Cette thèse de doctorat concerne deux problèmes mathématiques issus de la mécanique quantique. On considère une particule quantique, non relativiste et sans spin, astreinte à se mouvoir sur une surface bidimensionnelle $\cal S$, plongée dans un champ magnétique homogène qui lui est perpendiculaire. Dans un premier problème, $(\cal S)=\R\times \mathbb(S)_L^1$, qui est un cylindre infini de circonférence $L$, ce qui correspond à des conditions aux bords periodiques. Dans le deuxième cas, $(\cal S)=\R^2$. En fonction du problème étudié, on ajoute un potentiel convenable. On est ainsi amené à étudier deux opérateurs de Schrödinger. Le premier opérateur analysé génère la dynamique d'une particule soumise à un potentiel aléatoire de type Anderson ainsi qu'un potentiel non aléatoire dont le but est de confiner la particule le long de l'axe du cylindre, sur une longueur $L$. Dans ce cas, on localise le spectre et on le classifie par le courant quantique porté par les fonctions propres correspondantes. On montre qu'il y a des régions spectrales où n'existent que des valeurs propres avec courant d'ordre un par rapport à $L$, et des régions spectrales où sont mélangées valeurs propres avec courant d'ordre un et valeurs propres avec courant infinitésimal par rapport à $L$. Ces resultats on un intétet physique dans le cadre de l'effect Hall entier. Le deuxième opérateur de Schrödinger étudié, correspond à la situation physique où le potentiel est donné par la somme d'un potentiel ``local'' et d'un potentiel dû à un petit champ électrique $F$ constant. Dans ce cas on montre que les états résonants induits par le champ électrique décroissent exponentiellement avec un taux donné par la partie imaginaire des valeurs propres d'un certain opérateur non auto-adjoint. On montre de plus que cette partie imaginaire possède une borne supérieure de l'ordre de $\exp(-1/F^2)$, pour $F$ tendant vers zéro. Ainsi, le temps de vie de l'état résonant en question est au moins de l'ordre de $\exp(1/F^2)$.

Pour extraire l'empreinte laissee par le passage d'une onde gravitationnelle dans le signal bruite d'un des futurs detecteurs (VIRGO/LIGO), il est necessaire de connaitre avec une grande precision la forme de cette onde. Or, les equations de la Relativite Generale (RG), qui regissent cette forme, sont d'une grande complexite et ne sont pas solubles analytiquement pour des systemes dynamiques tels que les binaires d'etoiles a neutrons. Celles ci representent pourtant les sources les plus prometteuses de rayonnement gravitationnel. On a donc recours a des methodes d'approximation. Dans cette these nous avons etudie l'approximation post-Newtonienne (developpement perturbatif en puissance de 1/c) dans le cadre de la RG. Dans un premier temps nous avons etudie cette approximation d'un point de vue general afin de demontrer un theoreme qui permet d'affirmer que, sous certaines hypotheses, le developpement post-Newtonien du champ de gravitation d'une source isolee auto-gravitante peut etre itere a tout les ordres en 1/c, ce qui n'avait jamais ete fait jusqu'a present. Nous avons montre que ce developpement se raccorde a tous les ordres a une solution exterieur, valable notamment a l'infini, et satisfaisant aux conditions d'absence de radiation rentrante. Dans un deuxieme temps, sous l'impulsion de Luc Blanchet et en collaboration avec Gilles Esposito-Farese, je me suis interesse au probleme de l'energie post-Newtonienne a l'ordre 1/c^6 d'un systeme binaire de corps compacts etendus. Nous nous interessons notamment au probleme du calcul d'un coefficient indetermine a l'ordre 3PN du a une incompletude des methodes de regularisation. Pour lever cette indetermination, nous nous sommes interesses au calcul de cette meme energie pour des corps etendus lorsque l'on tient compte de la structure interne. Nous presentons dans cette these les raisons possibles de l'indetermination, la methode et les problemes poses par l'extension finie des corps.

