Beaucoup de phénomènes physiques sont décrits ou modélisés par des ondes (ondes acoustiques, électromagnétiques, sismiques, ou quantiques,...). C'est donc un problème général que de pouvoir décrire l'évolution d'une onde dans un environnement donné. Une question très reliée est de décrire les ondes stationnaires et leurs niveaux d'énergie. Dans ce travail l'expérimentation numérique joue un rôle important.<br /><br />Chaos quantique: <br /><br />Lorsque l'onde est piégée dans une cavité (ex: onde quantique d'un atome dans une molécule) son comportement peut être très complexe à cause de phénomènes de dispersion et d'interférences. En particulier dans une cavité chaotique (où les trajectoires sont toutes instables) l'onde va se disperser très vite et de nombreux phénomènes d'interférences, parfois surprenant, vont survenir. Par exemple dans certains modèles très particuliers (“ l'application du Chat d'Arnold ”), on a observé qu'un paquet d'onde se reforme parfaitement après un temps très court, alors qu'un nuage de particules se distribuerait de façon uniforme. Ces phénomènes d'interférences sont mal compris en général. Un des projets de recherche est de montrer que ce phénomène surprenant, et potentiellement riche en applications, pourrait être présent dans beaucoup de modèles de “ chaos quantique ”. Comme conséquence, nous avons démontré l'existence surprenante d'ondes stationnaires localisées sur des orbites périodiques instables (“ scars ”), dans le “ modèle du chat d'Arnold ” quantique. Un des résultat principaux est la construction du seul contre-exemple connu à la conjecture d'unique ergodicité quantique (de Rudnik-Sarnak 1994) qui affirme que pour les dynamiques uniformément hyperboliques toutes les ondes stationnaires deviennent équi-distribuées dans la limite des petites longueurs d'ondes. Une telle propriété a des répercussions en physique mésoscopique pour la conductivité des ondes électroniques, mais aussi en théorie des nombres en mathématiques.<br /><br />Phénomènes topologiques en physique moléculaire:<br /><br />Dans une autre série de travaux, nous avons mis en évidence un phénomène topologique assez surprenant que l'on observe très bien dans le spectre d'énergie des petites molécules. Malgré leur petitesse, ces molécules forment des systèmes très complexes car composées d'électrons et de noyaux en interactions, décrits par la mécanique quantique. Nous avons montré qu'une compréhension qualitative des propriétés de la molécule (c.a.d. donnant les grandes structures du spectre) peut être obtenue grâce à une description topologique des interactions entre les constituants. Autrement dit, en interagissant, les différents constituants de la molécule sont comme noués, et forment un objet géométrique (“ un espace fibré ”) dont la forme se manifeste directement dans le spectre d'énergie. En termes techniques, nous utilisons une théorie mathématique élaborée (le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer qui jette un pont entre la topologie et l'analyse), et il est remarquable que cette théorie ait une application directe et non évidente en physique moléculaire. Sans elle, il n'est pas possible d'aborder les spectres complexes de ces molécules. Un projet est d'explorer plus avant les applications de cette approche dans d'autre domaines de la physique quantique des particules en interactions, comme la théorie quantique des champs en régime “ non perturbatif ”.<br /><br />Systèmes dynamiques hors équilibre. Étude du chaos classique et des résonances de Ruelle.<br /><br />Dans les lois d'évolution déterministes, le chaos provient de la “ sensibilité aux conditions initiales ”: si les trajectoires issues de deux conditions initiales très voisines divergent l'une de l'autre dans le futur ou le passé (on parle de système hyperbolique), cela implique un comportement compliqué et imprévisible. Un nuage de point va se répandre et s'équidistribuer selon une mesure invariante appelée “ mesure d'équilibre ”. Avec cette idée, dans les années 70', D. Ruelle a montré que l'étude de l'évolution des densités de probabilité est régit par un opérateur, appelé “ opérateur de transfert ”, qui possède un spectre discret, appelé “ résonances de Ruelle ”. Ce spectre décrit le régime transitoire (irréversible) de transition vers l'équilibre ainsi que la mesure d'équilibre finale. Dans des travaux récents nous avons montré que ce spectre peut se comprendre et s'étudier comme un spectre de “ résonances quantiques ”: Une résonance quantique en physique atomique est un état méta-stable qui peut fuir vers l'infini, hors de l'atome après un certain temps. Par analogie, pour les systèmes chaotiques, une résonance de Ruelle est une distribution qui fuit vers l'infiniment petit (ou grands modes de Fourier). Cette nouvelle approche nous permet d'obtenir des résultats nouveaux sur la description du spectre, comme l'existence de gaps ou sur la densité de résonances.

