La motivation principale de cette thèse est l'étude du comportement en temps grand des solutions non-bornées d'équations de Hamilton-Jacobi visqueuses dans RN en présence d'un terme d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous considérons la même question dans le cas d'une équation de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Dans le premier cas, qui constitue le cœur de la thèse, nous généralisons les résultats de Fujita, Ishii et Loreti (2006) dans plusieurs directions. La première est de considérer des opérateurs de diffusion plus généraux en remplaçant le Laplacien par une matrice de diffusion quelconque. Nous considérons ensuite des opérateurs non-locaux intégro-différentiels de type Laplacien fractionnaire. Le second type d'extension concerne le Hamiltonien qui peut dépendre de x et est seulement supposé sous-linéaire par rapport au gradient. / The main aim of this thesis is to study large time behavior of unbounded solutions of viscous Hamilton-Jacobi equations in RN in presence of an Ornstein-Uhlenbeck drift. We also consider the same issue for a first order Hamilton-Jacobi equation. In the first case, which is the core of the thesis, we generalize the results obtained by Fujita, Ishii and Loreti (2006) in several directions. The first one is to consider more general operators. We first replace the Laplacian by a general diffusion matrix and then consider a non-local integro-differential operator of fractional Laplacian type. The second kind of extension is to deal with more general Hamiltonians which are merely sublinear.

On étudie l'équation de Hamilton-Jacobi évolutive du premier ordre, couplée avec une donnée initiale lipschitzienne. Le but est de comparer les solutions de viscosité et les solutions variationnelles pour cette équation, deux notions de solutions faibles qui coïncident en dynamique hamiltonienne convexe. Pour travailler dans un cadre pertinent pour les deux types de solutions, on doit d’abord construire une solution variationnelle sans hypothèse de compacité sur la variété ou le hamiltonien étudiés. On retrace dans ce cas la construction historique des solutions variationnelles, en détaillant les propriétés de la famille génératrice obtenue par la méthode des géodésiques brisées. Il en découle des estimées permettant d’obtenir la solution de viscosité à partir de la solution variationnelle par un procédé d’itération. Après avoir vérifié que la solution variationnelle construite coïncide effectivement avec la solution de viscosité pour un Hamiltonien convexe, on caractérise les Hamiltoniens intégrables pour lesquels cette propriété persiste, en étudiant attentivement des exemples élémentaires en dimension 1 et 2. / We study the first order Hamilton-Jacobi equation associated with a Lipschitz initial condition. The purpose of this thesis is to compare two notions of weak solutions for this equation, namely the viscosity solution and the variational solution, that are known to coincide in convex Hamiltonian dynamics. In order to work in a relevant framework for both notions, we first need to build a variational solution without compactness assumption on the manifold or the Hamiltonian. To do so, we follow the historical construction, detailing properties of the generating family obtained via the broken geodesics method. Local estimates allow to prove that the viscosity solution can be obtained from the variational solution via an iterative process. We then check that this construction gives effectively the viscosity solution for a convex Hamiltonian, and characterize the integrable Hamiltonians for which this property persists by carefully studying elementary examples in dimension 1 and 2.

Dans ce travail, on étudie l'homogénéisation de quelques problèmes de propagations de fronts dans des milieux stationnaires et ergodiques. Dans la première partie, on étudie l'homogénéisation stochastique de quelques problèmes de propagations de fronts non-locaux. En particulier, on donne une version non-locale de la méthode de la fonction test perturbée d'Evans. La deuxième partie est consacrée à l'approximation numérique du Hamiltonien effectif qui découle de l'homogénéisation stochastique des équations de Hamilton-Jacobi. On établit des estimations d'erreurs entre les solutions numériques et l'Hamiltonien effectif. Dans la troisième partie, on s'intéresse à l'homogénéisation stochastique de problèmes de propagations de fronts qui évoluent dans la direction normale avec une vitesse qui peut être non bornée. On montre des résultats d'homogénéisation dans le cas des milieux i.i.d. / In this work, we study the homogenization of some front propagation problems in stationary ergodic media. In the first part, we study the stochastic homogenization of non-local front propagation problems. In particular, we give a non-local variation of the perturbed test function method of Evans. The second part is devoted to numerical approximations of the effective Hamiltonian arising in stochastic homogenization of Hamilton-Jacobi equations. We establish error estimates between numerical solutions and the effective Hamiltonian. In the third part, we are interested in the stochastic homogenization of front propagation problems moving in the normal direction with possible unbounded velocity. Assuming that the media satisfies a finite range of dependence condition, we prove homogenization results.

