[pt] Neste trabalho, são apresentadas algumas aplicações da otimização topológica para problemas de autovalor onde o principal objetivo é maximizar um determinado autovalor, como por exemplo uma frequência natural de vibração ou uma carga crítica linearizada, usando elementos finitos poligonais em domínios bidimensionais arbitrários. A otimização topológica tem sido comumente utilizada para minimizar a flexibilidade de estruturas sujeitas a restrições de volume. A ideia desta técnica é distribuir uma certa quantidade de material em uma estrutura, sujeita a carregamentos e condições de contorno, visando maximizar a sua rigidez. Neste trabalho, o objetivo é obter uma distribuição ótima de material de maneira a maximizar uma determinada frequência natural (para mantê-la afastada da frequência de excitação externa, por exemplo) ou maximizar a menor carga crítica linearizada (para garantir um nível mais elevado de estabilidade da estrutura). Malhas poligonais construídas usando diagramas de Voronoi são empregadas na solução do problema de otimização topológica. As variáveis de projeto, i.e. as densidades do material, utilizadas no processo de otimização, são associadas a cada elemento poligonal da malha. Vários exemplos de otimização topológica, tanto para problemas de frequências naturais de vibração quanto para cargas críticas linearizadas, são apresentados para demonstrar a funcionalidade e a aplicabilidade da metodologia proposta. / [en] In this work, we present some applications of topology optimization for eigenvalue problems where the main goal is to maximize a specified eigenvalue, such as a natural frequency or a linearized buckling load using polygonal finite elements in arbitrary two-dimensional domains. Topology optimization has commonly been used to minimize the compliance of structures subjected to volume constraints. The idea is to distribute a certain amount of material in a given design domain subjected to a set of loads and boundary conditions such that to maximize its stiffness. In this work, the objective is to obtain the optimal material distribution in order to maximize the fundamental natural frequency (e.g. to keep it away from an external excitation frequency) or to maximize the lowest critical buckling load (e.g. to ensure a higher level of stability of the structures). We employ unstructured polygonal meshes constructed using Voronoi tessellations for the solution of the structural topology optimization problems. The design variables, i.e. material densities, used in the optimization scheme, are associated with each polygonal element in the mesh. We present several topology optimization examples for both eigenfrequency and buckling problems in order to demonstrate the functionality and applicability of the proposed methodology.

[pt] Neste trabalho apresentam-se três tipos de técnicas de análise do colapso estrutural através do método dos elementos finitos: análise linearizada da carga crítica, análise incremental da carga crítica e análise não linear completa. Na análise linearizada da carga crítica formulou-se um problema de autovalor empregando matrizes de rigidez baseadas na configuração indeformada da estrutura e materiais com comportamento linear elástico. No caso da análise incremental da carga crítica, o problema de autovalor foi formulado empregando matrizes de rigidez incrementais para levar em consideração os grandes deslocamentos e propriedades não lineares do material. Finalmente, na análise não linear completa a configuração deformada da estrutura e propriedades não lineares do material são atualizadas durante todo o processo incremental-iterativo até atingir a carga crítica. Desenvolveu-se uma implementação computacional para estudar as três técnicas de análise em estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos, empregando elementos isoparamétricos bidimensionais para estado plano de tensões. A configuração deformada da estrutura, devido aos grandes deslocamentos e rotações dos elementos, foi considerada através de uma formulação Lagrangeana Total, enquanto o comportamento inelástico do material foi modelado empregando um modelo elastoplástico de Von Mises (J2) com encruamento isotrópico. Nos exemplos apresentados mostrou-se a influência da não linearidade geométrica e física na estimativa de cargas críticas e no comportamento pós-crítico, podendo ocorrer bifurcações ao longo da trajetória de equilíbrio fundamental definida no espaço carga-deslocamentos. / [en] This work presents three kinds of techniques for collapse analysis using the finite element method: linear buckling analysis, nonlinear buckling analysis and full nonlinear analysis. The linear buckling analysis requires the definition of an eigenvalue problem using a stiffness matrix formulation based on the initial configuration of the structure and under the assumption of a linear elastic material behavior. In the case of nonlinear buckling analysis, the eigenvalue problem was formulated employing an incremental stiffness matrix in order to consider the effects of large displacements and nonlinear material properties in the critical load estimation. Finally, the full nonlinear analysis takes into account the deformed configuration and the nonlinear material properties of the structure, updating both of them through all the incremental-iterative process up to reaching the critical load. A Finite Element computational program, using plane stress isoperimetric bidimensional elements, was developed to study the three analysis techniques applied to plane structures such as beams, columns, frames and arches. The deformed configuration of the structure, due to large displacements and rotations, was considered through the Total Lagrangian formulation, whereas the inelastic material behavior was modeled using the Von Mises plasticity model with isotropic hardening. The examples presented in this article show the influence of geometric and material nonlinearity in the critical load estimation and the postcritical behavior, being this the reason for the potential occurrence of bifurcation points over the fundamental equilibrium path defined in the load-displacement space.