Le principal résultat de la thèse est un théorème de convexité réel pour les applications moment à valeurs dans un groupe de Lie. Ce théorème est appliqué à la construction de sous-variétés lagrangiennes dans les quotients quasi-hamiltoniens, en particulier dans les espaces de représentations de groupes de surfaces. La notion de représentation décomposable fournit une interprétation géométrique de la sous-variété lagrangienne obtenue.

Dans la première partie de cette thèse, nous étudions un modèle de marche aléatoire centrifuge. Nous démontrons une loi du logarithme itéré pour sa norme, et nous obtenons la loi asymptotique des fluctuations de sa direction. Nous donnons ensuite un encadrement du taux de décroissance exponentielle de la probabilité qu'elle se trouve à l'instant n dans un compact fixé en montrant que la probabilité qu'une marche aléatoire centrée classique retourne dans un compact à l'instant n sans quitter un cône ne décroît pas à vitesse exponentielle. Dans la seconde partie, nous étudions le mouvement brownien de dimension quelconque, conditionné à rester dans un cône de révolution pendant une unité de temps, et nous en déduisons un principe d'invariance pour une marche aléatoire conditionnée à rester dans un cône.

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude d'une équation parabolique quasilinéaire dans laquelle la diffusion est paramétrée par la longueur des différentes interactions non locales. Pour ce qui est du problème stationnaire associé, après avoir montré des résultats d'existence, d'unicité et de continuité. Nous présentons ensuite un critère général d'inversibilité dépendant du paramètre, ce critère très important va par la suite nous permettre en exemple d'application de retrouver des résultats d'inversibilités déjà connus lorsque le paramètre est égale au diamètre du domaine. Nous donnons ensuite un résultat de principe de comparaison de solutions symétriques radiales et une généralisation du compte du nombre de solutions. Enfin nous donnons quelques applications numériques utilisant une méthode de point fixe et de Newton pour illustrer ces résultats. Pour le problème d'évolution, après avoir montré l'existence d'un attracteur global associé à notre problème, nous démontrons une estimation $L^\infty$ de la solution en fonction d'estimations $L^q$, $q>1$ utilisant des itérations de type Moser.

Cette thèse est consacrée à la représentation de la géométrie des images. Pour obtenir une représentation efficace il faut modéliser l'information géométrique et on construit des outils pour traiter ce modèle. Ces deux ingrédients vont de paire, s'influençant mutuellement pour obtenir un résultat satisfaisant, c'est à dire un modèle pertinent et des algorithmes rapides et performants.<br>On propose donc une modélisation géométrique des images, l'ambition étant de pouvoir extraire l'information contenue dans les images naturelles, c'est-à-dire les images qui nous entourent. Ce problème est bien sûr difficile car la géométrie des images est complexe et variable.

La méthode Symbolique Implicite Monte Carlo permet d'obtenir une approximation de la solution de l'équation du transport. Dans la méthode originelle, les fonctions d'approximation étaient choisies constantes par morceaux. On démontre qu'en prenant des fonctions linéaires par morceaux, cette méthode possède alors la limite diffusion, c'est à dire qu'en milieu diffusif, elle approche la solution de l'équation de diffusion même lorsque la taille des mailles est grande vis à vis du libre parcours, à condition que celle ci reste suffisante pour résoudre l'échelle de la diffusion. On montre que les conditions aux limites en milieu diffusif approchent, sous certaines hypothèses, les conditions aux limites exactes, ce qui autorise un traitement précis des couches limites sans devoir les mailler finement. On présente des tests numériques étayant cette analyse. On étudie également des schémas aux éléments finis linéaires discontinus et on explique pourquoi ces schémas possèdent la même limite diffusion ainsi que les mêmes conditions aux limites en milieu diffusif que la méthode Symbolique Implicite Monte Carlo.

