$, we compute the spectrum of $mathcal{P}$ and we prove a Hodge theorem for the symplectic Dirac-Dolbeault operator. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished
| Identifer | oai:union.ndltd.org:ulb.ac.be/oai:dipot.ulb.ac.be:2013/209411 |
| Date | 25 September 2013 |
| Creators | La Fuente Gravy, Laurent |
| Contributors | Bourgeois, Frédéric, Gutt, Simone, Bertelson, Mélanie, Cahen, Michel, Waldmann, Stefan, Picrit, Roxane, Fine, Joel |
| Publisher | Universite Libre de Bruxelles, Université libre de Bruxelles, Faculté des Sciences – Mathématiques, Bruxelles |
| Source Sets | Université libre de Bruxelles |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:ulb-repo/semantics/doctoralThesis, info:ulb-repo/semantics/openurl/vlink-dissertation |
| Format | No full-text files |
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