Dans cette thèse, nous étudions un modèle de décroissance (decay) d'un système quantique à plusieurs niveaux appelé le modèle de Friedrichs. Dans un premier travail, nous considérons un couplage d'un kaon avec un environnement décrit par un continuum d'énergie. On montre que les oscillations du kaon entre les états K_1, K_2, leur decay et la violation CP sont bien décrits par ce type de modèle. Ensuite, nous appliquons à ce modèle le formalisme de l'opérateur de temps qui décrit la résonance, c'est-à-dire la probabilité de survie des états instables. Enfin, nous considérons un gaz de Lorentz comme un ensemble de boules de billard avec des collisions élastiques contre des obstacles et un système de sphères dures en dimension 2. Nous étudions la simulation numérique de la dynamique du système et calculons l'augmentation de l'entropie de non-équilibre au cours du temps sous l'effet des collisions et sa relation avec les exposants de Lyapounov positifs.

Dans ce mémoire d'habilitation je présente mes travaux recents sur les chaînes de spin quantiques. Les chaînes de spin constituent l'exemple le plus fondamental de modèles intégrables quantiques. Ces modèles ont plusieurs applications directes en théorie de la matière condensée, en physique statistique, en optique quantique, en théorie des champs et même en théorie des cordes mais ils sont aussi très importants car ils donnent une possibilité unique de traiter de manière exacte des phénomènes non perturbatifs inaccessibles par les autres moyens. Dans ce cadre le problème central de la théorie moderne des systèmes intégrables concerne le calcul explicite des fonctions de corrélation et des facteurs de forme et leur analyse asymptotique.<br /><br />La méthode présentée dans ce mémoire est basée sur l'ansatz de Bethe algébrique. Je montre comment cette méthode peut être utilisée pour le calcul des fonctions de corrélation à température nulle de la chaîne de spin 1/2 de Heisenberg. Le point principal de cette approche est la solution du problème inverse quantique obtenue pour la chaîne de spin 1/2 XXZ. Cette solution ainsi qu'une formule simple pour les produits scalaires des états de Bethe nous a permit d'obtenir les fonctions de corrélation les plus fondamentales ("les blocs élémentaires") sous forme d'intégrales multiples. <br /><br />Ces représentations sous forme d'intégrales multiples permettent de faire un analyse asymptotique pour quelques quantités physiques (probabilité de formation du vide) et même, dans certains cas particuliers, de les calculer d'une manière exacte.<br /><br />Il est possible d'obtenir à partir de ces représentations des résultats pour les fonctions à deux points, c'est à dire les fonctions de corrélation les plus importantes pour les applications. Un lien est établi entre ces intégrales multiples et les sommes de facteurs de forme. Ce résultat est généralisé aux fonctions de corrélation dynamiques.<br /> <br />Je présente aussi dans ce mémoire les généralisations de<br />cette méthode aux chaînes de spin supérieur à 1/2 et aux chaînes de spin à bords ouverts.

Dans cette thèse nous étudions la théorie des cordes en présence de<br />D-branes et éventuellement d'orientifolds dans des espaces courbes ou dépendants du temps. Notre étude vise à comprendre certains aspects des espaces courbes et dépendant du temps, notamment à cause de leur importance en cosmologie.<br /><br />Le premier chapitre introduit quelques bases de la théorie des cordes.<br /><br />Le deuxième chapitre étudie les cordes non orientées sur les groupes compacts SU(2) et SO(3) : après un rappel des résultats connus sur les D-branes dans ces espaces, nous présentons nos résultats sur la position des orientifolds et leur interaction avec les cordes ouvertes et fermées.<br /><br />Le troisième chapitre étudie les D-branes dans certains fonds de type Ramond-Ramond, en utilisant la S-dualité qui les relie à des fonds de type Neveu-Schwarz, où on sait faire les calculs.<br /><br />Le dernier chapitre considère les cordes sur une D-brane parcourue par une onde plane, et introduit les outils y permettant l'étude des interactions.

Le modèle à deux matrices a été introduit pour étudier le modèle d'Ising sur surface aléatoire. Depuis, le lien entre les modèles de matrices et la combinatoire de surfaces discrétisées s'est beaucoup développé Cette thèse a pour propos d'approfondir ces liens et de les étendre au delà des modèles de matrices en suivant l'évolution de mes travaux de recherche. Tout d'abord, je m'attache à définir rigoureusement le modèle à deux matrices hermitiennes formel donnant accès aux fonctions génératrices de surfaces discrétisées portant une structure de spin. Je montre alors comment calculer, par des méthodes de g'eométrie algébrique, tous les termes du développement topologique des observables comme formes différentielles définies sur une courbe algébrique associée au modèle: la courbe spectrale. Dans un second temps, je montre comment, imitant la construction du modèle à deux matrices, on peut définir de telles formes différentielles sur n'importe quelle courbe algébrique possédant de nombreuses propriétés d'invariance sous les déformations de la courbe algébrique considérée. En particulier, on peut montrer que si cette courbe est la courbe spectrale d'un modèle de matrices, ces invariants reconstituent les termes des développements topologiques des observables du modèle. Finalement,<br /><br />je montre que pour un choix particulier des paramètres, ces objets peuvent être rendus invariants modulaires et sont solutions des équations d'anomalie holomorphe de la théorie de Kodaira-Spencer donnant un nouvel élément vers la preuve de la conjecture de Dijkgraaf-Vafa.

