[pt] Este trabalho propõe uma metodologia para a otimização de forma de estruturas geometricamente não-lineares. O objetivo desta metodologia é evitar os problemas de instabilidade apresentados por estruturas otimizadas de acordo com a formulação clássica. Ela foi implementada para problemas bidimensionais e os resultados obtidos na otimização de diferentes estruturas demonstraram o seu sucesso. Utilizando-se conceitos de modelagem geométrica, a forma da estrutura é defini-da através das curvas de seu contorno. Assim, a representação paramétrica de curvas e a definição destas em função de um conjunto de pontos de interpolação (pontos-chave) são discutidas detalhadamente. A ênfase é dada à interpolação através de B-splines,devido a sua grande flexibilidade. O problema de otimização é definido com base no modelo geométrico e as variáveis de projeto são as coordenadas dos pontos-chave. A simetria da estrutura é garantida através da ligação de variáveis. A estrutura é analisada através de elementos isoparametricos planos. Assim, antes de realizar a análise, é necessário discretizar a estrutura em um conjunto de elementos finitos. Para realizar esta tarefa foram implementados diferentes algoritmos de geração de malhas, tanto estruturadas quanto não-estruturadas. O método de Newton-Raphson é utilizado pa- ra determinar a configuração de equilíbrio e diferentes métodos podem ser aplicados para determinar os pontos críticos. Devido aos problemas de convergência apresentados pelos métodos diretos para a determinação dos pontos crticos, um método semi-direto foi desenvolvido neste trabalho. Os resultados obtidos na análise de diferentes exemplos mostraram a adequação dos elementos finitos e dos métodos numéricos implementados. Os algoritmos de programação matemática utilizados neste trabalho precisam dos gradientes da função objetivo e das restrições, que são calculadas com base nos gradientes das respostas da estrutura. Partindo-se de equações gerais válidas para quaisquer elementos,foram desenvolvidas expressões analíticas que permitem o cálculo exato das sensibilidades de elementos finitos isoparamétricos formulados através do procedimento Lagrangiano Total. O desenvolvimento e a implementação de expressões semelhantes para elementos mais complexos é uma tarefa bastante árdua. Por outro lado, o método das diferenças fi- nitas é simples e genérico, mas muito caro computacionalmente. O método semi-analítico mantémm as vantagens da utilização de diferenças finitas e possui um custo computacional baixo, porém pode apresentar sérios problemas de preciso. Devido a estes motivos, foi desenvolvido neste trabalho um procedimento para melhorar a qualidade das sensibilidades semi-analíticas de estruturas geometricamente não-lineares. O procedimento é baseado na diferenciação exata dos movimentos de corpo rígido do elemento utilizado. Os resultados numéricos obtidos demonstraram a sua eficácia. / [en] This work presents a methodology for shape optimization of geometrically nonlinear structures. The main purpose is to avoid the stability problems generated by optimization based on linear behavior. The methodology was implemented for two-dimensional problems, and several structures were successfully optimized. Using geometrical modeling concepts, the shape of the structure is defined by its boundary curves. Therefore, parametric representation and curve definition by a set of key points are discussed in detail. Due to its flexibility in shape definition, particular attention is given to interpolation using B- splines. The optimization problem is defined based on the geometrical model and the design variables are the positions of key points. Design variable linking can be applied to enforce symmetry.The structure it is analyzed using plane isoparametric elements. Thus, is necessary to perform the discretization of the structure in a set of finite elements. Different algorithms were implemented to generate structured or unstructured finite element meshes. The standard Newton-Raphson method is applied to find the equilibrium configuration, and different methods can be used to evaluate critical points. Due to the convergence problems presented by direct methods, a new semi-direct method was developed. The