Motivé par la dualité de Howe dans la théorie des représentations de groupes de Lie, on cherche une construction analogue en géométrie symplectique, c'est-à-dire on souhaite que sa quantification géométrique décomposé de manière Howe-duale. On trouve que dans le contexte symplectique, le cadre correct est donné par deux groupes de Lie agissant sur la même variété symplectique si ces actions commutent et satisfont la condition de Howe symplectique, i. e., ces actions sont hamiltoniennes et leurs fonctions collectives sont leurs centralisateurs mutuelles dans l'algèbre de Poisson des fonctions lisses sur la variété symplectique. Une fois cette condition est remplie, nous pouvons décrire la structure d'orbites en détail. En particulier, il y a une bijection entre les orbites coadjointes dans une image d'application moment et celles dans l'image de l'autre application moment – or, il est cette bijection que nous appelerons la correspondance d’orbites coadjointes. On poursuit l'étude de la correspondance d’orbites coadjointes et on montre que, si les groupes de Lie qui agissent sont compacts et la variété symplectique est préquantifiable, l'intégralité est préservée par la correspondance. Ainsi, il est possible d'associer en même temps des représentations irréductibles aux deux orbites de la correspondance. Donc, nous avons une bijection entre certaines parties des duaux unitaires des deux groupes de Lie qui agissent sur la variété symplectique. En appliquant des résultats connus qui assurent que la quantification et la réduction commutent, nous constatons que la quantification d’une variété kählerienne (vue comme une représentation du produit des deux groupes qui agissent sur la variété) admet une décomposition en somme direct sans multiplicités de produits tensoriels des représentations irréductibles des deux groupes, les paires étant données par la bijection obtenue précédemment –parfaitement en accord avec la dualité de Howe. Ce résultat principal est accompagné par l’étude de la structure locale d’une variété avec deux actions hamiltoniennes qui commutent, ce qui donne une version locale de la correspondance d'orbites, ainsi que par des réflexions sur la relation entre la correspondance d'orbites coadjointes et la correspondance de feuilles symplectiques généralisées dans des paires duales singulières / Motivated by the representation-theoretic notion of Howe duality, we seek an analogous construction in symplectic geometry in the sense that its geometric quantization decomposes in a Howe dual fashion. We find that in the symplectic context, the correct setting is given by two Lie groups acting on a symplectic manifold when these two actions commute and satisfy the symplectic Howe ondition, i. e., these actions are Hamiltonian and their collective functions are their mutual centralizers in the Poisson algebra of smooth functions on the symplectic manifold. Once this condition is satisfied, we can describe the orbit structure in detail. In particular, there is a bijection between the coadjoint orbits in one moment image and those in the other moment image – this bijection is what we call the coadjoint orbit correspondence. We study the coadjoint orbit correspondence further and show, if the acting Lie groups are compact and the symplectic manifold is prequantizable, that it preserves integrality of the coadjoint orbits, so to both coadjoint orbits in the correspondence an irreducible representation can be associated. We thus have a bijection between certain parts of the unitary duals of both Lie groups acting on the symplectic manifold. Applying known results about the interchangeability of quantization and reduction, we see that for a Kähler manifold, its quantization (as a representation of the product of both groups acting on the manifold) decomposes into a multiplicity-free direct sum of tensor products of irreducibles of the individual groups, the pairs being given by the bijection obtained before – as one would expect according to Howe duality. This main result is accompanied by a study of the local structure of a manifold carrying two commuting Hamiltonian action which proves a local version of the orbit correspondence and by a discussion about the relation of the coadjoint orbit correspondence to the generalized symplectic leaf correspondence in singular dual pairs

Mes travaux de recherches concernent les différentes théories cohomologiques associées aux actions de groupes de Lie compacts sur des variétés différentiables: cohomologie équivariante, K-théorie équivariante, et la théorie des opérateurs transversalement elliptiques. Ils se situent au carrefour entre la géométrie symplectique et la théorie des représentations. Le fil conducteur de ma recherche a été le programme de (\it localisation non-abélienne) de Witten. Dans ce mémoire, je rappelle les techniques mises en oeuvre pour réaliser ce programme, et les résultats qui en découlent.

