Nous nous sommes penchés sur différents aspects des problèmes<br />d'optimisation stochastique qui, à notre connaissance, ont été peu<br />étudiés. Ainsi, nous nous sommes intéressés au problème de l'effet dual,<br />puis à la discrétisation des contraintes de mesurabilité, à la<br />résolution numérique de problèmes avec contraintes en information statique et enfin,<br />nous avons étudié les conditions d'optimalité d'un problème<br />d'optimisation stochastique, le but recherché étant de mieux<br />comprendre comment intervient la contrainte de mesurabilité dans la<br />caractérisation de la (ou des) solution(s) optimale(s). Notre approche<br />numérique du problème est originale de deux points de vue :<br />Elle utilise les topologies sur l'espace des sigma-algèbres<br /> pour mesurer la perte d'information due à la discrétisation de la<br /> contrainte de mesurabilité. L'étude de cet espace nous a permis entre<br /> autres d'apporter de nouveaux résultats qui constituent des éléments<br /> essentiels dans notre étude~;<br />Nous montrons que l'erreur de discrétisation provient de la<br /> contribution de deux termes d'erreur : une erreur issue de la <br /> discrétisation de la contrainte de mesurabilité et une autre erreur<br /> issue de l'approximation de l'espérance.<br /><br />Nous donnons dans ce mémoire des résultats asymptotiques de<br />convergence d'une suite de problèmes discrets vers le problème<br />d'origine. Nous avons également, sur des problèmes particuliers, des<br />résultats de type Lipschitz sur la fonction valeur. Par ailleurs,<br />l'étude des conditions d'optimalité nous a permis d'obtenir deux<br />possibilités différentes d'approche d'un problème de commande optimale<br />stochastique.

L'algorithme de complétion de Knuth-Bendix permet, dans certains<br />cas, d'utiliser les systèmes de réécriture pour décider le<br />problème du mot dans un monoïde. Le problème du mot est alors<br />réduit a un calcul de forme normale. Cependant, tous les monoïdes<br />décidables ne peuvent pas être résolus de cette façon. Un<br />programme, initie par Squier, vise a caractériser par des<br />invariants algébriques la classe des monoïde décidables par<br />réécriture.<br />L'objectif de cette thèse est d'étendre ce travail a la réécriture<br />de termes.<br />Nous établissons des conditions de finitude homologique pour<br />l'existence de présentations convergentes de type fini par<br />réécriture de termes de théories équationnelles du premier ordre<br />avec une sorte. Une théorie équationnelle est sémantiquement<br />décrite par une théorie algébrique au sens de Lawvere. Nous<br />introduisons l'homologie de ces théories à coefficients dans les<br />bimodules non additifs, comme généralisation de l'homologie de<br />MacLane des anneaux. Cette homologie admet une interprétation en<br />terme d'homologie de Hochschild-Mitchell de la petite catégorie<br />sous-jacente. Nous généralisons les résolutions libres de Squier<br />et Kobayashi, établies en réécriture de mots, à la réécriture de<br />petites catégories. En utilisant ces résolutions, nous montrons<br />qu'une théorie algébrique admettant une présentation convergente<br />de type fini est de type bi-$\mathrm(PF)_(\infty)$. Nous<br />construisons une théorie équationnelle, non unaire, décidable et<br />n'admettant pas de présentation convergente de type fini.