numerical results show the suitability of the finite elements and numerical methods implemented in the present work.The mathematical programming algorithms used in this work require the evaluation of design sensitivities in order to compute the search direction of the optimization process.Using basic sensitivity equations, which are independent from the particular element, analytical expressions were developed for the sensitivity computation of isoparametric elements formulated according to the Total Lagrangian approach. Applying the analytical method for more complex elements is very cumbersome and error prone. On the other hand, the finite difference method is simple and generic, but its computational cost is prohibitive. The semi-analytical method preserves the advantages of the use of finite differences and has a low computational cost, but presents severe accuracy problems. Hence, a method based on the exact differentiation of the rigid body motions was developed in this work to improve the accuracy of the semi- analytical sensitivities of geometrically nonlinear structures. The numerical examples show that this method eliminates the abnormal errors presented by the semi- analytical sensitivities. / [es] Este trabajo propone una metodología para la optimización de forma de extructuras geométricamente no lineares. EL objetivo de esta metodología es evitar los problemas de inestabilidad que presentan las extructuras optimizadas de acuerdo con la formulación clásica. Ella fue implementada para problemas bidimensionales y los resultados obtenidos en la optimización de diferentes extructuras demuestran su éxito. Utilizando conceptos de modelaje geométrica, la forma de la extructura se define a través de las curvas de contorno. Así, la representación paramétrica de curvas y su definición en función de un conjunto de puntos de interpolación (puntos clave) son discutidas detalladamente. Se le da especial a la interpolación a través de B splines,debido a su gran flexibilidad. El problema de optimización se define con base en el modelo geométrico y las variables de proyecto son las coordenadas de los puntos clave. La simetría de la extructura se garante a través de la llamada de variables. La extructura se analiza a través de elementos isoparamétricos planos. Antes de realizar el análisis, es necesario discretizar la extructura en un conjunto de elementos finitos. Para realizar esta tarea fueron implementados diferentes algoritmos de generación de mallas, tanto extructuradas como no extructuradas. EL método de Newton Raphson es utilizado para determinar la configuración de equilibrio y pueden ser aplicados diferentes métodos para determinar los puntos críticos. Debido a los problemas de convergencia presentados por los métodos directos para la determinación de los puntos crticos, se desarrolló un método semidirecto. Los resultados obtenidos en el análisis de diferentes ejemplos muestran la adque los elementos finitos los métodos numéricos implementados son adequados Los algoritmos de programación matemática utilizados en este trabajo necesitan los gradientes de la función objetivo y de las restricciones, que son calculadas con base en los gradientes de las respuestas de la extructura. Partiendo de las ecuaciones generales válidas para cualesquiera elementos, fueron desarrolladas expresiones analíticas que permiten el cálculo exacto de las sensibilidades de elementos finitos isoparamétricos formulados a través del procedimiento Lagrangiano Total. EL desarrollo y la implementación de expresiones semejantes para elementos más complexos es una tarea bastante árdua. Por otro lado, el método de las diferencias finitas es simple y genérico, pero muy caro computacionalmente. EL método semianalítico mantiene las ventajas de la utilización de diferencias finitas y posee un costo computacional bajo, pero puede presentar serios problemas de precisión. Es por ello que se desarrolló en este trabajo un procedimiento para mejorar la calidad de las sensibilidades semianalíticas de extructuras geométricamente no lineares. EL procedimiento tiene como base la diferenciación exacta de los movimentos de cuerpo rígido del elemento utilizado. Los resultados numéricos obtenidos demuestran su eficacia.