On révise les prérequis de géométrie différentielle nécessaires à une première approche de la théorie de la quantification géométrique, c'est-à-dire des notions de base en géométrie symplectique, des notions de groupes et d'algèbres de Lie, d'action d'un groupe de Lie, de G-fibré principal, de connexion, de fibré associé et de structure presque-complexe. Ceci mène à une étude plus approfondie des fibrés en droites hermitiens, dont une condition d'existence de fibré préquantique sur une variété symplectique. Avec ces outils en main, nous commençons ensuite l'étude de la quantification géométrique, étape par étape. Nous introduisons la théorie de la préquantification, i.e. la construction des opérateurs associés à des observables classiques et la construction d'un espace de Hilbert. Des problèmes majeurs font surface lors de l'application concrète de la préquantification : les opérateurs ne sont pas ceux attendus par la première quantification et l'espace de Hilbert formé est trop gros. Une première correction, la polarisation, élimine quelques problèmes, mais limite grandement l'ensemble des observables classiques que l'on peut quantifier. Ce mémoire n'est pas un survol complet de la quantification géométrique, et cela n'est pas son but. Il ne couvre ni la correction métaplectique, ni le noyau BKS. Il est un à-côté de lecture pour ceux qui s'introduisent à la quantification géométrique. D'une part, il introduit des concepts de géométrie différentielle pris pour acquis dans (Woodhouse [21]) et (Sniatycki [18]), i.e. G-fibrés principaux et fibrés associés. Enfin, il rajoute des détails à quelques preuves rapides données dans ces deux dernières références. / We review some differential geometric prerequisite needed for an initial approach of the geometric quantization theory, i.e. basic notions in symplectic geometry, Lie group, Lie group action, principal G-bundle, connection, associated bundle, almost-complex structure. This leads to an in-depth study of Hermitian line bundles that leads to an existence condition for a prequantum line bundle over a symplectic manifold. With these tools, we start a study of geometric quantization, step by step. We introduce the prequantization theory, which is the construction of operators associated to classical observables and construction of a Hilbert space. Some major problems arise when applying prequantization in concrete examples : the obtained operators are not exactly those expected by first quantization and the constructed Hilbert space is too big. A first correction, polarization, corrects some problems, but greatly limits the set of classical observables that we can quantize. This dissertation is not a complete survey of geometric quantization, which is not its goal. It's not covering metaplectic correction, neither BKS kernel. It's a side lecture for those introducing themselves to geometric quantization. First, it's introducing differential geometric concepts taken for granted in (Woodhouse [21]) and (Sniatycki [18]), i.e. principal G-bundles and associated bundles. Secondly, it adds details to some brisk proofs given in these two last references.