[pt] Primeiro examinamos soluções de viscosidade Lp para equações elípticas totalmente não lineares com ingredientes de fronteira mensuráveis. Ao considerar p0 < p < d, focamos nas estimativas da regularidade dos gradientes derivadas de potenciais não lineares. Encontramos condições para Lipschitz-continuidade local das soluções e continuidade do gradiente. Examinamos avanços recentes na teoria da regularidade decorrentes de estimativas potenciais (não lineares). Nossas descobertas decorrem de – e são inspiradas por – fatos fundamentais na teoria de soluções de Lp-viscosidade, e resultados do trabalho de Panagiota Daskalopoulos, Tuomo Kuusi e Giuseppe Mingione (DKM2014). Na segunda parte provamos a regularidade parcial de mapas harmônicos com peso fracamente estacionários com dados de fronteira livre em um cone. Como ponto de partida, damos uma olhada na teoria da regularidade parcial interior para mapas harmônicos fracionários de minimização de energia intrínseca do espaço euclidiano em variedades Riemannianas compactas e suaves para potências fracionárias estritamente entre zero e um. Mapas harmônicos fracionários intrínsecos podem ser estendidos para mapas harmônicos com peso, então provamos regularidade parcial para mapas harmônicos minimizantes locais com dados de fronteira (parcialmente) livres em meios-espaços, mapas harmônicos fracionários então herdam essa regularidade. / [en] We first examine Lp-viscosity solutions to fully nonlinear elliptic equations with bounded measurable ingredients. By considering p0 < p < d, we focus on gradient-regularity estimates stemming from nonlinear potentials. We find conditions for local Lipschitz-continuity of the solutions and continuity of the gradient. We survey recent breakthroughs in regularity theory arising from (nonlinear) potential estimates. Our findings follow from – and are inspired by – fundamental facts in the theory of Lp-viscosity solutions, and results in the work of Panagiota Daskalopoulos, Tuomo Kuusi and Giuseppe Mingione (DKM2014). In the second part we prove partial regularity of weakly stationary weighted harmonic maps with free boundary data on a cone. As a starting point we take a look at the interior partial regularity theory for intrinsic energy minimising fractional harmonic maps from Euclidean space into smooth compact Riemannian manifolds for fractional powers strictly between zero and one. Intrinsic fractional harmonic maps can be extended to weighted harmonic maps, so we prove partial regularity for locally minimising harmonic maps with (partially) free boundary data on half-spaces, fractional harmonic maps then inherit this regularity.

Le problème du « Shape From Shading » est aujourd'hui considéré comme un problème mal posé et difficile à résoudre. Afin de bien comprendre les difficultés de ce problème et d'apporter des solutions fiables et pertinentes, nous proposons une approche rigoureuse basée sur la notion de solution de viscosité.<br />Après avoir considéré et exploité au maximum les équations (aux dérivées partielles) obtenues à partir de la modélisation classique du problème du « Shape From Shading », nous proposons et étudions de nouvelles équations provenant de modélisations plus réalistes que celles qui avaient été traitées classiquement dans la littérature. Cette démarche nous permet alors de démontrer qu'avec de telles nouvelles modélisations, le problème du « Shape From Shading » est généralement un problème complètement bien posé. En d'autres termes, nous prouvons que la version classique du problème du « Shape from Shading » est devenu mal posée à cause d'une trop grande simplification de la modélisation.<br />Dans ce travail, nous proposons aussi une extension de la notion de solutions de viscosité singulières développée récemment par Camilli et Siconolfi. Cette extension nous permet de proposer une nouvelle caractérisation des solutions de viscosité discontinues. Ce nouveau cadre théorique nous permet aussi d'unifier les différents résultats théoriques proposés dans le domaine du « Shape From Shading ».

This thesis is concerned with the investigation of numerical methods for the solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations arising in European and American option pricing with proportional transaction costs. We first consider the problem of computing reservation purchase and write prices of a European option in the model proposed by Davis, Panas and Zariphopoulou [19]. It has been shown [19] that computing the reservation purchase and write prices of a European option involves solving three different fully nonlinear HJB equations. In this thesis, we propose a penalty approach combined with a finite difference scheme to solve the HJB equations. We first approximate each of the HJB equations by a quasi-linear second order partial differential equation containing two linear penalty terms with penalty parameters. We then develop a numerical scheme based on the finite differencing in both space and time for solving the penalized equation. We prove that there exists a unique viscosity solution to the penalized equation and the viscosity solution to the penalized equation converges to that of the original HJB equation as the penalty parameters tend to infinity. We also prove that the solution of the finite difference scheme converges to the viscosity solution of the penalized equation. Numerical results are given to demonstrate the effectiveness of the proposed method. We extend the penalty approach combined with a finite difference scheme to the HJB equations in the American option pricing model proposed by Davis and Zarphopoulou [20]. Numerical experiments are presented to illustrate the theoretical findings.

