Le sujet de cette thèse est l'établissement d'une nouvelle solution de l'équation de Yang-Baxter. Cette équation est présente dans de très nombreux domaines de la physique théorique (systèmes intégrables, mécanique statistique, QISM,...) ou des mathématiques (théorie des nœuds, groupes quantiques,...), mais l'étude de ses solutions est difficile (équations non-linéaires, variables non-commutatives, etc.). Une solution de l'équation de Yang-Baxter est aussi appelée tressage.<br /><br />Dans une première partie, nous présentons des résultats généraux sur le groupe des tresses et son algèbre de groupe. Nous nous intéressons ensuite aux analogues tressés que l'on peut considérer comme des analogues non-commutatifs de q-analogues. Nous présentons entre autres des analogues pour les coefficients binomiaux, les symboles de Pochhammer et les nombres de Fuß-Catalan, ainsi que pour le développent binomial et la convolution de Vandermonde. Ces deux premiers chapitres contiennent des résultats plus ou moins standards et forment l'assise des résultats qui suivent. La définition des nombres de Fuß-Catalan est toutefois originale.<br /><br />Dans une seconde partie, nous abordons les tressages d'espaces de tenseurs. Nous commençons par présenter les équations qui doivent être satisfaites par un tel objet et nous donnons une solution dont nous montrons l'unicité. Dans un dernier chapitre, nous plaçons ce tressage dans un contexte plus général et nous présentons les tressages dits « zébrés » qui prennent en compte une éventuelle cyclicité dans l'ordre des tenseurs sur lesquels ils se projettent. Le contenu de ces deux derniers chapitres est original. Nous fournissons ainsi une nouvelle solution de l'équation de Yang-Baxter et explorons ses propriétés.

L'anneau $\Diff(n)$ des opérateurs différentiels $\h$-déformés apparaît dans la théorie des algèbres de réduction.Dans cette thèse, nous construisons les anneaux des opérateurs différentiels généralisés sur les espaces vectoriels $\h$-déformés de type $\gl$. Contrairement aux espaces vectoriels $q$-déformés pour lequel l'anneau des opérateurs différentiels est unique \`a isomorphisme pr\`es, l'anneau généralisé des opérateurs différentiels $\h$-déformés $\Diffs(n)$ est indexée par une fonction rationnelle $\sigma$ en $n$ variables, solution d'un syst\`eme d\'eg\'en\'er\'e d'\'equations aux diff\'erences finies. Nous obtenons la solution g\'en\'erale de ce syst\`eme. Nous montrons que le centre de $\Diffs(n)$ est un anneau des polynômes en $n$ variables. Nous construisons un isomorphisme entre des localisations de l'anneau $\Diffs(n)$ et de l’algèbre de Weyl $\text{W}_n$ l’étendue par $n$ indéterminés. Nous présentons des conditions irréductibilité des modules de dimension fini de $\Diffs(n)$. Finalement, nous discutons des difficultés a trouver les constructions analogues pour l'anneau $\Diff(n,N)$ correspondant \`a $N$ copies de $\Diff(n)$. / The ring $\Diff(n)$ of $\h$-deformed differential operators appears in the theory of reduction algebras. In this thesis, we construct the rings of generalized differential operators on the $\h$-deformed vector spaces of $\gl$-type. In contrast to the $q$-deformed vector spaces for which the ring of differential operators is unique up to an isomorphism, the general ring of $\h$-deformed differential operators $\Diffs(n)$ is labeled by a rational function $\sigma$ in $n$ variables, satisfying an over-determined system of finite-difference equations. We obtain the general solution of the system. We show that the center of $\Diffs(n)$ is a ring of polynomials in $n$ variables. We construct an isomorphism between certain localizations of $\Diffs(n)$ and the Weyl algebra $\W_n$ extended by $n$ indeterminates. We present some conditions for the irreducibility of the finite dimensional $\Diffs(n)$-modules. Finally, we discuss difficulties for finding analogous constructions for the ring $\Diff(n, N)$ formed by several copies of $\Diff(n)$.

Dans cette thèse on a étudié plusieurs problèmes<br />algébriques relatifs à une superalgèbre de Lie qui peuvent être<br />réduits à la résolution d'une équation fonctionnelle. Cette<br />technique a permis d'obtenir des résultats qui sont nouveaux<br />aussi pour une algèbre de Lie ordinaire et qui sont indépendants<br />de la classification des algèbres de Lie.