[pt] Nessa tese, consideramos coberturas de regiões tridimensionais por dominós, especialmente as da forma D x [0,N]. Em particular, nós investigamos as componentes conexas do espaço de coberturas desse tipo de região por flips, o movimento local que consiste em remover dois dominós paralelos adjacentes e colocá-los de volta na única outra posição possível. Para regiões da forma D x [0,2], nós definimos um invariante polinomial Pt(q) que caracteriza coberturas que estão quase na mesma componente conexa, num sentido discutido na tese. Também provamos que o espaço de coberturas desse tipo de região é conexo por flips e trits, um movimento local que consiste em remover três dominós adjacentes e ortogonais entre si e colocá-los de volta na única outra posição possível. No caso geral, o invariante é um inteiro, o twist, para o qual damos uma fórmula combinatória simples, bem como uma interpretação via teoria dos nós; também provamos que o twist tem propriedades aditivas para decomposições adequadas de uma região. Por fim, investigamos também o conjunto de valores que são twists de coberturas de uma caixa L x M x N. / [en] In this thesis, we consider domino tilings of three-dimensional regions, especially those of the form D x [0,N]. In particular, we investigate the connected components of the space of tilings of such regions by ips, the local move performed by removing two adjacent dominoes and placing them back in the only other possible position. For regions of the form D x [0,2], we define a polynomial invariant Pt(q) that characterizes tilings that are \ almost in the same connected component , in a sense discussed in the thesis. We also prove that the space of domino tilings of such a region is connected by ips and trits, a local move performed by removing three adjacent dominoes, no two of them parallel, and placing them back in the only other possible position. For the general case, the invariant is an integer, the twist, to which we give a simple combinatorial formula and an interpretation via knot theory; we also prove that the twist has additive properties for suitable decompositions of a region. Finally, we investigate the range of possible values for the twist of tilings of an L x M x N box.

[pt] Consideramos o problema de contar e classificar coberturas por dominós de toros quadriculados. O problema de contagem para retângulos foi estudado por Kasteleyn e usamos muitas de suas ideias. Coberturas por dominós de regiões planares podem ser representadas por funções altura; para um toro dado por um reticulado L, estas funções exibem L-quasiperiodicidade aritmética. As constantes aditivas determinam o fluxo da cobertura, que pode ser interpretado como um vetor no reticulado dual (2L) asterisco. Damos uma caracterização dos valores de fluxo efetivamente realizados e de como coberturas correspondentes se comportam. Também consideramos coberturas por dominós do reticulado quadrado infinito; coberturas de toros podem ser vistas como um caso particular destas. Descrevemos a construção e uso de matrizes de Kasteleyn no problema de contagem, e como elas podem ser aplicadas para contar coberturas com valores de fluxo prescritos. Finalmente, estudamos a distribuição limite do número de coberturas com um dado valor de fluxo quando o reticulado L sofre uma dilatação uniforme. / [en] We consider the problem of counting and classifying domino tilings of a quadriculated torus. The counting problem for rectangles was studied by Kasteleyn and we use many of his ideas. Domino tilings of planar regions can be represented by height functions; for a torus given by a lattice L, these functions exhibit arithmetic L-quasiperiodicity. The additive constants determine the flux of the tiling, which can be interpreted as a vector in the dual lattice (2L) asterisk. We give a characterization of the actual flux values, and of how corresponding tilings behave. We also consider domino tilings of the infinite square lattice; tilings of tori can be seen as a particular case of those. We describe the construction and usage of Kasteleyn matrices in the counting problem, and how they can be applied to count tilings with prescribed flux values. Finally, we study the limit distribution of the number of tilings with a given flux value as a uniform scaling dilates the lattice L.