Cette thèse se compose de deux parties distinctes, qui ont pour objectif l'étude de l'interaction faible des quarks lourds. Elle s'inscrit dans le contexte de la détermination des paramètres fondamentaux de la matrice de mélange de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa, mais apporte également des éléments de compréhension de la structure hadronique. À propos de la violation de CP, on aborde les problèmes théoriques qui peuvent se poser lors de l'extraction des angles du Triangle d'Unitarité. Un premier aspect concerne les incertitudes hadroniques générées par les diagrammes pingouin. Dans le cas classique de la désintégration B -> pi+pi-, on propose une description exacte très simple de ces effets, à un seul paramètre, ce qui permet de les contrôler avec des hypothèses phénoménologiques. Un deuxième aspect concerne les ambiguïtés discrètes sur les angles CP et les analyses en espace des phases qui permet de les discriminer : la distribution en masses invariantes pour les désintégrations en trois mésons pseudoscalaires, et la distribution angulaire pour les désintégrations en hypéron et antihypéron. Dans la seconde partie de la thèse, on étudie les facteurs de forme qui décrivent les transitions lourd à léger, du type B -> pi(rho) l nu, B -> K* gamma et B -> K(*) l+l- ; ceux-ci sont au coeur de la détermination de |Vub| et |Vts| par exemple. En utilisant une approche de théorie effective, dérivée de QCD dans la limite de masse lourde initiale et de grande énergie du hadron final, et négligeant les corrections radiatives, on montre que trois facteurs de forme indépendants suffisent à décrire les transitions B -> P et B -> V, où P (V) désigne un méson pseudoscalaire (vecteur) léger par rapport au B. De plus, la dépendance de ces facteurs de forme vis-à-vis de la masse lourde M et de la grande énergie E est factorisable en racine(M) x z(E), et on s'attend plus précisément à un comportement en racine(M) / E^2. Ces prédictions, valables à l'ordre dominant en 1/M, 1/E et alpha_s, sont vérifiées exactement dans le cadre des règles de somme de QCD sur le cône de lumière, ainsi que dans une certaine classe de modèles covariants de quarks constituants, construits selon la prescription de Bakamjian-Thomas.

Nous étudions certains aspects de la physique des fermions en deux dimensions, pertinente pour les conducteurs organiques quasi unidimensionnels et les supraconducteurs à haute température critique. En particulier, nous nous intéressons au calcul de la surface de Fermi de systèmes électroniques en interaction, qui est une des informations cruciales du point de vue des propriétés de basse énergie de ces systèmes. Nous commençons par donner une interprétation énergétique, sur un toy model, de la déformation de la surface de Fermi due aux interactions entre électrons, en insistant sur la nécessité d'une méthode auto-cohérente. Puis nous expliquons comment faire le même calcul dans un cadre de théorie des champs, et comment améliorer les résultats grâce à un groupe de renormalisation. Nous appliquons ce formalisme aux composés quasi unidimensionnels. Un des chapitres est un résumé d'un article dans lequel nous analysons la pertinence d'une transition d'un état onde de densité de spin à un état supraconducteur, observée dans les flots de renormalisation d'un modèle de fermions à deux dimensions, dont la surface de Fermi est un carré avec des coins arrondis.

Cette these est consacree a l'etude de quelques aspects theoriques de systemes geometriquement frustres. Dans certains reseaux (pyrochlore,...) ou les interactions antiferromagnetiques entre spins (S=1/2) plus proches voisins sont fortement frustrees l'etat fondamental ainsi que les premiers etats excites sont des singulets (S=0). Par ailleurs, les correlations spin-spin sont a courte portee dans ces liquides de spins. En prenant en compte ces deux caracteristiques, ainsi que la geometrie du reseau pyrochlore, on derive un hamiltonien effectif pour decrire ce systeme a basse temperature. En resolvant cet hamiltonien a l'approximation du champ moyen, on obtient la structure singulet de l'etat fondamental. Le reseau kagome a ete l'objet de nombreuses etudes qui montrent que l'hamiltonien de Heisenberg conduit a un etat desordonné liquide de spins sur ce reseau. Ceci est en desaccord avec l'ordre magnetique observe dans certaines realisations experimentales du reseau kagome (de la famille des jarosites). On montre que les interactions Dzyaloshinsky-Moriya sont autorisees par la geometrie du reseau kagome (et des jarosites), on en precise la structure et une derivation microscopique de ces interactions est faite. Les proprietes magnetiques qui en decoulent sont etudiees dans l'approximation du champ moyen et par simulations Monte Carlo. Les fluctuations quantiques sont sondees par un developpement en ondes de spins. On montre que les interactions de Dzyaloshinsky-Moriya expliquent la mise en ordre de certains composes jarosites. Le cas du reseau pyrochlore est egalement considere : on explicite les interactions Dzyaloshinsky-Moriya autorisees par la geometrie de ce reseau et les structures magnetiques qui en decoulent. Cette interaction pourrait expliquer l'ordre magnetique qui apparai t dans certains composes pyrochlores.

