On étudie dans cette thèse l'existence et l'unicité de solutions entières, dans des espaces de Hölder à poids appropriés, d'équations hessiennes elliptiques dans Rn et Cn, invariantes par rotation.

Le thème central des travaux présentés est l'étude des suites faiblement dépendantes<br />non -mélangeantes au sens de Rosenblatt (1956). La notion de mélange classique est affaiblie<br />afin d'établir des inégalités ainsi que des théorèmes limite pour différentes classes de processus<br />comme par exemple certains systèmes dynamiques, des chaînes de Markov non irréductibles,<br />ou encore des fonctions de processus linéaires non mélangeants. Les résultats obtenus sont<br />ensuite appliqués au domaine de la statistique non paramétrique.<br />Deux autres thématiques sont abordées dans ce manuscrit : d'une part l'étude de principes<br />de grandes déviations (notamment pour le processus de records généralisés), et d'autre part<br />l'estimation adaptative de fonctionnelles linéaires.

Ces travaux de thèse s'inscrivent dans le cadre de l'assistance robotique pour la chirurgie mini-invasive télé-opérée. L'une des principales limitations des systèmes existants concerne l'absence de restitution des efforts au chirurgien lorsqu'il télé-opère le robot. Ainsi, un système de télé-opération avec retour d'effort est proposé. Il est basé sur une architecture position - position avec une commande en effort du robot esclave. Cette dernière utilise un découplage non-linéaire du robot ainsi que des techniques d'observation et de commande par retour d'état. Des validations expérimentales ont montré les performances de l'architecture lors d'une télé-opération en espace libre et lors d'interactions avec un environnement de faible rigidité. Une première contribution est l'estimation en ligne de la raideur de l'environnement afin de garantir la stabilité du système lors d'interactions avec un environnement rigide. Cette stratégie utilise un filtre de Kalman étendu qui s'affranchit de la position de repos de l'environnement et qui considère une compensation des erreurs de modélisation du robot esclave. La deuxième contribution est l'étude de la transparence et de la stabilité de l'architecture de télé-opération. Une adaptation des paramètres de commande en fonction de la raideur estimée est proposée en considérant un compromis entre ces deux critères. La structure a été validée expérimentalement en considérant un environnement constitué de tissus ex-vivo. Une dernière contribution est l'adaptation de l'architecture de télé-opération avec retour d'effort aux contraintes imposées par la chirurgie mini-invasive. La première est le passage de l'instrument du robot par le trocart. Une architecture de commande utilisant le principe du découplage tâche - posture est alors proposée. La posture permettant le passage par le trocart est contrôlée en considérant la commande en position d'un robot virtuel attaché à l'instrument du robot télé-opéré. La deuxième contrainte considérée est la compensation des mouvements physiologiques. L'objectif étant d'offrir au chirurgien une stabilisation virtuelle de l'organe. L'approche de commande consiste à atténuer les perturbations dans les efforts appliqués sur un environnement en mouvement. La compensation repose sur une commande référencée modèle qui considère que les perturbations atténuées génèrent un déplacement du robot esclave. Des expérimentations ont montré la pertinence et l'efficacité des stratégies proposées.

La représentation des variations spatio-temporelles des fonctions de covariance d'erreur d'ébauche reste un problème majeur dans les algorithmes d'assimilation. Dans cette thèse le diagnostic des variations géographiques des corrélations locales est introduit via le diagnostic de la portée locale. L'estimation de cette portée ainsi que les propriétés de l'estimation sont étudiés en détail. Ce travail utilise des ondelettes sphériques, suivant la formulation introduite par Mike Fisher (ECMWF), pour modéliser les fonctions de corrélation locale "du jour". Il est montré que cette formulation moyenne spatialement les corrélations locales, permettant de réduire le bruit d'échantillonnage. D'autre part, cette formulation ondelette fournit une estimation robuste même pour un petit ensemble. Elle est aussi capable de capturer la dynamique spatio-temporelle des corrélations, ceci est illustré à l'aide de la dynamique des portées locales du jour.

