Au cours des années récentes, plusieurs auteurs ont prouvé des résultats d'existence en temps grand pour des solutions d'équations de Klein-Gordon non-linéaires sur certaines variétés compactes, telles les sphères, lorsque les données initiales sont assez régulières et assez petites, et qu'un certain paramètre de masse évite un sous-ensemble de mesure nulle de la droite réelle. L'une des hypothèses fondamentales dans ces travaux est une propriété de séparation des valeurs propres du laplacien sur les variétés considérées. L'objet des deux premiers articles constituant cette thèse est d'examiner quels résultats peuvent être obtenus lorsqu'une telle hypothèse de séparation n'est plus vérifiée. Nous étudions le cas d'un opérateur de Klein-Gordon associé à l'oscillateur harmonique sur l'espace euclidien, et celui de l'opérateur de Klein-Gordon usuel sur le tore. Nous obtenons, par des méthodes de formes normales, des solutions existant sur des intervalles plus longs que ceux fournis par la théorie locale. Le dernier article de cette thèse s'intéresse au problème de l'estimation en temps grand des normes Sobolev de solutions d'une équation de Schrödinger linéaire sur le tore, à potentiel dépendant du temps. Nous prouvons des bornes logarithmiques, lorsque le potentiel est Gevrey, généralisant des résultats antérieurs de Bourgain et Wang.

Le sujet principal de cette thèse est l'étude de l'équation de Klein-Gordon couplée avec un terme d'interaction et sa quantification du point de vue multisymplectique. <br /><br />Nous nous interessons tout d'abord à l'équation linéaire et nous proposons une description multisymplectique de la quantification canonique par le biais d'une representation des symétries, de la quantification par deformation et enfin nous introduisons la notion de quatification par déformation multisymplectique. <br /><br />Ensuite nous traitons le champ en interaction. Nous construisons dans un premier temps des observables sous la forme de séries sur les arbres plans puis nous montrons comment elles peuvent être reliées aux séries de Butcher. Enfin nous voyons comment appliquer nos résultats à la théorie du contrôle.

On présente dans cette thèse quelques résultats nouveaux concernant l'optique non-linéaire diffractive. Tout d'abord, des solutions oscillantes régulières de systèmes hyperboliques sont analysées grâce à des développements asymptotiques (BKW) 3 échelles multiphases, à phases courbes : l'échelle la plus rapide est celle des oscillations, l'échelle intermédiaire décrit des phénomènes transverses à la propagation, cette dernière suivant les rayons de l'optique géométrique, à l'échelle la plus lente. L'utilisation des phases non planes permet de traiter le cas des systèmes à coefficients variables, et nécessite des hypothèses de cohérence et de petits diviseurs, dont on montre la généricité. On donne des exemples d'interactions d'ondes diffractées, en particulier en acoustique non linéaire. De plus, la diffraction transverse est considérée dans des cadres fonctionnels différents : périodique, faiblement décroissant, et pour des profils de chocs. Ces comportements sont appliqués à l'étude de la perturbation des phases oscillantes, ainsi qu'au problème des frontières ombre/lumière. On analyse dans chaque cas l'influence des effets de rectification (interaction entre moyenne et oscillations). Enfin, on décrit les oscillations se réfléchissant près d'un point diffractif (où la réflexion est tangentielle), pour une équation de Klein-Gordon semi-linéaire dissipative : une asymptotique $H^1$ met en évidence les interactions et la formation d'une \begin{guillemets}zone d'ombre\end{guillemets}.

Submitted by Emanuel Varela Cardoso (emanuel.varela@ufcg.edu.br) on 2018-10-09T17:21:02Z No. of bitstreams: 1 Dissertação-Aline Nascimento Lins (ok).pdf: 569104 bytes, checksum: 74a65b4ab8272bfcc42b2378df62b4ec (MD5) / Made available in DSpace on 2018-10-09T17:21:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação-Aline Nascimento Lins (ok).pdf: 569104 bytes, checksum: 74a65b4ab8272bfcc42b2378df62b4ec (MD5) Previous issue date: 2017-02 / O conceito de Matéria Escura surgiu para explicar uma anomalia na curva de rotação de galáxias espirais, desde então, pesquisadores de todo o mundo vêm tentando detectar a partícula que compõe tal matéria. Sem sucesso nas detecções, surgiram algumas teorias para explicar a existência tanto da Matéria Escura quanto da Energia Escura, responsável pela expansão acelerada do Universo. Neste trabalho apresentamos uma dessas teorias. Aqui sugerimos que o Universo se comporta de uma maneira diferente com a qual estamos acostumados, para isso tzemos uso da relatividade geral e da equação não-linear de Klein-Gordon, e então admitimos que o Universo está imerso em um superfluido relativístico para assim podermos explicar teoricamente Matéria Escura e Energia Escura. / The concept of Dark Matter arises to explain an anomaly in the rotation curve of spiral galaxies, since then, researchers around the world have been trying to detect the particle that composes this matter. Without success in the detections, some theories appeared to explain the existence of both Dark Matter and Dark Energy, the last one is responsible for the accelerated expansion of the Universe. In this dissertation we present one of these theories. Here we suggest that the Universe behaves in a di erent way with which we are accustomed, for this we have made use of the general relativity and the Klein-Gordon's nonlinear equation, and then we admit that the Universe is immersed in a relativistic superfluid so we can theoretically explain Dark Matter and Dark Energy.