On analyse des problèmes de completude géodésique par rapport aux metriques méromorphes sur variétés complexes. Les métriques sont des formes symmetriques doublement covariantes et les géodésiques sont immersions de surfaces de Riemann dans le variétes.

Ce travail est motive par l'etude des equations paraboliques et en particulier de leur regularite \(L_(p)\). On est amene a considerer des operateurs integraux dont le noyau est une fonction a valeur dans un espace d'opérateurs agissant sur un espace de Banach. Les questions concernent alors le caractre borne de tels operateurs integraux et l'application de tels resultats a l'etude des equations d'evolution. Plus particulierement on s'interesse au role de la geometrie de l'espace de Banach sous-jacent dans ce type de resultats. Ce travail est une etude de differents problemes abstraits, en temps discret et continu, ou la regularite est liee au caractere R-borne de certains ensembles d'operateurs lineaires agissant sur un espace de Banach UMD (regularite \(L_(p)\) pour \(1

Soit p un nombre premier et G un groupe classique de type B, C ou D defini sur la cloture algebrique K du corps a p elements (si G est de type B ou D, p est impair). A l'aide de paires duales de groupes et de modules basculants, on trouve le caractere de certaines representations rationnelles irreductibles de G sur K. On obtient tout d'abord des formules en termes de tableaux semi-standards, non couvertes par la conjecture de Lusztig. Puis on determine la dimension et/ou le caractere des representations irreductibles de plus haut poids un poids fondamental, ou une somme de deux poids fondamentaux, suivant G. On en deduit notamment le comportement asymptotique de leur dimension, a p fixe, quand le rang du groupe tend vers l'infini. On dresse enfin la liste des modules de Weyl simples de plus haut poids un poids fondamental quand G est un groupe symplectique, ou de plus haut poids la somme d'un poids fondamental et du plus haut poids de la representation spin quand G est un groupe spin.

Les méthodes intégrales pour résoudre des EDP, et en particulier le système de Maxwell, sont bien connues depuis environ vingt ans. Après discrétisation par éléments finis, un système linéaire plein apparaît, ce qui rend toute implémentation numérique difficile voire impossible. Pour les opérateurs d'ordre positif, quelques travaux ont été menés avec succès pour rendre creuse la matrice du système discret. Quelques difficultés restaient pour le problème de Maxwell: espace(s) d'énergie, présence d'un opérateur d'ordre négatif, et donc choix des ondelettes pour la résolution. Dans cette thèse, je donne une méthode pour ramener le système de Maxwell, issu d'un problème de diffraction en régime harmonique, à une étude sur des espaces de Sobolev classiques définis sur une surface, en utilisant des décompositions de Hodge. Je donne aussi une méthode de compression pourvu que les ondelettes vérifient certaines conditions (moments nuls, stabilité). La méthode de compression donnée fonctionne même avec des ondelettes formées à partir de polynômes de degré un, malgré la présence d'un opérateur d'ordre négatif, sans perturber des taux de convergence optimaux. L'analyse a été faite sur une surface fermée (sans bord) régulière simplement connexe, puis sur une partie à bord polygonal d'une telle surface (plaque ouverte). Les espaces fonctionnels et la compression de matrice, bien plus compliqués dans ce dernier cas, ont été étudiés en détail.

Nous generalisons la definition de la K-theorie hermitienne des anneaux avec involution aux categories exactes avec dualite. Ensuite nous demontrons des theoremes de localisation et de devissage pour les anneaux de Dedekind, ce qui resolut une conjecture de Karoubi de 1974. Enfin nous etudions la K-theorie hermitienne des corps de nombres.

Le thème principal de cette thèse est l'étude des processus de Fragmentation et de Coalescence dit homogènes. Le premier chapitre se concentre sur les propriétés des fragmentations de masses, en particulier on établit une correspondance utile entre les fragmentations de masses et les fragmentations de partitions. La deuxième partie se concentre sur les fragmentations d'intervalles. On s'intéresse particulièrement aux ensembles de points ayant une vitesse de fragmentation anormale et on calcule explicitement la dimension de Hausdorff de tels ensembles. Enfin, dans le dernier tiers on définit et on étudie les processus de fragmentation-coalescence homogènes qui décrivent l'évolution de systèmes de particules dans lesquels le phénomènes de coalescences et de fragmentations sont présent simultanément. On montre que la condition d'homogénéité est suffisante pour assurer l'existence d'une mesure d'équilibre que l'on étudie.

