[pt] O objetivo principal desta dissertação é estudar a desigualdade de Harnack e as estimativas de Holder, para um operador elíptico de segunda ordem, na forma não divergente e na forma divergente, respectivamente, sendo os coeficientes funções mensuráveis e limitadas em um domínio ômega contido em Rn. / [en] The main objective of this dissertation is to study Harnack s inequality and Holder s estimates for a second-order elliptic operator, written in the non-divergent form and in the divergent form, respectively, where the coefficient functions are measurable and bounded functions in a domain omega contained in Rn.

[pt] Neste trabalho examinamos equações completamente não-lineares em dois contextos distintos. A princípio, estudamos jogos de campo médio completamente não-lineares. Aqui, examinamos ganhos de regularidade para as soluções do problema, existência de soluções, resultados de relaxação e aspectos particulares de um example explícito. A segunda metade da tese dedica-se à regularidade ótima das soluções de um modelo completamente não-linear que degenera-se com respeito ao gradiente das soluções. A pergunta fundamental subjacente a ambos os tópicos diz respeito aos efeitos da elipticidade sobre propriedades intrínsecas das soluções de equações não-lineares. Mais precisamente, no caso dos jogos de campo médio, a elipticidade parece magnificada pelos efeitos do acoplamento, enquanto no caso dos problemas degenerados, esta quantidade colapsa em sub-regiões do domínio, dando origem a delicados fenômenos. Nossa análise inclui um breve contexto da inserção do trabalho. / [en] In this thesis, we examine fully nonlinear problems in two distinct contexts. The first part of our work focuses on fully nonlinear mean-field games. In this context, we examine gains of regularity, the existence of solutions, relaxation results, and particular aspects of a one-dimensional problem. The second half of the thesis concerns a (sharp) regularity theory for fully nonlinear equations degenerating with respect to the gradient of the solutions. The fundamental question underlying both topics regards the effects of ellipticity on the intrinsic properties of solutions to nonlinear equations. To be more precise, in the case of mean-field game systems, ellipticity seems to be magnified through the coupling structure. On the other hand, in the degenerate setting, ellipticity collapses, giving rise to intricate regularity phenomena. Our analysis is preceded by some context on both topics.