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Witten, Reshetikhin et Turaev ont défini des invariants des variétés topologiques de dimension 3, dits "quantiques" qui s'étendent en une structure de TQFT, c'est-à-dire un foncteur monoïdal d'une catégorie de cobordismes vers la catégorie des espaces vectoriels complexes. Nous étudions ici leur asymptotique. Dans ce cadre, les courbes sur une surface induisent des endomorphismes des espaces de TQFT, appelés opérateurs courbes, qui sont l'un des objets centraux du mémoire. Tous ces invariants dépendant d'un paramètre entier r, on s'intéresse à leur comportement quand r tend vers l'infini. On s'aperçoit alors que les invariants quantiques sont liés à des objets plus géométriques, comme les espaces des modules des représentations dans SU2 du groupe fondamental d'une surface. La première partie de la thèse introduit la notion de TQFT et les invariants de Witten-Reshetikhin-Turaev, puis donne des rudiments de géométrie de l'espace des modules SU2 d'une surface et de quantification géométrique. La deuxième partie présente un résultat sur l'asymptotique des coefficients de matrices des opérateurs courbes en TQFT. A partir de calcul d'écheveau et d'un théorème de Bullock, on relie les deux premiers termes de leur développement aux fonctions traces associées aux multicourbes. Cette thèse aboutit dans la troisième partie à un résultat asymptotique pour les coefficients de matrices des représentations quantiques. Un modèle géométrique est proposé pour les espaces de TQFT associés aux surfaces, et il est montré que les opérateurs courbes s'identifient alors à des opérateurs de Toeplitz. Des méthodes standards d'analyse semi-classiques permettent d'en déduire le résultat. / In this thesis we study the asymptotics of some invariants of 3-manifolds, known as "quantum invariants" which were defined by Witten, Reshetikhin and Turaev. These invariants are part of a TQFT structure, that is a monoidal functor for a category of cobordism to the category of complex vector spaces. In this setting, curves on surfaces induce endomorphisms of TQFT vector spaces, called curve operators, which are one of the main object in our study. All these invariants depend of an integer parameter r, and we are interested in their behavior when r tends to infinity. We can then see that quantum invariants are related to more geometric objects, like the moduli space of conjugacy classes of SU2 representations of the fundamental group of a surface. The thesis is divided in 3 parts: in the first one we introduce the notion of TQFT and the Witten-Reshetikhin-Turaev invariants, then we give basic properties of the SU2-moduli spaces and explain the general approach of geometric quantification. In the second one we present a result on the asymptotics of matrix coefficients of curve operators. Using skein calculus and a theorem of Bullock, we express the first two terms of their expansion in terms of trace functions on the SU2-moduli space associated to multicurves. The final part gives an asymptotic expansion of matrix coefficents of quantum representations. A geometric model for TQFT vector spaces is defined, and we show that curve operators can be seen as Toeplitz operators in this model. Standard tools of semi-classical analysis allow us to deduce the result from this.

Le sujet principal de cette thèse est l'étude de l'équation de Klein-Gordon couplée avec un terme d'interaction et sa quantification du point de vue multisymplectique. <br /><br />Nous nous interessons tout d'abord à l'équation linéaire et nous proposons une description multisymplectique de la quantification canonique par le biais d'une representation des symétries, de la quantification par deformation et enfin nous introduisons la notion de quatification par déformation multisymplectique. <br /><br />Ensuite nous traitons le champ en interaction. Nous construisons dans un premier temps des observables sous la forme de séries sur les arbres plans puis nous montrons comment elles peuvent être reliées aux séries de Butcher. Enfin nous voyons comment appliquer nos résultats à la théorie du contrôle.

Dans cette thèse, nous étudions les opérateurs de Berezin-Toeplitz sur les variétés kähleriennes et leur généralisation aux variétés symplectiques compactes. Le premier chapitre porte sur l'intégrale de Feynman : nous exprimons le noyau du propagateur quantique à l'aide d'une intégrale de Wiener en fonction de l'action classique. Dans le second chapitre, nous proposons un ansatz pour le noyau des opérateurs de Berezin-Toeplitz, grâce auquel on donne une preuve directe des résultats connus sur ces opérateurs et l'on décrit le calcul des symboles covariants et contravariants en fonction de la métrique kählerienne. Ceci mène à la définition de plusieurs star-produits sur les variétés kähleriennes par une formule universelle. Dans le troisième chapitre, nous généralisons l'ansatz précédent afin de quantifier les sous-variétés lagrangiennes des variétés kähleriennes. Nous appliquons ceci de diverses manières : construction de quasi-modes, énoncé des conditions de Bohr-Sommerfeld, quantification des symplectomorphismes, réalisation d'équivalence microlocale. En comparaison avec la théorie des opérateurs pseudodifférentiels, les invariants de la géométrie des cotangents sont remplacés par des invariants de la géométrie kählerienne. Dans le dernier chapitre, nous entreprenons la généralisation des résultats précédents aux variétés symplectiques compactes, notamment nous quantifions les sous-variétés lagrangiennes et décrivons le calcul symbolique des opérateurs de Berezin-Toeplitz.