Ce travail porte sur la théorie des représentations des algèbres quasi-héréditaires, qui ont été introduites par Cline, Parshall et Scott en 1988. Un exemple important est l'algèbre de Schur classique, qui a son origine dans la théorie des représentations polynômiales de $\mbox(GL)_n$, ou plus généralement la $q$-algèbre de Schur introduite par Dipper et James en 1989. Le but de ce travail est d'étudier le radical quasi-héréditaire d'une telle algèbre, et d'un point de vue théorique et d'un point de vue algorithmique. Ce radical a été introduit dans un article récent de Geck, avec un appendice par Donkin.\\ Le chapitre 1; de la thèse, contient une présentation synthétique des définitions et résultats principaux sur les algèbres quasi-héréditaires; la théorie générale est illustrée par les exemples des algèbres de $q$-Schur. Dans le chapitre 2, nous développons des méthodes explicites pour étudier en détail les représentations de l'algèbre de Schur $S(2,r)$. En particulier, nous avons des programmes en GAP pour calculer les modules de Weyl et le radical quasi-héréditaire, entre la ``conjecture de James'' concernant les représentations modulaires des $q$-algèbres de Schur et la théorie des cellules de Kazhdan-Lusztig. C'est le sujet du chapitre 3. FUn résultat de ce type se trouve déjà dans l'article de Geck mentionné ci-dessus, mais la démonstration utilise une certaine identité qui est fausse. Le fait que cette identité est fausse a été découvert gra\^(c)ce à nos calculs explicits dans l'exemple $S(2,r)$.\\

Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs. Quatre résultats sont démontrés : - Soit $a$ un nombre rationnel, $\vert a \vert <1$. Le Q-espace vectoriel engendré par $1, Li_1(a), Li_2(a),...$ est de dimension infinie. - Le Q-espace vectoriel engendré par $1, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7),...$ est de dimension infinie. - Il existe un entier impair $j$, $5\le j \le 169$ tel que $1, \zeta(3), \zeta(j)$ sont linéairement indépendants sur Q. - Au moins un des neuf nombres $\zeta(5), \zeta(7),..., \zeta(21)$ est irrationnel.

Cette thèse se décompose en trois parties. Dans la première, nous proposons une formule explicite en termes de comptage de chemins sur un graphe de Cayley, pour le calcul de tous les moments de la mesure de Haar sur le groupe unitaire. Ce résultat fournit un théorème général de liberté asymptotique pour des matrices aléatoires, ainsi que des résultats de convergence d'intégrales matricielles unitaires. En particulier, nous donnons une interprétation combinatoire de la limite de l'intégrale d'Itzykson-Zuber, ainsi qu'un lien avec la $R$-transformée de Voiculescu. Dans une deuxième partie, complètement différente, nous définissons un cadre en probabilités non-commutatives dans lequel nous prouvons que la théorie de Martin s'étend et qu'elle permet une représentation intégrale de toute fonction harmonique positive. Comme application de ces résultats purement quantiques, nous calculons les frontières de Martin de certaines marches au hasard classiques dans une chambre de Weyl. L'exemple d'une marche au hasard sur $SU_q(2)$ est aussi traité de manière exhaustive. Dans la troisième partie, nous proposons une approche analytique des asymptotiques de la mesure de Haar sur un groupe compact. Nous calculons l'image de la mesure de Haar du groupe unitaire par contraction par un projecteur. Ceci nous permet de retrouver et d'interpréter de manière combinatoire certaines asymptotiques obtenues dans la première partie. Par ailleurs, nous établissons que le carré la partie radiale d'une contraction d'une matrice unitaire aléatoire est un ensemble de Jacobi. Une méthode de polynômes orthogonaux permet alors de renforcer des résultats de convergence asymptotiques prédits par les probabilités libres, et d'établir des propriétés d'universalité des valeurs propres.

Le micromagnétisme est l'étude de la magnétisation spontanée dans les matériaux ferromagnétiques. Cette magnétisation, de norme constante, est soumise à une énergie libre. Nous étudions les configurations limites admissibles de la magnétisation dans certains régimes asymptotiques. Les premiers résultats présentés concernent la structure géométrique des parois des configurations limites d'un modèle micromagnétique en deux dimensions. La similarité entre le problème micromagnétique et les lois de conservation scalaires nous permet d'obtenir, par la meme méthode, un résultat sur la structure des ondes de choc de certaines solutions d'une loi de conservation scalaire en une dimension d'espace. Enfin, nous donnons une formulation cinétique du problème mathématique lié à un modèle micromagnétique en trois dimensions et nous terminons par un résultat de régularisation pour les moyennes en vitesse des solutions d'une équation cinétique linéaire.