Les résultats présentés sont centrés sur la géométrie et la topologie des variétés algébriques réelles. Une grande partie est consacrée aux surfaces (variétés de dimension 2). On présente aussi un nouveau programme portant sur les variétés de dimension 3. Les résultats choisis sont repartis en trois axes :<br /><br />1. Cycles algébriques sur les surfaces.<br />2. Topologie des variétés algébriques réelles.<br />3. Approximation des applications lisses par des applications régulières.<br /><br />1. On s'intéresse au groupe des classes d'homologie représentables par des courbes algébriques réelles. Ce groupe est un invariant géométrique qui joue un rôle important notamment dans des questions d'approximation. Dans une série d'articles, dont l'un avec J. van Hamel, on conclut la classification des surfaces totalement algébriques parmi les surfaces de type spécial.<br /><br />2. L'étude systématique de la topologie des variétés algébriques réelles a été initiée en 1900 par D. Hilbert dans le XVIème problème de sa fameuse liste. Le résultat le plus marquant est ici la preuve, avec J. Huisman, d'une conjecture de J. Kollár :<br />Toute variété de Seifert orientable est difféomorphe à une composante connexe d'une variété uniréglée réelle de dimension 3.<br />Il s'agit d'un pas important dans la classification des variétés uniréglées réelles de dimension 3.<br /><br />3. Soient deux variétés algébriques réelles non singulières X et Y, X compacte, on cherche à savoir dans quels cas l'ensemble des applications régulières R(X,Y) est dense dans l'ensemble des applications lisses C(X,Y) (cf. Th. de Stone-Weierstrass lorsque Y = R).<br />Ici Y est la sphère usuelle. Dans une série de deux articles, dont l'un avec N. Joglar, on a terminé le cas où X est une surface de dimension de Kodaira strictement négative : si X est homéomorphe à un tore, les seules applications approximables sont homotopiquement triviales, dans tous les autres cas où X est connexe, on a densité.<br />De façon plutôt surprenante, on montre qu'il existe un unique cas rationnel intermédiaire entre trivialité et densité qui est une surface de Del Pezzo réelle de degré 2 possédant quatre composantes connexes.

D'après le travail de Rickard, nous savons que deux anneaux possèdent la même catégorie d´erivée s'il existe un complexe basculant, construit à partir de modules projectifs sur le premier anneau de telle sorte que le deuxième anneau soit l'anneau des endomormorphismes de ce complexe basculant.<br />Dans cette thèse je décris, sous certaines conditions, l'anneau des endomorphismes de complexes à n termes à partir de l'anneau des endomorphismes d'une structure plus élémentaire, les homologies des complexes.<br />Le cas de complexes basculants à 2 termes sur un ordre de Gorenstein tel que les homologies sont sans torsion a été fait par S.König et A.Zimmermann.

Cette thèse est consacrée à l'étude asymptotique et l'homogénéisation de l'équation de la piézoélectricité, dans le cas de coefficients rapidement oscillants et des structures périodiquement perforées. L'étude consiste à développer deux approches; théorique et numérique. <br /><br />Dans l'approche théorique, on établit le problème homogénéisé et les tenseurs effectifs, ainsi que leurs propriétés pour une structure tridimensionnelle perforée, quand la période tend vers zéro. En se basant sur la même méthodologie, on traite le cas d'une plaque mince et d'une coque de Koiter périodiques, lorsque l'épaisseur et la période tendent vers zéro.<br /><br />Le deuxième volet comporte la simulation numérique du comportement macroscopique de quelques structures piézoélectriques particulières, en l'occurrence : le piézocomposite perforé et le piézocomposite laminé. Cette simulation trouve un intérêt pour de nouvelles applications dans ce type de structures, notamment l'hydrophonie, l'imagerie biomédicale et le contrôle des vibrations (filtrage spatial).

Le but de cette thèse est de donner une démonstration complète de la conjecture de l'inertie modérée de Serre qui donne des contraintes (en fonction de e et de r) sur l'action de Galois sur le groupe de cohomologie H^r_et(X_Kbar, Z/pZ) si X est une variété propre et lisse, à réduction semi-stable, sur un corps p-adique K d'indice de ramification absolue e.<br /><br />Pour ce faire, nous établissons, dans le cas er < p-1, un isomorphisme de périodes reliant le groupe de cohomologie étale précédent à un groupe de cohomologie log-cristalline de la fibre spéciale de X. Nous montrons ensuite que ce dernier groupe est un objet de la catégorie M^r définie par Breuil. La conclusion découle finalement d'un examen relativement fin des objets de M^r.<br /><br />Le dernier chapitre de cette thèse (qui est indépendant) est consacré à la construction d'une dualité sur la catégorie M^r.