La théorie des grandes déviations traite des comportements asymptotiques d'évènements rares. C'est le langage moderne de la physique statistique d'équilibre, qui semble offrir un cadre naturel pour une extension hors équilibre. Nous présentons dans cette thèse plusieurs applications, analytiques et numériques, de cette théorie dans différents contextes. D'abord, nous montrons comment localiser numériquement des trajectoires de chaoticité atypique de systèmes dynamiques complexes. Nous étendons ensuite l'algorithme présenté à une classe de systèmes et d'observables plus large. La deuxième partie de cette thèse montre sur un exemple comment le calcul de fonctions de grandes déviations d'un système hors équilibre peut parfois être ramené à un calcul d'équilibre. La dernière partie traite des chemins de réactions en chimie et de leur détermination numérique. Le formalisme introduit repose sur la supersymétrie de l'équation de Fokker-Planck et redonne naturellement la théorie de Morse.

Le Modèle Standard de la physique des particules décrit les interactions entre les constituants élémentaires de la matière. Cependant, il ne parvient pas à concilier théorie quantique des champs et relativité générale. Cette thèse se focalise sur deux approches au-delà du Modèle Standard, a priori différentes mais non nécessairement<br />incompatibles entre elles : les théories des champs topologiques et la mécanique quantique en espace non-commutatif.<br />Les théories topologiques ont été introduites par Witten il y a une vingtaine d'années et possèdent un lien très étroit avec les mathématiques : leurs observables<br />sont des invariants topologiques de la variété d'espace-temps étudiée. Dans ce mémoire, nous nous intéressons en premier lieu à une théorie de Yang-Mills topologique. Ce modèle-jouet est ici abordé dans<br />un formalisme de superespace et nous dégageons une méthode systématique de détermination de ses observables. L'intérêt est double : d'une part,<br />retrouver les résultats obtenus précédemment dans une jauge particulière (de Wess et Zumino) et d'autre part, calculer les observables dans une superjauge quelconque. Notre approche a ainsi permis de vérifier que les observables découvertes jusque là en théorie de<br />Yang-Mills topologique étaient les seules possibles. Le formalisme développé peut ensuite être appliqué à des<br />modèles plus complexes; dans cette optique, nous détaillons ici le cas de la gravité topologique.<br />La mécanique quantique en espace non-commutatif propose une extension de l'algèbre de Heisenberg<br />de la mécanique quantique ordinaire. La différence tient au fait que les différentes composantes des opérateurs position ou moment ne commutent plus entre elles. Par conséquent, il est nécessaire de renoncer à la notion de point en introduisant une «longueur fondamentale». Nous nous intéressons dans la deuxième partie de ce<br />manuscrit à la description des différentes algèbres de<br />commutateurs rencontrées. Des applications à des systèmes quantiques en dimension deux (système de Landau, oscillateur harmonique,...) ainsi qu'une généralisation au cas de systèmes supersymétriques sont présentées.

Dans le cadre de théories de la gravitation dilatonique inspirées des théories des cordes (de 4 à D dimensions d'espace-temps), nous construisons de nouvelles solutions trou noir ou branes noires non asymptotiquement plates. Pour certaines valeurs de la constante de couplage dilatonique, nous généralisons les trous noirs statiques à des trous noirs en rotation, en utilisant le groupe d'isométrie de l'espace cible. Nous calculons leurs masses et leurs moments angulaires en utilisant l'approche moderne au calcul de l'énergie en Relativité Générale, le formalisme quasilocal, et nous vérifions qu'ils satisfont à la première loi de la thermodynamique des trous noirs. Enfin, nous étudions une famille de trous noirs en Gravitation Topologiquement Massive à 2+1 dimensions.

Ce memoire s'interesse aux proprietes statistiques de systemes fortement contraints, tous intimement lies a des problemes de pliages de reseaux bidimensionnels discrets, reguliers ou aleatoires. Dans une premiere partie, on considere le pliage de reseaux bidimensionnels proprement dit: il s'agit de plier un reseau le long de ses aretes tout en conservant ses faces non-deformees. Nous etudions en detail le cas du reseau triangulaire, pour lequel plusieurs modeles de pliage sont discutes, correspondant a plusieurs ``espaces cibles". Le lien entre les pliages, les coloriages et les gaz de boucles compactes est discute. Nous etendons finalement notre description au cas du pliage de triangulations aleatoires. La deuxieme partie s'interesse aux gaz de boucles compactes, c'est a dire passant par tous les noeuds d'un reseau. Dans le cas de reseaux aleatoires, notre etude revele comment le caractere bipartite du reseau change les proprietes statistiques du systeme. Une attention particuliere est portee aux cycles hamiltoniens, correspondant au cas ou le reseau est couvert par une boucle unique, et pour lesquels un exposant de configuration irrationnel est predit pour un probleme combinatoire apparemment anodin. Enfin, la troisieme partie s'interesse aux meandres, un probleme combinatoire apparemment simple (compter les configurations d'un circuit traversant une riviere en un nombre donne de ponts) mais qui resiste encore aujourd'hui. Apres avoir donne un quelques resultats exacts pour des variantes du probleme, nous etudions les proprietes asymptotiques (a grand nombre de ponts) des meandres. Leur formulation comme gaz de boucles compactes sur des graphes aleatoires permet de predire des exposants de configuration irrationnels qui sont testes numeriquement. Le lien entre meandres et pliages de quadrangulations aleatoires est egalement etabli.