La RPA Self-Consistante (SCRPA) est appliquée aux fonctions de corrélation particule-trou dans le Modèle de Hubbard.<br /><br />Pour une fonction de Green générale à $n$ corps cette méthode se dérive à partir de l'Equation de Dyson où seules sont retenues les contributions instantanées de l'opérateur de masse. La fonction de Green est alors donnée par un système d'équations intégrales non-linéaires que l'on cherchera à résoudre de façon self-consistante. Elle satisfait, parmi d'autres théorèmes, la règle de somme pondérée par l'énergie. Pour les fonctions de Green à une et à deux particules, la SCRPA obéit à un principe variationnel. Dans le Modèle de Hubbard les fonctions de corrélation de charge et de spin sont calculées en SCRPA. En négligeant les densités connectées à deux corps, nous obtenons une théorie self-consistante plus simple, la RPA renormalisée. Les deux méthodes sont étudiées et comparées à la RPA standard.<br /><br />Nous établissons et résolvons numériquement les équations de la RPA renormalisée pour les fonctions de corrélations de densité de charge dans le Modèle de Hubbard à une dimension. Les susceptibilités de charge et de spin longitudinal, la distribution des impulsions et plusieurs propriétés du fondamental sont évaluées et comparées aux résultats exacts. Dans la limite du couplage fort de la bande à moitié remplie, la RPA renormalisée possède une solution analytique qui est, à un facteur près, en accord avec le développement pour fortes interactions de l'ansatz de Bethe. Comme prévu, des particularités liées à la dimension spatiale $1$, par exemple un comportement de liquide de Luttinger, n'ont pas pu être retrouvées. Or, la description fournie par notre méthode pourrait être assez réaliste en dimensions plus élevées.<br /><br />Une partie de ces travaux a été publié dans<br />"Dyson Equation Approach to Many-Body Greens Functions and<br />Self-Consistent RPA, First Application to the Hubbard Model"<br />Steffen Schäfer, Peter Schuck, Phys. Rev. B 59, 1712-1733 (1999).

Ce travail de thèse comporte deux parties largement indépendantes, qui s'intéressent chacune à un aspect de la physique<br />des systèmes hors d'équilibre. Dans la première partie, nous étudions la statistique des évènements persistants, qui<br />permettent de caractériser le comportement temporel de nombreux systèmes, en particulier les systèmes de marche vers<br />l'ordre par croissance de domaines. Notre axe d'étude consiste à reformuler le problème en termes de probabilités de<br />premier retour et de distributions du temps d'occupation de processus stochastiques. Nous obtenons des résultats exacts<br />pour une classe de processus gaussiens markoviens, ainsi que pour une particule soumise à une accélération aléatoire. <br /><br />La généralisation de ces questions à des systèmes avec des contraintes géométriques ou cinétiques nous permet ensuite<br />d'aborder la seconde partie. Celle-ci est consacrée à l'étude des états métastables dans différents modèles<br />unidimensionnels de spins d'Ising à température nulle. Nous comparons la structure de l'ensemble des configurations<br />gelées atteintes dynamiquement depuis une condition initiale désordonnée avec celle de l'ensemble 'thermodynamique' à<br />la Edwards associé.

Cette thèse est consacrée à la conception et l'analyse théorique de différents composants en optique intégrée. Nous présentons un modèle de milieu effectif pour les cristaux photoniques (CPs) 2D qui rend compte des effets de surface, puis un algorithme pour la conception de réseaux antiréfléchissants grand-angle pour ces CPs. Ces réseaux permettent d'améliorer significativement la transmission à travers une lentille plate d'indice négatif. Nous proposons une nouvelle génération de circulateurs magnétooptiques compacts, fonctionnant dans un champ magnétique extérieur uniforme et constitués d'une cavité résonnante en anneaux circulaires couplée directement à des guides d'ondes standards. Nous généralisons la méthode multipolaire 2D aux matériaux gyrotropiques et la formulons sans « lattice sums » pour les structures périodiques. Enfin, nous décrivons en détail la méthode des éléments finis pour le calcul des modes propres des cavités 3D en anneaux circulaires et matériaux gyrotropiques.