Mes travaux ont porté sur la classification et la rigidité des points critiques de la fonctionnelle d'aire -- variétés minimales et apparentées -- pour des surfaces dans l'espace euclidien ou plus généralement dans certains espaces homogènes. Le cadre est riemannien ou hermitien, et je me suis attaché à comprendre et décrire la structure de l'équation aux dérivées partielles associée au problème géométrique, et celle de ses solutions. En utilisant des paramétrisations conformes, j'ai caractérisé notamment les solutions satisfaisant des conditions géométriques ou topologiques telles que le plongement, la fermeture des périodes en genre un (pour des tores lagrangiens) ou l'isopérimétrie.<br /><br />Dans une première partie, j'aborde essentiellement les surfaces minimales « classiques » dans l'espace euclidien de dimension 3, dont la structure analytique est donnée par la représentation de Weierstrass. Celle-ci peut-être utilisée pour ramener un problème sous contrainte topologico-géométrique (nombre de bouts, courbure totale finie, simple périodicité) à un problème d'analyse complexe sur une surfaces de Riemann, et j'en déduis un théorème de rigidité concernant l'escalier de Riemann. Mais les résultats les plus importants concernent le comportement des bouts minimaux plongés, de courbure totale infinie mais de type fini. On montre en effet que l'hypothèse de plongement contraint considérablement les données de de l'immersion, ce qui a pour conséquence géométrique que la surface est 0-asymptotique à l'hélicoïde. Ce résultat joue un rôle dans la preuve récente par Meeks et Rosenberg de l'unicité de l'hélicoïde comme surface proprement plongée simplement connexe.<br /><br />Dans la seconde partie, j'expose mes travaux sur le problème isopérimétrique dans les espaces plats périodiques de dimension trois. C'est un problème encore ouvert aujourd'hui, qui concerne les surfaces à courbure moyenne constante. J'ai notamment travaillé sur la conjecture sphère-cylindre-plan dans les tores de dimension 3, et démontré des inégalités pointues classifiant les cas (variétés, volumes) où la conjecture est vérifiée. Dans un autre registre, j'ai montré que les surfaces CMC possédant trop de symétries (les retournements diagonaux) ne peuvent être isopérimétriques, à l'exception des sphères bien sûr. Enfin, une étude numérique justifie que ce problème reste si difficile à résoudre.<br /><br />En troisième partie se trouvent mes travaux sur les surfaces lagrangiennes stationnaires hamiltoniennes, dans l'espace euclidien de dimension quatre, et aussi dans les espaces symétriques hermitiens. Après une introduction à ce domaine de la géométrie, on montrera que l'équation aux dérivées partielles de ce problème variationnel est associée à un système intégrable (comme dans le cas des surfaces CMC), avec différentes applications, telles la construction de tores de type fini, ou par potentiel suivant la méthode DPW (via les groupe de lacets). Cette approche est raffinée dans le cas euclidien où une représentation spinorielle permet de décrire explicitement les tores stationnaires hamiltoniens, résolvant même les problèmes de périodes. Enfin une généralisation aux dimensions supérieures est esquissée.

Nous nous intéressons au problème d'échantillonnage pour les espaces de fonctions analytiques dans le disque unité $\DD\subset\CC$, à poids radial. Nous considérons l'espace de Banach <br />$$A_h(\DD)=\{f \text{ holomorphes sur } \DD : \|f\|_h=\sup_{z\in\DD}|f(z)|e^{-h(|z|)}<+\infty\},$$<br />où le poids $h$ est de classe $C^2$ et $h(r)\to+\infty$ quand $r\to1-$. <br /><br />Le premier chapitre est consacré au cas des poids à croissance lente. Nous montrons que la stabilité de Möbius de l'échantillonnage n'est pas vérifiée dans $A_h(\DD)$.<br /><br />Les deux chapitres suivants sont consacrés au cas des poids à croissance rapide. Nous caractérisons les suites d'échantillonnage pour $A_h(\DD)$ en terme de densité.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la possibilité de paramétrer<br />toutes les solutions d´un système de contrôle ou système sous-déterminé par des formules dépendant de fonctions arbitraires du temps et de leurs dérivées jusqu´à un certain ordre. Après avoir lié cette problématique à la problématique plus connue en contrôle de la recherche de sorties plates, nous nous sommes intéressés a deux points de vue.<br />Le premier point de vue est une étude en petites dimensions qui nous amène à des conditions nécessaires et suffisantes pour paramétrer un système de contrôle en termes d´intégrabilité d´un système d´équation aux dérivees partielles simple´´.<br />Pour le deuxième point de vue nous considérons des dimensions quelconques et nous<br />présentons un outil pour l´étude des sorties plates et des conditions<br />nécessaires qu´elles vérifient. Un premier résultat est l´integrabilité très<br />formelle´´, notion qui est définie au préalable, des équations vérifiées par<br />ces sorties plates.

Mes recherches au Commissariat à l'Énergie Atomique concernent principalement la modélisa- <br />tion mathématique et la simulation numérique pour la physique des plasmas. Ce mémoire présente <br />mes contributions dans ce domaine.