Cette thèse est consacrée à l'étude de deux sujets de géométrie symplectique inspirés<p>de la physique mathématique. Les thèmes que nous développerons mettent en évidence certaines <p>connexions avec la topologie symplectique d'une part, la géométrie Riemannienne d'autre part.<p><p>Dans la partie 1, nous étudions la quantification par déformation formelle d'une variété <p>symplectique, à l'aide de produits star. Nous définissons le groupe des automorphimes<p>hamiltoniens d'un produit star formel. En nous inspirant d'idées de Banyaga, nous <p>identifions ce groupe comme étant le noyau d'un morphisme remarquable sur le groupe<p>des automorphismes du produit star. Nous relions certaines propriétés géométriques de <p>ce groupe d'automorphismes hamiltoniens à la topologie du groupe des difféomorphismes<p>hamiltoniens.<p><p>Dans la partie 2, nous étudions les opérateurs de Dirac symplectiques. Les ingrédients<p>nécessaires à leur construction (algèbre de Weyl, structures $Mp^c$, champs de spineurs <p>symplectiques, connexions symplectiques,) sont également utilisés en quantification géométrique et en<p>quantification par déformation formelle. Les opérateurs de Dirac symplectiques sont construits<p>de manière analogue à l'opérateur de Dirac de la géométrie Riemannienne. Une formule de Weitzenbock<p>lie les opérateurs de Dirac symplectiques à un opérateur elliptique $mathcal{P}$ d'ordre 2. Nous étudions<p>les noyaux de ces opérateurs de Dirac symplectiques et leur lien avec le noyau de P.<p>Sur l'espace hermitien symétrique $CP^n$, nous calculerons le spectre de $mathcal{P}$ et nous <p>prouverons un théorème de Hodge pour les opérateurs de Dirac-Dolbeault symplectiques.<p><p>/<p><p>In this thesis we study two topics of symplectic geometry inspired from mathematical physics.<p><p>Part 1 is devoted to the study of deformation quantization of symplectic manifolds. More precisely, we consider formal star products on a symplectic manifold. We define the group of Hamiltonian automorphisms of a formal star product. Following ideas of Banyaga, we describe this group as the kernel<p>of a morphism on the group of automorphisms of the star product. We relate geometric properties of the group of Hamiltonian automorphisms to the topology of the group of Hamiltonian diffeomorphisms. <p><p>Part 2 is devoted to the study of symplectic Dirac operators. The construction of those operators relies on many concepts used in geometric quantization and formal deformation quantization such as Weyl algebra, $Mp^c$ structures, symplectic spinors, symplectic connections, The construction of symplectic Dirac operators is analogous to the one of Dirac operators in Riemannian geometry. A Weitzenbock formula relates the symplectic Dirac operators to an elliptic operator $mathcal{P}$ of order 2. We study the kernels of the symplectic Dirac operators and relate them to the kernel of $mathcal{P}$. On the hermitian symmetric space <p>$CP^n$, we compute the spectrum of $mathcal{P}$ and we prove a Hodge theorem for the symplectic Dirac-Dolbeault operator. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

En employant des méthodes de la théorie de Chern-Weil, Reznikov produit une condition suffisante qui assure la non-trivialité de la projectivisation \( \mathbb{P}(E) \) d'un fibré vectoriel complexe en tant que fibré Hamiltonien. Dans le contexte de la quantification géométrique, Savelyev et Shelukhin introduisent un nouvel invariant des fibrés Hamiltoniens avec valeurs dans la K-théorie et étendent le résultat de Reznikov. Cet invariant est donné par l'indice d'Atiyah-Singer d'une famille d'opérateurs \( \text{Spin}^{c} \) de Dirac. Dans ce mémoire, on s'intéresse à des fibrés Hamiltoniens résultant d'un produit fibré et d'un produit cartésien d'une collection de fibrés projectifs complexes \( \mathbb{P}(E_1), \cdots, \mathbb{P}(E_r) \). En usant des mêmes méthodes que Shelukhin et Savelyev, on définit une famille d'opérateurs \( \text{Spin}^{c} \) de Dirac qui agissent sur les sections d'un fibré de Dirac canonique à valeurs dans un fibré pré-quantique. L'indice de famille produit un invariant de