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes dans le domaine des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), et leurs applications aux équations aux dérivées partielles.Dans le premier chapitre, nous introduisons la notion d'équation différentielle doublement stochastique rétrograde (EDDSR) avec condition terminale singulière. Nous étudions d’abord les EDDSR avec générateur monotone, et obtenons ensuite un résultat d'existence par un schéma d'approximation. Une dernière section établit le lien avec les équations aux dérivées partielles stochastiques, via l'approche solution faible développée par Bally, Matoussi en 2001.Le deuxième chapitre est consacré aux EDSR avec condition terminale singulière et sauts. Comme dans le chapitre précédent la partie délicate sera de prouver la continuité en T. Nous formulons des conditions suffisantes sur les sauts afin d'obtenir cette dernière. Une section établit ensuite le lien entre solution minimale de l'EDSR et équations intégro-différentielles. Enfin le dernier chapitre est dédié aux équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSR) doublement réfléchies. Nous avons établi l'existence et l'unicité de telles équations. Ainsi, il nous a fallu dans un premier temps nous concentrer sur le problème de réflexion par barrière supérieure des 2EDSR. Nous avons ensuite combiné ces résultats à ceux existants afin de donner un cadre correct aux 2EDSRDR. L'unicité est conséquence d'une propriété de représentation et l'existence est obtenue en utilisant les espaces shiftés, et les distributions de probabilité conditionnelles régulières. Enfin une application aux jeux de Dynkin et aux options Israëliennes est traitée dans la dernière section. / This thesis is devoted to the study of some problems in the field of backward stochastic differential equations (BSDE), and their applications to partial differential equations.In the first chapter, we introduce the notion of backward doubly stochastic differential equations (BDSDE) with singular terminal condition. A first work consists to study the case of BDSDE with monotone generator. We then obtain existing result by an approximating scheme built considering a truncation of the terminal condition. The last part of this chapter aim to establish the link with stochastic partial differential equations, using a weak solution approach developed by Bally, Matoussi in 2001.The second chapter is devoted to the BSDEs with singular terminal conditions and jumps. As in the previous chapter the tricky part will be to prove continuity in T. We formulate sufficient conditions on the jumps in order to obtain it. A section is then dedicated to establish a link between a minimal solution of our BSDE and partial integro-differential equations.The last chapter is dedicated to doubly reflected second order backward stochastic differential equations (2DRBSDE). We have been looking to establish existence and uniqueness for such equations. In order to obtain this, we had to focus first on the upper reflection problem for 2BSDEs. We combined then these results to those already existing to give a well-posedness context to 2DRBSDE. Uniqueness is established as a straight consequence of a representation property. Existence is obtained using shifted spaces, and regular conditional probability distributions. A last part is then consecrated to the link with some Dynkin games and Israeli options.

Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier et de traiter conjointement plusieurs problèmes phares en traitement d'images incluant le recalage d'images qui vise à apparier deux images via une transformation, la segmentation d'images dont le but est de délimiter les contours des objets présents au sein d'une image, et la décomposition d'images intimement liée au débruitage, partitionnant une image en une version plus régulière de celle-ci et sa partie complémentaire oscillante appelée texture, par des approches variationnelles locales et non locales. Les relations étroites existant entre ces différents problèmes motivent l'introduction de modèles conjoints dans lesquels chaque tâche aide les autres, surmontant ainsi certaines difficultés inhérentes au problème isolé. Le premier modèle proposé aborde la problématique de recalage d'images guidé par des résultats intermédiaires de segmentation préservant la topologie, dans un cadre variationnel. Un second modèle de segmentation et de recalage conjoint est introduit, étudié théoriquement et numériquement puis mis à l'épreuve à travers plusieurs simulations numériques. Le dernier modèle présenté tente de répondre à un besoin précis du CEREMA (Centre d'Études et d'Expertise sur les Risques, l'Environnement, la Mobilité et l'Aménagement) à savoir la détection automatique de fissures sur des images d'enrobés bitumineux. De part la complexité des images à traiter, une méthode conjointe de décomposition et de segmentation de structures fines est mise en place, puis justifiée théoriquement et numériquement, et enfin validée sur les images fournies. / In this thesis, we study and jointly address several important image processing problems including registration that aims at aligning images through a deformation, image segmentation whose goal consists in finding the edges delineating the objects inside an image, and image decomposition closely related to image denoising, and attempting to partition an image into a smoother version of it named cartoon and its complementary oscillatory part called texture, with both local and nonlocal variational approaches. The first proposed model addresses the topology-preserving segmentation-guided registration problem in a variational framework. A second joint segmentation and registration model is introduced, theoretically and numerically studied, then tested on various numerical simulations. The last model presented in this work tries to answer a more specific need expressed by the CEREMA (Centre of analysis and expertise on risks, environment, mobility and planning), namely automatic crack recovery detection on bituminous surface images. Due to the image complexity, a joint fine structure decomposition and segmentation model is proposed to deal with this problem. It is then theoretically and numerically justified and validated on the provided images.