La th\'matique dans laquelle<br />ce travail s'inscrit est l'estimation des syst\`mes non lin\'{e}aires, le<br />processus d'estimation (ou d'observation) concernant aussi bien les<br />variables d'\'tat que les param\`tres. En g\'{e}n\'ral, le probl\`me<br />d'observation non lin\'{e}aire oblige---faute d'une solution<br />syst\'matique---\`{a} une transformation du syst\`{e}me \`{a} observer sous une<br />forme pour laquelle la synth\`{e}se d'un observateur soit possible. Nos<br />contributions concernent principalement les transformations par<br />immersion, qui g\'{e}n\'{e}ralisent les transformations par diff\'{e}omorphisme<br />au sens o\`{u} la dimension de l'espace d'\'{e}tat n'est pas forcement<br />pr\'{e}serv\'{e}e\nobreakdash---elle peut augmenter. Dans une premi\`{e}re<br />partie on en appelle \`{a} l'injection de sortie dans le but d'\'{e}largir<br />la classe des syst\`{e}mes qui peuvent s'immerger dans une forme affine<br />en l'\'{e}tat et on propose des façons heuristiques de construire<br />l'immersion. Puis, dans une deuxi\`{e}me partie on montre qu'une<br />possibilit\'{e} d'obtenir une caract\'{e}risation pr\'{e}cise des conditions<br />d'immersion, m\^{e}me en pr\'{e}sence de l'injection de sortie, est de<br />tol\'{e}rer d'une certaine façon les non lin\'{e}arit\'{e}s. La proc\'{e}dure<br />d'immersion qui s'obtient est syst\'{e}matique si l'on n'utilise pas<br />l'injection de sortie. Pour justifier l'int\'{e}r\^{e}t vis-\`{a}-vis de la<br />forme qui en r\'{e}sulte on pr\'{e}sente un observateur \`{a} grand gain dont la<br />synth\`{e}se ne s'appuie pas sur l'hypoth\`{e}se d'observabilit\'{e} uniforme.<br />L'applicabilit\'{e} des r\'{e}sultats est v\'{e}rifi\'{e}e sur des exemples dans le<br />domaine des syst\`{e}mes \'{e}lectriques de puissance, dont le plus<br />important concerne l'estimation simultan\'{e}e d'\'{e}tat et de param\`{e}tres<br />dans les moteurs asynchrones.

On se place dans le cadre de<br />l'estimation non paramétrique pour les problèmes inverses, où une<br />fonction inconnue subit une transformation par un opérateur<br />linéaire mal posé, et où l'on en observe une version bruitée par<br />une erreur aléatoire additive. Dans ce type de problèmes, les<br />méthodes d'ondelettes sont très utiles, et ont été largement<br />étudiées. Les méthodes développées dans cette thèse s'en<br />inspirent, mais consistent à s'écarter des bases d'ondelettes<br />"classiques", ce qui permet d'ouvrir de nouvelles perspectives<br />théoriques et pratiques. Dans l'essentiel de la thèse, on utilise<br />un modèle de type bruit blanc. On construit des estimateurs<br />utilisant des bases qui d'une part sont adaptées à l'opérateur, et<br />d'autre part possèdent des propriétés analogues à celles des<br />ondelettes. On en étudie les propriétés minimax dans un cadre<br />large, et l'on implémente ces méthodes afin d'en étudier leurs<br />performances pratiques. Dans une dernière partie, on utilise un<br />modèle de regression en design aléatoire, et on étudie les<br />performances numériques d'un estimateur reposant sur la<br />déformation des bases d'ondelettes.

Ce travail concerne différent thèmes qui ont pour objectif d'améliorer la compréhension de l'Interférométrie Polarimétrique Radar (Pol-InSAR) ainsi que de proposer de nouvelles techniques permettant la reconstruction de paramètres liés à la végétation, dans le cadre d'applications de Télédétection. Des études théoriques sont menées afin de définir rigoureusement et d'analyser lénsemble de cohérences Pol-InSAR ainsi que de développer et d'interpréter les techniques d'optimisation de cohérences à lignes de base multiples. Un modèle interférométrique polarimétrique phénoménologique est développé pour tenir<br />compte d'un milieu volumique situé au dessus d'un sol. Dans le cas de forêts observées en bande L, ce modèle tient compte de la topographie du sol, de la canopée, de la hauteur totale des arbres, de l'atténuation de l'onde, de la réflectivité au sein de la canopée, de<br />la morphologie des arbres prise en compte par la distribution statistique des orientations des branches et leur forme efficace, de la contribution du sol et enfin de l'interaction entre le sol et les troncs. Une méthodologie d'inversion des paramètres de végétation est développée dans le cas des acquisitions monopasse ou multipasses. Dans ce dernier cas, la méthode d'inversion tient compte de la décorrélation temporelle et permet ainsi une estimation pour chaque ligne de base. La performance de léstimation des paramètres de<br />végétation est évaluée à partir de données SAR simulées et réelles aéroportées en bande L, pour les deux cas de configurations en lignes de base simple ou multiple.

Cette thèse porte sur l'étude<br />d'applications statistiques de suites dépendantes et<br />stationnaires. Nous étudions deux classes de suites<br />dépendantes. Nous nous intéressons d'une part à des suites<br />faiblement dépendantes, où notre notion de dépendance faible est<br />une variante de la notion introduite par Doukhan \& Louhichi, d'autre part à certains systèmes dynamiques<br />présentant une propriété de décroissance des<br />corrélations. Nous traitons du comportement asymptotique du<br />processus empirique, fondamental en statistiques. Nous étudions<br />aussi un estimateur à noyau de la densité dans nos deux cadres de<br />dépendance. Enfin, nous nous intéressons à un problème de<br />rupture d'une fonction de régression en dépendance faible. A ces<br />fins, nous développons des idées de Rio pour montrer un<br />théorème limite centrale en dépendance faible, ainsi que des<br />nouvelles inégalités de moments qui étendent celles de Louhichi. Enfin, nous illustrons certains de nos résultats par des<br />simulations.