Le sujet de cette thèse est l'établissement d'une nouvelle solution de l'équation de Yang-Baxter. Cette équation est présente dans de très nombreux domaines de la physique théorique (systèmes intégrables, mécanique statistique, QISM,...) ou des mathématiques (théorie des nœuds, groupes quantiques,...), mais l'étude de ses solutions est difficile (équations non-linéaires, variables non-commutatives, etc.). Une solution de l'équation de Yang-Baxter est aussi appelée tressage.<br /><br />Dans une première partie, nous présentons des résultats généraux sur le groupe des tresses et son algèbre de groupe. Nous nous intéressons ensuite aux analogues tressés que l'on peut considérer comme des analogues non-commutatifs de q-analogues. Nous présentons entre autres des analogues pour les coefficients binomiaux, les symboles de Pochhammer et les nombres de Fuß-Catalan, ainsi que pour le développent binomial et la convolution de Vandermonde. Ces deux premiers chapitres contiennent des résultats plus ou moins standards et forment l'assise des résultats qui suivent. La définition des nombres de Fuß-Catalan est toutefois originale.<br /><br />Dans une seconde partie, nous abordons les tressages d'espaces de tenseurs. Nous commençons par présenter les équations qui doivent être satisfaites par un tel objet et nous donnons une solution dont nous montrons l'unicité. Dans un dernier chapitre, nous plaçons ce tressage dans un contexte plus général et nous présentons les tressages dits « zébrés » qui prennent en compte une éventuelle cyclicité dans l'ordre des tenseurs sur lesquels ils se projettent. Le contenu de ces deux derniers chapitres est original. Nous fournissons ainsi une nouvelle solution de l'équation de Yang-Baxter et explorons ses propriétés.

Cette thèse est consacrée à l'étude d'applications de la théorie des cordes dans deux domaines de la physique fondamentale : la physique des particules et la cosmologie. Le principe unificateur de nos deux travaux est l'utilisation en théorie des cordes du mécanisme, initialement introduit en théorie des champs, de brisure spontanée de (super)symétrie.<br /><br />Nous commençons par une présentation générale de la théorie des cordes, principalement focalisée sur les concepts que nous manierons.<br />Nous introduisons ensuite notre premier travail, dans lequel nous exhibons une dualité de l'espace des vides des théories de supercordes hétérotiques N=1, qui relie les représentations spinorielles et vectorielles du groupe de grande unification. <br />Dans un second travail, nous nous intéressons cette fois à la modélisation par la théorie des supercordes d'une évolution cosmologique à température non nulle et en présence d'une échelle de brisure de supersymétrie. Nous donnons également des arguments pour une stabilisation des divers modules de compactification.

Au cours de cette thèse, nous avons étudié deux problèmes spécifiques de chaos quantique. D'abord, nous avons confirmé le modèle de percolation critique pour décrire statistiquement les lignes nodales des fonctions d'onde de systèmes classiquement chaotiques. Dans ce but, les lignes ont été décrites à l'aide d'un processus de Schramm-Loewner et notre étude numérique concorde avec le récent théorème liant ce processus et la percolation au seuil critique. Dans une seconde partie nous avons généralisé les résultats connus en chaos quantique sur les billards fermés aux cavités diélectriques ouvertes. Nous avons donné des formules générales pour une légère pertubation d'une cavité circulaire et proposé une généralisation de formule de trace pour ces systèmes. En particulier nous donnons les premiers termes de la série de Weyl pour compter le nombre de résonances d'une cavité diélectrique. Ces résultats sont en accord avec les mesures expérimentales et nos calculs numériques. Ces deux études montrent le caractère fondamental et transversal des techniques du chaos quantique pour les problèmes actuels.

Cette thèse est divisée en deux parties. La première est consacrée à l'étude des angles de mélange des fermions en Théorie Quantique des Champs (TQC). Nous montrons que, du fait de la non-orthonormalité de ses états propres de masse, la matrice de mélange d'un système non-dégénéré de fermions couplés ne peut pas être considérée comme unitaire ; puis, dans le cadre du Modèle Standard, que les angles de mélange des quarks et des leptons se révèlent compatibles avec une structure précise des courants neutres, où universalité et absence des courants changeant la saveur sont violées avec la même amplitude. Puis nous retrouvons de manière perturbative la non-unitarité de la matrice de mélange par l'annulation des transitions non-diagonales à une boucle entre états propres de masse. Nous étudions enfin les transformations de saveur pertinentes dans cette démarche, et esquissons un lien entre les courants neutres et la matrice de masse considérée habituellement pour des systèmes couplés. La deuxième partie présente les premiers résultats d'une étude générale des contraintes apportées en TQC par les symétries discrètes (parité P, conjugaison de charge C et renversement du temps T) sur le Lagrangien et le propagateur fermioniques. Nous montrons, dans le cas d'une génération, que ces derniers, écrits de la manière la plus générale compatible avec l'invariance de Lorentz, sont naturellement invariants sous le produit PCT, puis que les états propres d'un propagateur invariant sous C sont des fermions de Majorana.

Cette thèse présente plusieurs résultats nouveaux pour les modèles de mousses de spin pour la gravité quantique en 3 dimensions. A partir des modèles de Ponzano-Regge et Turaev-Viro, nous montrons qu'il est possible de réaliser une fixation de jauge de la symétrie par difféomorphisme. Nous introduisons dans ces modèles des particules ponctuelles pour réaliser ainsi un couplage de ces modèles de gravité quantique à de la matière. Nous présentons un nouveau résultat mathématique sur les liens entre l'invariant de Ponzano-Regge et un invariant de Chern-Simons construit à partir du groupe quantique obtenu comme le double de SU(2). Nous étudions les asymptotiques de symboles 6j et 10j qui correspondent à la limite semi-classique des modèles de mousse de spin en 3 et 4 dimensions. Enfin nous montrons qu'il est possible dans un cas particulier de réaliser une somme non-perturbative sur les topologies des amplitudes de gravité quantique dans un modèle de théorie des champs sur un groupe.