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans la prèmiere partie nous décrivons les systèmes dynamiques que l'on considère tout au long de la thèse. Nous donnons aussi des résultats connus sur les fluctuations d'observables dans les systèmes dynamiques tels comme la théorème central limite, les grands déviations et les inégalités de concentration. La deuxième partie de cette thèse est consacrée aux systèmes dynamiques perturbés par un bruit observationnel. Nous démontrons que si un système dynamique satisfait une inégalité de concentration alors le système perturbé satisfait lui aussi une inégalité de concentration adéquate. Ensuite nous appliquons ces inégalités pour obtenir des bornes sur la taille des fluctuations d'observables bruitées. Nous considérons comme observables la fonction d'auto-corrélation, la mesure empirique, l'estimateur à noyau de la densité de la mesure invariante et la dimension de corrélation. Nous étudions ensuite les travaux de S. Lalley sur le problème de débruitage d'une série temporelle. Etant donné une série temporelle générée par un système dynamique chaotique bruité, il est effectivement possible d'éliminer le bruit en moyenne en utilissant l'algorithme de Lalley. Un chapitre de cette thèse est consacré à la preuve de ce théorème. Nous finissons la deuxième partie avec une quête numérique pour les meilleurs paramètres de l'algorithme de Lalley. Dans la troisième partie, nous étudions le problème de l'estimation de l'entropie pour des mesures de Gibbs unidimensionnelles. Nous étudions les propriétés de deux estimateurs de l'entropie. Le premier est basé sur les fréquences des blocs typiques observés. Le second est basé sur les temps d'apparition de blocs typiques. Nous appliquons des inégalités de concentrations pour obtenir un contrôle sur les fluctuations de ces estimateurs.

Ce mémoire concerne l'utilisation de matériaux non-linéaires optiques dans les cristaux photoniques (CPs) destinés à la limitation optique. En effet, le couplage entre des effets de type cubique (effet Kerr) ou de changement de phase et les phénomènes complexes de diffraction dans les CPs peut mener à des basculements ultra-rapides et auto-déclenchés d'un état transparent vers un état opaque.<br />Dans ce but, de nouvelles méthodes de simulation numérique ab-initio, évolutions de la Fast Fourier Factorization (FFF), et de la Matrix Scattering Method (MSM), sont développées et utilisées. Elles permettent de traiter rigoureusement le cas d'inclusions nonlinéaires inhomogènes ainsi que de traiter l'échauffement d'un CP lors d'une illumination par impulsion laser nanoseconde.<br />Dans la dernière partie du mémoire, la précision de l'approximation homogène est étudiée et partiellement remise en cause. Finalement, une solution de limiteur optique à cristal photonique est donnée.

Ce mémoire d'habilitation à diriger des recherches est constitué des deux parties: - la première partie revient sur les idées et les concepts de la géométrie non commutative. Le point central de cet exposé est de rappeler les résultats qui motivent les recherches en géométrie non commutative, au sens où ces résultats donnent un sens à la démarche promue par la géométrie non commutative. Ces résultats sont bien connus désormais, et ils s'articulent autour de constructions pouvant prendre sens à la fois dans un cadre topologique et/ou géométrique et dans un cadre plus algébrique. Ainsi on trouvera le théorème de Gelfand-Naïmark sur les C*-algèbres commutatives, des rappels sur la K-théorie, d'abord pour les espaces topologiques, puis pour les C*-algèbres, une introduction à la cohomologie cyclique en insistant sur ses liens avec les structures différentiables, finalement un exposé sur l'objet "magique" qui connecte entre eux tous ces domaines, à la fois dans le cadre purement topologique, dans le cadre de la géométrie différentielle, et enfin dans le cadre algébriques : le caractère de Chern. - la seconde partie est une revue qui fait le point sur l'état des recherches sur la géométrie non commutative de l'algèbre des endomorphismes d'un fibré vectoriel de groupe de structure SU(n), en donnant si possible toutes les définitions utiles, de façon à faire un texte relativement autonome. Plus encore, il s'agit de montrer en quoi cette géométrie étend de façon naturelle la géométrie ordinaire du fibré principal sous-jacent, et en quoi les résultats obtenus sur les liens entre les connexions ordinaires et les connexions non commutatives dans ce contexte sont une excellente généralisation de la notion ordinaire de connexion. C'est pourquoi, dans cet exposé, sont rappelés les concepts usuels des théories de jauge ordinaires, et sont décrits très précisément où et comment la nouvelle géométrie se greffe à ces concepts. En particulier, il est insisté sur le fait que la notion de connexion prend un sens dans un niveau "intermédiaire", entre sa définition comme forme globale sur le fibré principal et sa définition comme familles de formes locales sur la variété de base satisfaisant à des recollements non homogènes. Le niveau intermédiaire utilise la géométrie de nature non commutative de l'algèbre des endomorphismes, et correspond à un regard nouveau sur les concepts usuels manipulés dans le cadre des théories de jauge.