[pt] O objetivo deste trabalho é complementar a ferramenta de dimensionamento de pórticos planos de concreto armado já existente no Ftool, programa educacional amplamente difundido no meio acadêmico. Para tanto, foi introduzido o cálculo e dimensionamento de pilares de concreto armado à flexão composta reta. Foi adicionada uma nova seção transversal, referente aos pilares retangulares com armaduras simétricas. Além disso, foi necessária a inclusão de um método de análise não linear geométrica simplificado que fosse compatível com a filosofia do Ftool, aliando simplicidade e eficiência: o método dos Dois Ciclos Iterativos. A ferramenta para análise não linear geométrica pode ou não ser utilizada em conjunto com a ferramenta para o dimensionamento de estruturas de concreto armado, sendo possível a análise não linear geométrica de pórticos planos constituídos de outros materiais. A metodologia utilizada para o dimensionamento dos pilares em concreto armado é a que se baseia nas zonas de solicitação e foi adequada para estar de acordo com a norma brasileira vigente, a ABNT NBR 6118:2014, assim como o dimensionamento de vigas existente em uma versão anterior dessa ferramenta. Dessa forma, é possível exibir resultados para pórticos planos compostos por vigas e pilares em concreto armado, nos mesmos moldes da versão anterior, com diagramas para as armaduras longitudinal e transversal disponíveis nos modos necessária e adotada. / [en] The main objective of this work is to complement the reinforced concrete plane frames design tool already existing in Ftool, an educational tool widely known in academia. Therefore, the design of reinforced concrete columns was introduced. A new cross section for rectangular columns with symmetrical steel reinforcement was added. In addition to that, the inclusion of a simplified nonlinear geometric analysis that was in accordance to the philosophy of Ftool, combining simplicity and efficiency, was needed: the Two cycles iterative method. The nonlinear geometric analysis tool may or may not be used together with the reinforced concrete plane frames design tool, thus allowing for geometric nonlinear analyses of plane frames of other materials. The methodology used for the reinforced concrete frames design was based on solicitation zones and was adapted to be in accordance with the Brazilian code, the ABNT NBR 6118:2014, as was the existing reinforced concrete beams design tool. It is now possible to show results for plane frames composed of reinforced concrete columns and beams just as in the previous version of the reinforced concrete design tool, showing diagrams for the necessary and adopted longitudinal and transversal steel reinforcement.

[pt] O design otimizado de estruturas considerando não-linearidades tem sido amplamente pesquisado nas décadas recentes. A análise de elementos finitos aplicada à otimização topológica é prejudicada pela deformação excessiva de elementos de baixa densidade sob alta compressão, o que impede o processo de encontrar uma solução ótima. Dois métodos, o esquema Interpolação de Energia e a técnica de Hiperelasticidade Aditiva, são implementados para superar essa dificuldade no problema de minimização da flexibilidade, e modelos de materiais hiperelásticos são usados para investigar suas influências na topologia otimizada. O Método das Assíntotas Móveis é usado para atualizar as variáves de projeto cujas sensibilidades foram calculadas pelo método adjunto. A equação de estado é resolvida através do método de Newton-Raphson com um incremento de carga ajustável para reduzir o custo computacional. Resultados de dois problemas de referência são comparado com aqueles já estabelecidos na literatura. O uso de diferentes modelos hiperelásticos apresentou pouca influência no design final da estrutura. O método de Interpolação de Energia foi capaz de convergir para cargas muito maiores que o método padrão, enquanto a Hiperelasticidade Aditiva apresentou dificuldades de convergência em estado plano de deformação. / [en] The optimized design of structures considering nonlinearities has been widely researched in the recent decades. The finite element analysis applied to topology optimization is jeopardized by the excessive deformation of low-density elements under high compression, which hinders the process of finding an optimal solution. Two methods, the Energy Interpolation scheme and the Additive Hyperelasticity technique, are implemented to overcome this difficulty in the minimum compliance problem, and hyperelastic material models are used to investigate their influence on the optimized topology. The Method of Moving Asymptotes is used to update the design variables whose sensitivities were calculated from the adjoint method. The state equation is solved through the Newton-Raphson method with an adjusting load step to reduce computational cost. Results for two benchmark problems are compared with those already established in the literature. The use of different hyperelastic models presented little influence on the final design of the structure. The Energy Interpolation method was able to converge for much higher loads than the default method, while the Additive Hyperelasticity presented convergence difficulties in plane strain.

