Les fonctions - hypergéométriques sont des fonctions spéciales associées à un système de racines. Elles donnent en même temps une généralisation des fonctions hypergéométriques de Gauss (et plus spécifiquement des fonctions de Jacobi) et des fonctions sphériques sur les espaces symétriques riemanniens et pseudo-riemanniens causaux. Dans cette thèse, on étudie l’analyse harmonique L² pour la transformation - hypergéométrique. Le théorème principal détermine (sous certaines hypothèses sur le système de racines et leur multiplicités) l’image, par cette transformation, des fonctions qui sont de classe L² par rapport à la mesure canonique (a) = où est la multiplicité de la racine positive α. Ce théorème généralise à la situation considérée le théorème classique qui caractérise l’image des fonctions L² sur la demi-droite réelle, par la transformation de Laplace, comme espace de Hardy. Quelques théorèmes de développement en séries de fonctions spéciales sont obtenus en tant qu’applications du théorème principal / The hypergeometric functions are special functions associated with root systems. They provide a generalization either of Gauss' hypergeometric function (and more precisely of the Jacobi functions) or of the spherical functions on Riemannian symmetric spaces and pseudo-Riemannian noncompacty causal symmetric spaces. In this thesis, we study the L²-harmonic analysis for the so-called -hypergeometric transform. Our main theorem characterizes (under certain hypothesis on the root systems and their multiplicities) the image, under this transform, of the functions which are of class L² with respect to the canonical measure (a) = , Here denotes the multiplicity of the positive root α. This theorem generalizes to the above mentioned setting, the classical theorem characterizing as a Hardy space the image of the L²-functions on the positive real half-line under the Laplace transform. Some theorems dealing with series decompositions with resoect to special functions are obtained as application of our main theorem

La première partie de la thèse porte sur l’étude de familles lisses d’opérateurs d’entrelacement entre deux réalisations différentes de représentations unitaires irréductibles et leur effet sur la théorie du rétracte. La deuxième partie de la thèse consiste à fournir certains résultats sur la théorie du rétracte sous à l’action de K, un sous-groupe de Lie compact du groupe des automorphismes de N où N est un groupe de Lie nilpotent connexe, simplement connexe, (construction générale d’un rétracte pour la réalisation des représentations obtenue par induction à partir de polarisations de Vergne dans le cas générique, application à la construction d’un rétracte pour d’autres choix de polarisations). On y utilise la théorie développée dans la première partie. Dans une troisième partie on caractérise les idéaux K-premiers de l’algèbre de Schwartz. Le passage aux idéaux K- premiers de l’algèbre de groupe L1(N) est alors réalisé via la théorie du rétracte développée dans la deuxième partie, au moins dans le cas générique et dans le cas des formes linéaires définissant les caractères. Dans une quatrième partie de la thèse, on étudie l’action de SO(4) sur F(4), groupe de Lie libre nilpotent de pas 2 à 4 générateurs, en s’intéressant particulièrement aux strates non génériques (théorème de Fourier inverse, idéaux K-premiers) / The first part of this thesis is devoted to the study of the existence of a smooth family of intertwining operators between two different families of equivalent representations and their effect on the retract theory. The second issue of this thesis is the retract theory. Let K be a compact Lie subgroup of Aut(N), acting smoothly on N. Then we construct a retract for the induced representations obtained by Vergne polarizations in the generic case and we transpose it to other choices of polarizations. We use the theory developed in the first part. In the third part, we characterize K-prime ideals of the Schwartz algebra. The passage to the K-prime ideals of the group algebra is then realized via the retract theory developed in the second part and the density property of the schwartz functions, at least in the generic case and in the character case. Finally, we study the action of SO(4) on F(4), specially the non genric case where F(4) denotes the free nilpotent Lie group of step 2 with 4 generators. We prove the fourier inversion theorem in the non genric case and we characterize all the K-prime ideals

Thèse de doctorat : Mathématiques : Mathématiques fondamentales : Metz : 2007. / Thèse soutenue sur ensemble de travaux. Bibliogr. p. 107-110.