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Ce mémoire présente divers aspects de la physique des dimensions supplémentaires et leurs liens avec la supersymétrie. L'accent a été mis sur la brisure de supersymétrie dans les modèles de branes et le rôle que les configurations non-BPS jouent dans ce contexte. Après un rappel sur les constructions de branes issues de la théorie des cordes, une courte introduction à la théorie de Horava-Witten est donnée sous l'angle des membranes ouvertes. Une présentation des branes non-BPS en supergravité à dix dimensions est ensuite effectuée. Dans ces deux cas les dimensions supplémentaires ne sont pas compactifiées. La seconde partie de ce mémoire traite des modèles à cinq dimensions. Une étude des branes non-BPS dans le modèle de Randall-Sundrum met en exergue deux types de configurations non-supersymétriques, les branes non-parallèles et le cas où la chiralité des fermions est différentes sur les bords de l'espace-temps. Dans le cadre de la théorie de Horava-Witten à cinq dimensions on considère le cas où l'une des branes est de tension violant la borne BPS, conduisant à des configurations non-statiques. Enfin on consacre une partie à la supersymétrie singulière où des champs scalaires vivent entre les branes. Là aussi nous présentons des configurations non-BPS qui sont dépendantes du temps. Ceci nous conduit à une brève étude de la cosmologie branaire avec champs scalaires.

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Les modèles de matrices aléatoires, d'abord introduits en physique pour décrire les statistiques de niveaux d'énergie en physique nucléaire, ont par la suite trouvé des applications dans des domaines extrêmement variés, du chaos quantique et de la physique mésoscopique, à la chromodynamique quantique, la théorie des cordes et la gravité quantique via les modèles de surfaces aléatoires. Bien que certains modèles de matrices soient bien compris, il s'agit principalement des cas particuliers de matrices couplées en chaîne, correspondant à des théories de gravité quantique ou des théories des cordes de charge centrale conforme inférieure ou égale à un. Ainsi, tout un pan des modèles de matrices aléatoires, les modèles de matrices de charge centrale c>1, nous échappe. J'ai cherché, au cours de mon travail de thèse, à mieux comprendre et à résoudre ces modèles. La méthode de groupe de renormalisation nous a permis, par l'étude de l'évolution des flots en fonction de la charge centrale conforme, de mieux comprendre le lien entre celle-ci et le comportement des modèles de matrices [G. Bonnet, F. David, Nucl. Phys. B552 (1999) 511-528, hep-th/9811216]. Par la méthode des équations de boucles, nous avons résolu [G. Bonnet, Phys. Lett. B 459 (1999) 575, hep-th/9904058; B. Eynard, G. Bonnet Phys. Lett. B 453 (1999) 273, hep-th/9906130] des modèles de matrices couplées deux à deux : les modèles de Potts-q sur réseau aléatoire. Cette résolution ouvre la voie à celle d'une classe de modèles plus vaste que les simples modèles de matrices couplées en chaîne. Enfin, bien que dans notre étude nous nous soyons intéressés principalement à la limite planaire, où la taille N des matrices tend vers l'infini, nous avons aussi étudié l'effet, sous-dominant dans la fonction de partition du modèle, de la discrétisation des valeurs propres. Nous avons montré [G. Bonnet, F. David, B. Eynard, cond-mat/0003324] que, dans le cas d'un modèle où le support des valeurs propres est non-connexe, il n'y a pas de développement topologique en puissances de N. L'influence de la discrétisation des valeurs propres devient alors d'ordre dominant dans les fonctions de corrélation à deux points ou au-delà. Nous allons commencer ici par la signification physique des modèles de matrices, puis nous parlerons des techniques classiques de résolution, enfin, nous décrirons les résultats que nous avons obtenus au cours de cette thèse.

Cette thèse est consacrée à l'étude numérique de systèmes quantiques non-relativistes à trois et quatre particules. Les équations de Faddeev-Yakubovski ont été modifiées pour pouvoir inclure les interactions à longue portée et ont été appliquées à l'étude des nombreux systèmes physiques. Des résultats originaux ont été obtenus pour les systèmes nucléaires et moléculaires : - Dans le cadre de la physique moléculaire, la diffusion des particules chargées sur les atomes d'hydrogène a été étudiée. Les longueurs de diffusion pour les systèmes $[pi^(+)$-H, $\mu^(+)$-H et p$^+$-H ont été prédites. L'existence d'un nouvel état, très faiblement lié de l'ion moléculaire H$^(+)_(2)$ a été prédit. - Suite à l'annonce d'une possible mise en évidence expérimentale du tetraneutron (état lié à 4 neutrons) au GANIL, nous avons étudié la compatibilité d'une telle existence avec nos connaissances des forces neutron-neutron. - La diffusion des systèmes à 4 nucléons (n-3H, p-3H et p-3He) à basse énergie a été examinée. Les résultats sont comparés aux résultats expérimentaux. La validité des potentiels nucléon- nucléon a ainsi été remise en cause. MOTS-CLES: Few-body, quatre corps, diffusion, diffusion Coulombienne, états liés, états de resonance, tetraneutron, ion moléculaire d'hydrogène