Ce mémoire est consacré à l'étude des systèmes hyperboliques de lois de conservation et se compose de deux parties indépendantes. Dans une première partie, nous étudions des problèmes aux limites ne vérifiant qu'une condition de stabilité faible. Cette partie est motivée par l'étude d'ondes en mécanique des fluides compressibles comme les ondes de choc ou les nappes de tourbillon. Sous des hypothèses générales, nous définissons la notion de problème faiblement stable et montrons que de tels problèmes sont bien-posés au sens de Hadamard. L'originalité de notre travail consiste à autoriser une perte de régularité entre les seconds membres des équations et les solutions, les hypothèses ne portant que sur les symboles principaux des équations. Notre analyse commence par les problèmes linéaires, ces premiers résultats servant à traiter des problèmes non-linéaires intervenant dans la théorie des ondes de choc ou des discontinuités de contact. Dans une seconde partie, nous abordons l'étude des systèmes hyperboliques en présence de termes dissipatifs. Nos résultats couvrent tout d'abord des systèmes hyperboliques avec relaxation. Nous montrons l'existence globale de solutions régulières et justifions le comportement asymptotique de ces solutions lorsque le coefficient de relaxation devient infiniment grand. En particulier, nos résultats valident la construction de schémas numériques dits de relaxation pour les équations d'Euler. Nous étudions enfin un modèle d'hydrodynamique radiative où le terme de dissipation prend la forme d'un opérateur non-local. Nous montrons pour ce modèle l'existence et la stabilité asymptotique de profils de choc. Nous développons également une procédure numérique permettant de calculer ces profils.

Ce mémoire se compose d'un document de synthèse et de 4 articles publiés dans des revues internationales ; il comporte 5 chapitres dont 4 fondamentaux.<br />Le chapitre 1, intitulé « Aspects géométriques de l'Analyse en Composantes Principales », est essentiellement consacré aux techniques actuellement populaires d'analyse des données fonctionnelles. <br />La première section est consacrée à l'analyse dans l'espace des fréquences d'un signal multidimensionnel, re-codé par sa transformée de Fourier discrète, puis soumis à une Analyse en composantes principale (ACP). On montre l'intérêt de cette méthode pour filtrer des signaux non-stationnaires, dans les domaines de l'acoustique sous-marine et de l'analyse d'images.<br />Dans la deuxième section, on introduit un point de vue géométrique, au sens où « les propriétés géométriques sont caractérisées par leur invariance par rapport à un groupe de transformations » (K. Klein). Cela nous permet d'introduire l'ACP invariante sous l'action d'un groupe d'isométries (translations, p.ex.), qui montre son efficacité pour le traitement de données acoustiques.<br />Le chapitre 2, intitulé « Une petite théorie statistique de la rareté » est directement associé aux préoccupations des écologues. Il est motivé par les difficultés rencontrées lors de l'utilisation de méthodes factorielles dans le contexte d'études de longues séries d'observations d'espèces benthiques. C'est autour d'un l'article joint, intitulé : Methods for selecting dominant species in ecological series. Application to marine macrobenthic communities from the english channel que s'articule le discours. Il est bien connu que les méthodes classiques d'Analyse en Composantes Principales et des Correspondances portant sur des tableaux d'effectifs sont très sensibles à la faible importance de nombreux effectifs observés. L'auteur consacre une partie de ce chapitre à des définitions précises de la rareté, afin de pouvoir séparer ce qui est rare de ce qui est commun ou dominant. Cela permet de simplifier l'interprétation de l'ACP de longues séries d'observations, en supprimant les espèces rares. On propose une méthode automatique de sélection des espèces pour l'ACP, mais aussi des test portant sur la rareté globale (c'est-à-dire dans tous les relevés) des espèces recensées.<br /> <br />Le chapitre 3 est intitulé « Analyse en composantes principales de mesures absolument continues: applications en sédimentologie et en écologie ». On y présente des résultats statistiques théoriques obtenus dans deux articles (joints) publiés récemment, et illustrés par des applications à l'écologie et la sédimentologie. <br /> Il s'agit d'abord, dans un premier article intitulé The use of regularization methods in computing Radon-Nikodym derivatives. Application to grain-size distributions, de résoudre un problème d'approximation de densités pour résoudre un problème de sédimentologie. Dans le second article, intitulé Principal components analysis of measures, with special emphasis on grain-size curves, on propose une méthodologie originale pour réaliser des ACP de granulométries, utilisant le cadre fonctionnel mis en place dans l'article précédent. Ce travail est illustré par l'élaboration de plusieurs cartographies sédimentaires de l'étang de Berre, en fonction de la mesure de référence choisie.<br /> <br />Comme l'indique son titre : « La turbulence et le plancton », le chapitre 4 met en relation l'Ecologie et l'Océanographie Physique. Au cœur de ce chapitre se trouve le « paradoxe du plancton » : pourquoi y a-t-il une telle biodiversité dans les océans, alors qu'il s'y trouve si peu de ressources ' Pour certains chercheurs, l'explication de ce paradoxe réside dans la turbulence, qui favoriserait l'apport de nutriments aux cellules phytoplanctoniques. Afin de valider numériquement un modèle de croissance du phytoplancton basé sur cette hypothèse et incorporant la turbulence, il est nécessaire de simuler celle-ci. Nous proposons de la modéliser par une puissance d'un processus stochastique à longue portée. Afin d'estimer le principal paramètre de ce processus (son exposant de Hurst) à partir de données disponibles, nous avons proposé des améliorations méthodologiques, qui on fait l'objet d'un article joint: Application of resampling and linear spline methods to spectral and dispersional analyses of long-memory processes. Les améliorations attendues sont testées sur des données simulées et sur les données classiques de l'historique du niveau d'eau du Nil, ainsi que sur la chronique de l'Oscillation Nord-Atlantique (NAO).