La physique de basse énergie du modèle de Heisenberg antiferromagnétique pour des spins 1/2 en deux dimensions recèle une grande variété de comportements, pour certains mal compris, lorsque l'on est en présence de frustration. Outre l'intérêt théorique que présente l'étude de ces modèles, il se trouve qu'ils décrivent de manière satisfaisante de nombreux composés réels maintenant synthétisés. Dans cette thèse, nous abordons les deux aspects de l'étude de ces modèles. D'un point de vue théorique, nous examinons ce modèle, à l'aide de techniques numériques, sur l'un des réseaux les plus frustrés : le réseau kagomé. Nous montrons comment les très fortes signatures de la frustration (existence d'un gap de spin peuplé d'un grand nombre d'états singulets) observées dans ce modèle peuvent être correctement comprises à l'aide d'états RVB (<< Resonating Valence Bond >>, Lien de Valence Résonant) à courte portée. Cette approche présente en outre l'intérêt de donner une image relativement simple de la physique de basse énergie du modèle. Bien qu'attribuées à la forte frustration de ce modèle, les propriétés du spectre du hamiltonien de Heisenberg sur le réseau kagomé n'avaient pas d'équivalent dans les systèmes analogues. Nous mettons en évidence, de manière exacte, l'existence de propriétés semblables (gap de spin et singulets de basse énergie) dans un modèle unidimensionnel de tétraèdres couplés. Nous abordons enfin les applications de l'étude numérique des modèles frustrés à l'explication de propriétés de composés réels. En effet, il est notamment possible de confronter ces résultats à des mesures de susceptibilité ou à des expériences de diffraction de neutrons. Nous examinons tout d'abord le composé CaV4O9, premier système bidimensionnel demi-rempli présentant un gap dans son spectre d'excitations. Nous montrons que l'analyse des symétries du premier état excité permet, par comparaison avec la relation de dispersion obtenue par diffraction de neutrons, de borner les paramètres du modèle, par ailleurs difficiles à évaluer par des méthodes de chimie quantique. L'analyse de la susceptibilité rend possible, dans le cas de Li2VO(Si,Ge)O4 qui est la première réalisation du modèle J_1 - J_2 sur le réseau carré, la mise en évidence de la frustration et l'évaluation de son importance dans ces deux composés.

Les oxydes modeles de basse dimension, comme les composes de spins 1/2 CuGeO3, SrCu2(BO3)2 ou NaV2O5, soulevent de nombreuses questions sur la nature de l'anti-ferromagnetisme de la phase basse-temperature, desordonne par les fluctuations quantiques. Cette these porte sur la description theorique des proprietes magnetiques de ces composes, en lien avec les nombreux resultats experimentaux. En particulier, des resultats inattendus ont ete observes dans deux experiences originales : effet de rotation de la polarisation dans une experience de diffusion inelastique de neutrons et transitions optiques ``interdites''. Pour expliquer ces effets, nous avons ete amenes a considerer des interactions anisotropes entre spins comme l'interaction de Dzyaloshinski-Moriya. Nous avons etudie les effets de cette interaction dans les systemes quantiques sans ordre magnetique et explique la structure fine de l'excitation triplet observee dans SrCu2(BO3)2. L'effet de rotation de polarisation permet d'etudier les interferences entre excitations magnetiques et phonons et est intimement lie a la presence d'anisotropie. Nous avons etabli les regles de selection dans le cadre d'une theorie perturbative dans le couplage spin-phonon et compare avec les resultats experimentaux. De meme, nous avons etudie les regles de selection des transitions optiques, en examinant non seulement l'effet de l'operateur dipolaire magnetique, mais aussi celui de l'operateur dipolaire electrique en generalisant la theorie de Fleury-Loudon. L'ordre de grandeur de l'interaction de Dzyaloshinski-Moriya - statique et dynamique - a ete reconsidere pour la geométrie de ces composes sur la base de la theorie du superechange. Nous avons montre qu'elle pouvait devenir, de facon etonnante a priori, plus grande que l'echange principal.