fibrés Hamiltoniens avec fibres données par un produit d'espaces projectifs complexes et permet de construire des exemples de fibrés Hamiltoniens non-triviaux. / Using methods of Chern-Weil Theory, Reznikov provides a sufficient condition for the non-triviality of the projectivization \( \mathbb{P}(E) \) of a complex vector bundle \( E \) as a Hamiltonian fibration. In the setting of geometric quantization, Savelyev and Shelukhin introduce a new invariant of Hamiltonian fibrations and a K-theoretic lift of Reznikov's result. This invariant is given by the Atiyah-Singer index of a family of \( \text{Spin}^{c} \)-Dirac operators. In this thesis, we consider Hamiltonian fibrations given by the Cartesian product and the fiber product of a collection of complex projective bundles \( \mathbb{P}(E_1), \cdots, \mathbb{P}(E_r) \). Using the same methods as Savelyev and Shelukhin, we define a family of \( \text{Spin}^{c} \)-Dirac operators acting on sections of a canonical Dirac bundle with values in a suitable prequantum fibration. The family index gives then an invariant of Hamiltonian fibrations with fibers given by a product of complex projective spaces and allows to construct examples of non-trivial Hamiltonian fibrations.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats de théorie spectrale, directe et inverse, dans la limite semi-classique, pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces. Pour les opérateurs pseudo-différentiels, les résultats en question sont déjà connus, et il est naturel de vouloir les étendre aux opérateurs de Toeplitz. Les conditions de Bohr-Sommerfeld usuelles, qui caractérisent les valeurs propres proches d'une valeur régulière du symbole principal, ont été obtenues il y a quelques années seulement pour les opérateurs de Toeplitz. Notre contribution consiste en l'extension de ces conditions près de valeurs critiques non dégénérées. Nous traitons le cas d'une valeur critique elliptique à l'aide d'une technique de forme normale ; l'opérateur modèle est la réalisation de l'oscillateur harmonique sur l'espace de Bargmann, dont le spectre est bien connu. Dans le cas d'une valeur critique hyperbolique, la forme normale ne suffit plus et nous complétons l'étude en faisant appel à des arguments dus à Colin de Verdière et Parisse, à qui l'on doit le résultat analogue dans le cas pseudo-différentiel. Enfin, nous établissons un résultat de théorie spectrale inverse pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces ; plus précisément, nous montrons que sous certaines hypothèses génériques, la connaissance du spectre à l'ordre deux dans la limite semi-classique permet de retrouver le symbole principal à symplectomorphisme près. Ce résultat s'appuie en grande partie sur l'écriture des règles de Bohr-Sommerfeld. / In this thesis, we prove some direct and inverse spectral results, in the semiclassical limit, for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces. For pseudodifferential operators, these results are already known, and it is natural to expect their extension to the Toeplitz setting. The usual Bohr-Sommerfeld conditions, characterizing the eigenvalues close to a regular value of the principal symbol, have been obtained a few years ago for Toeplitz operators. Our contribution consists in extending these conditions near nondegenerate critical values. We handle the case of an elliptic value thanks to a normal form technique; the model operator is the realization of the harmonic oscillator in the Bargmann space, whose spectrum is well-known. In the case of a hyperbolic value, the normal form is no longer sufficient and we conclude by using additional arguments due to Colin de Verdière and Parisse, who derived the analogous result for pseudodifferential operators. Finally, we write an inverse spectral result for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces; more precisely, we show that under some generic hypotheses, the knowledge of the spectrum up to order two in the semiclassical limit allows to recover the principal symbol up to symplectomorphism. This result essentially relies on Bohr-Sommerfeld rules.