Ce mémoire présente plusieurs résultats d'analyse spectrale, qui s'appuient pour la plupart sur le principe variationnel du min-max. L'objectif principal est d'établir une formule de type Weyl pour certains opérateurs de Schrôdinger . Cette formule, emblématique de l'analyse semi-classique , établit une correspondance entre la fonction de comptage du spectre et le volume dans l'espace des phases des trajectoires du système classique sous-jacent. Les cas considérés concernent des opérateurs pour lesquels ce volume est infini, de sorte qu'il est nécessaire de trouver une alternative à cette formule. Il est fait également mention d'un problème classique de bouteille magnétique , qui est à la source des travaux ultérieurs.

Nous avons étudié l'influence de fluctuations de grandes échelles sur le seuil de l'instabilité dynamo. Pour cela, nous avons résolu le problème cinématique pour un champ de vitesse hélicoïdal, auquel nous avons rajouté à sa partie stationnaire, une modulation périodique dans le temps, également hélicoïdale. Pour un champ de vitesse hélicoïdal stationnaire des études précédentes ont montré que pour de grands nombres de Reynolds magnétique le champ magnétique était généré au niveau d'une surface caractérisée par une condition de résonance sur le champ de vitesse. Pour un champ de vitesse modulé, nous avons montré que pour une faible amplitude de modulation, c'est la condition de résonance portant sur la partie stationnaire qui gouverne la génération du champ magnétique. Pour une grande amplitude de modulation, c'est la condition de résonance portant sur la modulation qui contrôle la génération du champ magnétique. Dans la plupart des cas et si la condition de résonance est vérifiée pour les deux parties du champ de vitesse, on trouve que le seuil augmente en fonction de l'intensité de la modulation, puis diminue tout en restant supérieur au seuil de l'écoulement stationnaire de même géométrie. Si la condition de résonance n'est pas vérifiée pour la modulation, alors le seuil augmente drastiquement avec son intensité.<br />Cette étude suggère que l'optimisation des expériences dynamo dépend non seulement de la partie stationnaire du champ de vitesse, mais aussi de ses fluctuations de grande échelle. Si ces dernières ne sont pas optimisées alors le seuil dynamo peut augmenter drastiquement, même si celles-ci sont de faible intensité.

On étudie le contrôle de systèmes quantiques en dimension finie soumis à des champs laser externes. Après avoir examiné l'exemple concret de l'alignement d'une molécule diatomique en milieu dissipatif, on s'intéresse au problème spécifique du contrôle optimal, où l'objectif est d'amener le système d'un état initial à un certain état final tout en minimisant une fonctionnelle de coût. Le principe du maximum de Pontryagin (PMP) fournit les conditions nécessaires d'optimalité, en établissant que toute trajectoire optimale est la solution extrémale d'un problème étendu de structure Hamiltonienne. Dans ce contexte, on procède à l'analyse de deux systèmes particuliers. Le premier est un système dissipatif à 2 niveaux, dont on souhaite déterminer l'ensemble des trajectoires en temps minimum; le second est un système conservatif à 3 niveaux non complètement contrôlable, où une mesure projective permet d'assister le processus de contrôle.

La première partie présente l'analyse et le résultat de l'expérience VCS-SSA à MAMI (Mayence). Celle-ci a été réalisée avec un faisceau d'énergie 883 MeV et de polarisation longitudinale (∼80%), à un quadri-moment de transfert (Q2 =0.35 GeV2) pour mesurer l'asymétrie de spin de faisceau dans les réactions ep → epγ et ep → epπ°. L'asymétrie obtenue en électroproduction de photon (resp. pion) varie entre 0-15 % (resp. 0-2 %). Les modèles DR (Relations de Dispersion) pour la diffusion Compton virtuelle et MAID (π°) prédisent l'amplitude globale de l'asymétrie mais pas complètement sa forme. Ce désaccord s'explique peut-être par une paramétrisation imparfaite de certains multipôles de production de pion (γ(*)N → πN). La deuxième partie est dédiée à l'étude du spectre d'énergie du nucléon dans les états fondamental L = 0 et excité L = 1 dans le modèle de quarks, en utilisant le potentiel Coulombien + linéaire (CL) et une correction relativiste. Une correction hyperfine est appliquée pour séparer entre les masses des nucléons. Les masses trouvées pour le proton et le Δ(1232) sont respectivement égales à (968 MeV, 1168 MeV), et les masses des états excités (L = 1) varient entre 1564 − 1607 MeV. Enfin, le modèle CL est appliqué à un calcul approché des polarisabilités généralisées du proton.

Ce mémoire présente l'étude de configurations dépendantes du temps dans le formalisme de première quantification de la corde. Ces configurations sont exactes, c'est-à-dire qu'il est possible de trouver des solutions explicites de la théorie conforme à deux dimensions correspondante. Nous pouvons alors calculer perturbativement les amplitudes de corde et nous en servir pour comprendre l'interaction entre la géométrie dépendante du temps et la corde quantifiée. Après une présentation dans le premier chapitre de la démarche qui a mené à cette étude, le formalisme perturbatif de première quantification est exposé de manière détaillée dans un second chapitre et une partie des difficultés techniques sont résolues. Dans un troisième chapitre, nous expliquons les phénomènes physiques correspondant aux différentes configurations et nous exposons les résultats que nous avons obtenus. Enfin, un bref chapitre conclut et ouvre les perspectives de ce travail de thèse.