[pt] O principal objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de um programa computacional para a analise não-linear estática e dinâmica de pórticos planos com ligações flexíveis (semi-rígidas). Inicialmente é apresentada a metodologia de solução não-linear e as formulações dos elementos finitos adotados na base computacional implementada. Em seguida, são estudados vários exemplos de sistemas estruturais estáticos com caminhos de equilíbrio fortemente não-lineares com a finalidade de testar os programas implementados. Então é apresentada a formulação do problema dinâmico com a definição das equações diferenciais ordinárias de movimento e as expressões das matrizes de massa e amortecimento. A solução desse sistema de equações diferenciais ordinárias é obtida por métodos de integração numérica implícitos ou explícitos. Alguns destes métodos são apresentados neste trabalho e incorporados ao programa computacional em conjunto com estratégias adaptativas de incremento automático do intervalo de tempo de integração (delta)t. Por fim, o sistema computacional desenvolvido é utilizado na modelagem e obtenção da resposta estrutural estática e dinâmica de alguns sistemas estruturais planos com comportamento eminentemente não-linear. Através destes resultados são analisados alguns fenômenos importantes de instabilidade estática e dinâmica, bem como possíveis mecanismos de colapso e a influência de parâmetros físicos e geométricos no comportamento estrutural. / [en] The main objective of this thesis is to develop a numerical methodology for the nonlinear static and dynamics analysis of plane frames with semi-rigid connections. Initially, the formulations of the adopted finite elements are presented and implemented together with numerical methodologies for the solution of the non-linear equilibrium equations. Then, some examples of strongly nonlinear structural systems under static loads are studied to check the methodology. Subsequently, the ordinary differential equations of motion are derived and the corresponding damping and mass matrices are presented. The solution of this system of ordinary differential equations is obtained by implicit or explicit numerical integration methods. Some of these methods are presented in this work and incorporated into the computational program together with adaptive strategies for the automatic increment of the time step (delta)t. Finally, the computational system here developed is used to study the static and dynamic response of some plain structural systems with an inherent nonlinear behavior. A detailed parametric study is carried out to identify the influence of physical and geometric parameters on the structural behavior. This enables the analysis of some important static and dynamic instability phenomena and identification of possible mechanisms of collapse.

[pt] A análise não linear de estruturas é uma tarefa de grande importância na execução de projetos eficientes e seguros, permitindo a economia de recursos materiais, ao tempo que se identifica efeitos de segunda ordem no comportamento do modelo que podem vir a ter consequências significativas. Esse tipo de análise é realizado através de algoritmos numéricos iterativos, e a visualização de resultados gráficos é essencial para auxiliar a interpretação do analista. Por isso, a análise não linear só se tornou recorrente com o advento de aplicações computacionais gráfico-iterativas. Porém, diferentemente de uma análise linear-elástica, em que os resultados fornecidos pelo programa pouco dependem do conhecimento do usuário sobre os métodos de solução, a análise não linear requer uma série de parâmetros de entrada relacionados aos métodos numéricos e, portanto, exige um conhecimento básico por parte do usuário sobre os algoritmos de solução e comportamento do modelo. Tendo isso em vista, este trabalho busca desenvolver uma ferramenta computacional de fácil uso e com uma interface gráfica simples, porém com um solver robusto, para auxiliar a aprendizagem da análise geometricamente não linear de modelos aporticados bidimensionais. Para isso o programa de análise estrutural Ftool, consagrado na comunidade de Engenharia Civil e no meio acadêmico, foi adotado para receber os novos recursos para executar a análise com não linearidade geométrica. Na nova versão do Ftool, os usuários têm a oportunidade de utilizar e testar diversas técnicas de solução do sistema não linear de equilíbrio do modelo, descritas nesse trabalho. A forma como a análise é executada permite um controle total do usuário sobre o progresso da análise. Além disso, resultados em forma de gráficos podem ser estudados no novo ambiente de plotagem do programa. / [en] Nonlinear analysis of structures is an important task for efficient and safe projects, allowing the saving of material resources and the