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de la gravité en l'absence de matière lorsque la métrique ne dépend que de deux variables. En s'appuyant sur une nouvelle paire de Lax basée sur l'algèbre sl(2, R) affine déformée par un automorphisme d'ordre 2 et l'algèbre de Virasoro, nous obtenons une méthode purement algébrique (sans calcul d'intégrale) pour engendrer l'ensemble des solutions. Les éléments de la métrique sont alors exprimés par des déterminants. Toujours à l'aide de cette paire de Lax, nous étudions la structure symplectique de la théorie. Nous montrons que ce modèle non ultralocal conduit à des équations de Yang-Baxter modifiées ne faisant intervenir que de purs c-nombres. Nous présentons aussi une méthode pour calculer les observables classiques à l'aide de conditions aux limites raisonnables. Dans la seconde partie, nous nous attachons à regarder l'effet Hall quantique de spin. Nous étudions une généralisation du modèle de Chalker-Coddington en considérant un grand nombre de degrés de liberté de spin possédant une symétrie SP(2N). Nous mettons en évidence une direction dans l'espace des constantes de couplage dite isotrope, qui est préservée par le flot de renormalisation et attractive dans la région des constantes de couplages positives. Nous montrons que le modèle sigma effectif pour cette direction correspond, dans la limite où N est grand, à une théorie massive dans la limite infrarouge. La dernière partie est dédiée à la présentation de l'application de l'algorithme du groupe de renormalisation numérique utilisant la matrice de densité à l'effet Hall quantique fractionnaire. Nous présentons l'ensemble des notions de base nécessaires à une telle étude. A titre de complément, nous appliquons une partie des outils numériques développés à la détermination des constantes de couplage de la molécule magnétique Mn12Ac.

Cette thèse regroupe trois travaux qui concernent respectivement la chaîne de spins 1 désordonnée, les impuretés non magnétiques dans la chaîne de spins 1/2 et les processus de réaction-diffusion. La chaîne de spins 1 sous faible désordre est étudiée par la bosonisation abélienne et le groupe de renormalisation. Cette technique permet de prendre en compte la compétition entre le désordre et les interactions, et prédit le devenir des différentes phases de la chaîne de spins 1 anisotrope sous plusieurs types de désordre. L'un des résultats est la grande stabilité de la phase de Haldane, et l'instabilité de la phase antiferromagnétique sous champ magnétique aléatoire, qui sont prouvés par des arguments de groupe de renormalisation. Un deuxième travail utilise les impuretés non magnétiques comme sondes locales des corrélations dans la chaîne de spins 1/2. Dans le cas où les impuretés sont couplées au bord de la chaîne, je prédis un comportement en température du taux de relaxation du spin nucléaire des impuretés (11T,) radicalement différent du cas où ces mêmes impuretés sont couplées à la chaîne tout entière. Ceci peut en particulier être utilisé pour mesurer les exposants de surface des systèmes quantiques unidimensionnels. Le dernier travail traite des processus réaction-diffusion à une dimension dont la matrice de transfert s'exprime comme un modèle de spin. La transformation de Jordan-Wigner permet d'obtenir une théorie des champs fermionique dont les exposants critiques se déduisent du groupe de renormalisation. Cette nouvelle approche fournit une méthode alternative aux développements en c, et semble validée par l'accord raisonnable avec les résultats numériques pour la réaction dé Schlôgl.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux solutions de trou noir dans des théories de gravitation modifiées, inspirées par la Cosmologie ou la Théorie des Cordes. Les théories Einstein-Maxwell-Dilaton (EMD) comprennent des champs scalaires et de jauge additionnels, ainsi qu'un potentiel scalaire de Liouville en exponentielle. Dans les théories Einstein-Gauss-Bonnet, l'espace-temps est étendu à plus de quatre dimensions. Nous commençons par passer en revue et classer les solutions des théories EMD. Dans le cas où l'horizon du trou noir est planaire, l'obtention d'une équation maîtresse constitue l'un des principaux résultats. Elle alors permet d'intégrer totalement le système d'équations, au prix d'une contrainte sur les constantes de couplage, et sinon d'obtenir des solutions particulières. Dans le cas des théories Einstein-Gauss-Bonnet à six dimensions, le tenseur de Weyl de l'horizon intervient dans les équations par l'action de la constante de couplage du terme de Gauss-Bonnet : cela a pour effet de restreindre grandement la topologie de l'horizon, ce qui lève en partie la dégénérescence qui existait en Relativité Générale. Par la suite, nous étudions les propriétés thermodynamiques des trous noirs en Relativité Générale et en théories EMD. Pour ces dernières, nous montrons que des transitions de phases similaires à celles en Relativité Générale existent dans l'ensemble canonique. Plus généralement, ces propriétés dépendent de manière cruciale des constantes de couplage de la théorie. Pour finir, nous donnons une interprétation holographique aux trous noirs des théories EMD, en tant que bonnes approximations à l'Infra-Rouge. Nous calculons également les conductivités en courant continu et alternatif dans le cadre d'une application à la Matière Condensée, et trouvons certaines caractéristiques typiques des métaux étranges.