Ce travail est motive par l'etude des equations paraboliques et en particulier de leur regularite \(L_(p)\). On est amene a considerer des operateurs integraux dont le noyau est une fonction a valeur dans un espace d'opérateurs agissant sur un espace de Banach. Les questions concernent alors le caractre borne de tels operateurs integraux et l'application de tels resultats a l'etude des equations d'evolution. Plus particulierement on s'interesse au role de la geometrie de l'espace de Banach sous-jacent dans ce type de resultats. Ce travail est une etude de differents problemes abstraits, en temps discret et continu, ou la regularite est liee au caractere R-borne de certains ensembles d'operateurs lineaires agissant sur un espace de Banach UMD (regularite \(L_(p)\) pour \(1

Diss.--Tübingen, 2003. / Sources et bibliogr. p. 329-346. Index.

Thèse doctorat : Mathématiques : Metz : 2000. / Thèse soutenue sur ensemble de travaux. Bibliogr. Index.

Thesis--University of Illinois. / The thesis includes the score of the author's composition "Seven sonnets to Orpheus, for tenor, chorus, and orchestra" (58 L. 44 cm.) with special t.p. Vita. eContent provider-neutral record in process. Description based on print version record. Includes bibliographical references.

Thesis--University of Illinois. / The thesis includes the score of the author's composition "Seven sonnets to Orpheus, for tenor, chorus, and orchestra" (58 L. 44 cm.) with special t.p. Vita. Includes bibliographical references.

Si G est un groupe de Lie connexe, l'anneau de représentations de Kasparov, KK^G(C,C) contient un élément particulièrement important---l'élément gamma---qui établit un lien entre l'anneau de représentations de Kasparov de G et l'anneau de représentations de son sous-groupe compacte maximal K. Dans les preuves de la conjecture de Baum-Connes avec coefficients pour les groupes G=SO(n,1) [Kasparov] et G=SU(n,1) [Julg-Kasparov], une partie fondamentale est la construction explicite de l'élément gamma comme élément de la K-homologie G-équivariante pour l'espace G/B, où B est le sous-groupe de Borel de G. Dans cette thèse, nous décrirons des constructions analytique qui peuvent être utiles pour telle construction de gamma pour le groupe de Lie de rang deux G=SL(3,C). L'inspiration est le complexe de Bernstein-Gel'fand-Gel'fand---un complexe différentiel naturel de fibrés homogènes sur G/B. Les raisons de considérer ce complexe sont expliquées en détails. Pour G=SL(3,C), l'espace G/B admet deux fibrations canoniques, qui réapparaît souvent dans l'analyse suivante. La géométrie locale de G/B se comporte comme la géométrie du groupe de Heisenberg en dimension trois, noté H. Donc, nous étudions l'algèbre d'opérateurs différentiels sur H. Nous définissons une famille à deux paramètres d'espaces de Sobolev H^(m,n)(H), en utilisant les deux fibrations de G/B. Nous introduisons les opérateurs laplaciens longitudinaux $\Delta_X$ et $\Delta_Y$. Nous montrons que ces opérateurs satisfont une condition d'ellipticité longitudinal par rapport aux espaces H^(m,n)(H) pour quelques valeurs (m,n), mais par contre nous donnons un contre-exemple à cette propriété pour un autre choix de (m,n). Ce contre-exemple est un obstacle de taille pour une approche pseudodifférentielle à l'element gamma de SL(3,C). Au lieu de cela, nous considérons l'analyse harmonique du sous-groupe compacte K=SU(3). En utilisant la théorie spectrale des opérateurs laplaciens longitudinaux K-invariants sur G/B, nous construisons une C*-catégorie $\mathcal{A}$ et des idéaux $\mathcal{K}_X$ et $\mathcal{K}_Y$ liés aux fibrations canoniques. Nous expliquons pourquoi celles-là sont les structures prometteuses pour la construction de l'élément gamma.

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