identification of second-order effects on the behavior of structural models that may have significant consequences. This type of analysis is performed with iterative numerical algorithms, and visualization of graphic results is essential to auxiliary the interpretation of the analyst. For this reason, nonlinear analyses only became common with the advent of graphical-interactive computational applications. However, unlike a linear-elastic analysis, where the results provided by the program depend very little on the users knowledge about the solution methods, a nonlinear analysis requires a series of input parameters related to the numerical methods and thus demands a basic understanding about the solution algorithms and nonlinear structural behavior. With this in mind, this work aims to develop a user-friendly computational tool with a simple graphical interface, but with a robust solver, to assist the learning of geometrically nonlinear analysis of two-dimensional frame models. The structural analysis software Ftool, largely used by the Civil Engineering community and academia, was adopted to receive the new features to perform geometrically nonlinear analyses. In the new version of the Ftool program, students, engineers and researchers have the opportunity to use and test various solution techniques of the nonlinear system of equilibrium equations, which are described in detail throughout this work. The way the nonlinear analysis is performed allows for a full control by users over the progress of the analysis. In addition, graph results can be studied in the new plotting environment of the program.

[pt] Em muitos problemas de engenharia, e.g., no projeto de próteses biomédicas flexíveis ou em dispositivos de absorção de energia, estruturas sofrem grandes deslocamentos. Nestes casos, a não linearidade geométrica deve ser levada em conta na resposta estrutural. Contudo, algoritmos de otimização topológica considerando não linearidades, e modelados segundo o método de elementos finitos, sofrem instabilidades numéricas causadas por distorções excessivas nas regiões de baixa densidade dentro do domínio de projeto. Em particular, a matriz de rigidez pode não ser positiva definida comprometendo a convergência do processo de otimização. Esta dissertação visa estudar um esquema de interpolação entre as formulações lineares e não lineares de elementos finitos para aliviar tais distorções. Em cada etapa da otimização, para determinar a configuração de equilíbrio, o sistema de equações não-lineares é resolvido pelo procedimento de Newton-Raphson. Utilizando-se das informações dos gradientes calculadas através do método adjunto, o Método das Assíntotas Móveis é empregado para atualizar as variáveis de projeto. Por meio de problemas de referência considerando grandes deslocamentos, são demonstradas a eficácia e a eficiência deste esquema de interpolação. Mais especificamente, as topologias otimizadas estão de acordo com aquelas obtidas na literatura e exibem a dependência esperada em relação ao nível de carga. O esquema de interpolação em estudo desempenha papel crucial na solução de problemas não lineares em níveis elevados de carga, permitindo que a rotina de otimização convirja e se obtenha a distribuição de material ótima. / [en] In many engineering problems, e.g., design of flexible biomedical prostheses or energy absorption devices, structures undergo large displacements. In those problems, the structural response must take into account the geometric nonlinearity. However, topology optimization algorithms regarding nonlinearities, and based on the finite element method, typically suffer from numerical instabilities caused by excessive distortions of low-density regions within the design domain. In particular, the stiffness matrix may be no longer positive definite, which can jeopardize the convergence of the optimization process. This thesis aims to study an interpolation scheme between linear and nonlinear finite element formultation to alleviate this convergence issue. At each step of the optimization, the nonlinear state equation is solved by the Newton-Raphson procedure to determine the equilibrium configuration. Making use of the gradient information computed from the adjoint method, the Method of Moving Asymptotes is employed to update the design variables. Through several benchmark problems considering large displacements, it is demonstrated the effectiveness and efficiency of this interpolation scheme. More specifically, the optimized designs are in agreement with those obtained in the literature and exhibit correct load-level dependence. The investigated interpolation scheme plays a crucial role in the solution of nonlinear problems with high load levels, allowing the optimization routine to converge and to obtain the optimal material arrangement.