[pt] Consideramos o problema de contar e classificar coberturas por dominós de toros quadriculados. O problema de contagem para retângulos foi estudado por Kasteleyn e usamos muitas de suas ideias. Coberturas por dominós de regiões planares podem ser representadas por funções altura; para um toro dado por um reticulado L, estas funções exibem L-quasiperiodicidade aritmética. As constantes aditivas determinam o fluxo da cobertura, que pode ser interpretado como um vetor no reticulado dual (2L) asterisco. Damos uma caracterização dos valores de fluxo efetivamente realizados e de como coberturas correspondentes se comportam. Também consideramos coberturas por dominós do reticulado quadrado infinito; coberturas de toros podem ser vistas como um caso particular destas. Descrevemos a construção e uso de matrizes de Kasteleyn no problema de contagem, e como elas podem ser aplicadas para contar coberturas com valores de fluxo prescritos. Finalmente, estudamos a distribuição limite do número de coberturas com um dado valor de fluxo quando o reticulado L sofre uma dilatação uniforme. / [en] We consider the problem of counting and classifying domino tilings of a quadriculated torus. The counting problem for rectangles was studied by Kasteleyn and we use many of his ideas. Domino tilings of planar regions can be represented by height functions; for a torus given by a lattice L, these functions exhibit arithmetic L-quasiperiodicity. The additive constants determine the flux of the tiling, which can be interpreted as a vector in the dual lattice (2L) asterisk. We give a characterization of the actual flux values, and of how corresponding tilings behave. We also consider domino tilings of the infinite square lattice; tilings of tori can be seen as a particular case of those. We describe the construction and usage of Kasteleyn matrices in the counting problem, and how they can be applied to count tilings with prescribed flux values. Finally, we study the limit distribution of the number of tilings with a given flux value as a uniform scaling dilates the lattice L.

[pt] Nessa dissertação estudamos coberturas por dominós de regiões tridimensionais. Em particular, consideramos o problema de conectividade por flips de cilindros, ou seja, regiões da forma D ×[0,N]. Um flip é um movimento local: dois dominós adjacentes são removidos e recolocados em outra posição. Em duas dimensões, duas coberturas de uma mesma região contrátil podem ser conectadas por flips. Em dimensão 3, o problema é mais sutil. Apresentamos o twist, um invariante por flips que associa uma cobertura a um número inteiro. Para muitas regiões 3D, existem exemplos de coberturas com o mesmo twist que não podem ser ligadas por uma sequência de flips. Artigos recentes mostram que para muitos discos D, chamados regulares, duas coberturas do cilindro D × [0,N] com o mesmo twist podem ser ligadas por flips uma vez que adicionamos espaço vertical ao cilindro. Esses resultados são apresentados e discutidos. Nós então demonstramos a regularidade ou irregularidade de vários discos. Verificamos que um gargalo muitas vezes implica na irregularidade. / [en] In this dissertation we study domino tilings of three-dimensional regions. In particular, we consider the flip connectivity problem for cylinders, i.e, regions of the form D×[0,N]. A flip is a local move: two adjacent dominoes are removed and placed back in a different position. In two dimensions, two domino tilings of the same contractible region are connected by flips. In dimension 3, the problem is subtler. We present the twist, a flip invariant that associatean integer number with a tiling. For many 3D regions, there exist examples of tilings with the same twist which can not be joined by a sequence of flips. Recent papers prove that for certain disks D, called regular, two tilings of the cylinder D × [0,N] with the same twist can be joined by a sequence of flips once we add vertical space to the cylinder. These results are presented and discussed. We then prove regularity or irregularity for new families of quadriculated disks. It turns out that a bottleneck often implies irregularity.