Estimer le mouvement d'un robot et construire en même temps une représentation de l'environnement (problème SLAM: Simultaneous Localisation And Mapping) est souvent considéré comme un problème essentiel pour développer des robots pleinement autonomes qui ne nécessitent pas de connaissances à priori de l'environnement pour réaliser leurs tâches. L'évolution du SLAM est très liée aux capteurs utilisés. Les sonars couplés avec l'odométrie sont souvent présentés comme les premiers capteurs ayant fourni des résultats convaincants. Depuis, les lasers 2D ont souvent remplacés ces capteurs pour des raisons de précision et de rapport signal/bruit. Néanmoins les lasers 2D permettent uniquement d'estimer des mouvements planaires et ne donnent pas des informations perceptuelles suffisantes pour identifier de manière fiable des régions précédemment explorées. Ces observations nous ont amenés à explorer à travers cette thèse comment combiner un capteur omnidirectionnel avec un télémètre laser pour effectuer la localisation et cartographie simultanée dans des environnements complexes et de grandes tailles. Les contributions de cette thèse concernent l'étalonnage des capteurs centraux catadioptriques (avec le développement d'un logiciel open source disponible sur le site internet de l'auteur) et la recherche de la position relative entre un capteur omnidirectionnel et un télémètre laser. Des approches efficaces pour estimer le mouvement 3D du capteur en utilisant des droites et des plans sont détaillées. Enfin deux méthodes sont proposées combinant laser et vision pour effectuer du SLAM planaire mais aussi pour estimer la position 3D du robot ainsi que la structure de l'environnement.

Dans un contexte d'ouverture à la concurrence et d'émergence des marchés de l'énergie, la production d'électricité est affectée par de nouvelles sources d'aléas : le risque de marché. Nous étudions la possibilité d'introduire des contraintes de risque financier dans le processus d'optimisation de la production de l'électricité. Nous distinguons l'approche "ingénieur" (prise en compte du risque par des mesures de risque) de l'approche "économiste" (prise en compte du risque par des fonctions d'utilité), au Chapitre 1. Ces deux points de vue sont rapprochés dans le Chapitre 2. Une application numérique relativement simple est présentée pour illustrer le lien qui existe entre la Conditional Value-at-Risk et l'aversion aux pertes. Le résultat d'équivalence obtenu dans le Chapitre 2 est étendu à un cadre d'optimisation dynamique dans le Chapitre 3. Une application numérique de cette approche et une programmation dynamique sous contrainte de risque sont faites au Chapitre 4 pour résoudre un problème de gestion de production de l'électricité sous une contrainte de Condition al Value-at-Risk.

Etant donné un point fixe pour un homéomorphisme de surface, on peut définir un ensemble de rotation autour du point fixe, qui est un invariant de conjugaison locale. Ce mémoire commence l'étude de cet invariant et de ses liens avec d'autres propriétés dynamiques : en particulier l'existence d'orbites périodiques, la différentiabilité au point fixe, l'indice de Poincaré-Lefschetz lorsque le point fixe est isolé.