Ce mémoire présente plusieurs contributions quant à l'analyse mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii et du modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock. Au sujet de l'équation de Gross-Pitaevskii, l'analyse commence par la construction variationnelle des ondes progressives minimisantes. La preuve de la stabilité orbitale du soliton noir en dimension un, et la description de la limite transsonique des ondes progressives minimisantes vers les états fondamentaux de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili en dimension deux, viennent compléter cette construction. L'analyse s'achève par la dérivation rigoureuse du régime ondes longues vers l'équation de Korteweg-de Vries en dimension un. Quant au modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock, il s'agit de construire les états fondamentaux du modèle réduit, puis de préciser le processus de renormalisation de leur charge, lequel autorise le calcul d'un développement asymptotique de la densité de charges du vide polarisé, qui est cohérent avec les développements perturbatifs de l'électrodynamique quantique.

Le travail réalisé dans le cadre de cette thèse s'articule en deux volets. Le premier porte sur l'étude de l'effet des interactions entre atomes au sein d'un interféromètre atomique, dont la source est un condensat de Bose-Eintein. Nous présentons un modèle analytiquepermettant d'obtenir des expressions simples pour le déphasage induit par celles-ci. Ce modèle est comparé à des simulations numériques résolvant les équations de Gross-Pitaevskii couplées, et présente un excellent accord. Le second concerne la conception et la construction d'un nouveau dispositif expérimental visant à obtenir un condensat de Bose-Einteindans le but de réaliser des mesures de haute précision par interférométrie atomique. / The work performed during this thesis comprises two orientations. The first one is the study of the effect of interactions between atoms in an atom interferometer which source of atoms is a Bose-Einstein condensate. We present an analytical model allowing to obtain simple expressions for the phase shift induced by them. This model is compared to numerical simulations solving the coupled Gross-Pitaevskii equations and presents a good agreement. The second one is the design and construction of a new experimental set-up for the production of a Bose-Einstein condensate to perform high precision measurements with the use of atom interferometry.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de Gross-Pitaevskii et de Landau-Lifshitz, qui présentent d'importantes applications en physique. L'équation de Gross-Pitaevskii modélise des phénomènes de l'optique non linéaire, de la superfluidité et de la condensation de Bose-Einstein, tandis que l'équation de Landau-Lifshitz décrit la dynamique de l'aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Lorsqu'on modélise la matière à très basse température, on fait l'hypothèse que l'interaction des particules est ponctuelle. L'équation de Gross-Pitaevskii classique s'en déduit alors en prenant comme interaction une masse de Dirac. Cependant, différents types de potentiels non locaux probablement plus réalistes ont aussi été proposés par des physiciens pour modéliser des interactions plus générales. Dans un premier temps, on s'intéressera à donner des conditions suffisantes couvrant une variété assez large d'interactions non locales et telles que le problème de Cauchy associé soit globalement bien posé avec des conditions non nulles à l'infini. Par la suite, on étudiera les ondes progressives de ce modèle non local et on donnera des conditions telles que l'on puisse déterminer les vitesses pour lesquelles il n'existe pas de solution non constante d'énergie finie. Concernant l'équation de Landau-Lifshitz, on s'intéressera aussi aux ondes progressives d'énergie finie. On montrera la non existence d'ondes progressives non constantes d'énergie petite en dimensions deux, trois et quatre, sous l'hypothèse que l'énergie soit inférieure au moment dans le cas de la dimension deux. En outre, on donnera aussi dans le cas bidimensionnel la description d'une courbe minimisante qui pourrait donner une approche variationnelle pour construire des solutions de l'équation de Landau-Lifshitz. Finalement, on décrira le comportement à l'infini des ondes progressives d'énergie finie.

L'objectif de cette thèse est de fournir des bornes d'erreur pour des problèmes aux valeurs propres linéaires et non linéaires issus du calcul de structure électronique, en particulier celui de l'état fondamental avec la théorie de la fonctionnelle de la densité. Ces bornes d'erreur reposent principalement sur des estimations a posteriori. D'abord, nous étudions un phénomène de compensation d'erreur de discrétisation pour un problème linéaire aux valeurs propres, grâce à une analyse a priori de l'erreur sur l'énergie. Ensuite, nous présentons une analyse a posteriori pour le problème du laplacien aux valeurs propres discrétisé par une large classe d'éléments finis. Les bornes d'erreur proposées pour les valeurs propres simples et leurs vecteurs propres associés sont garanties, calculables et efficaces. Nous nous concentrons alors sur des problèmes aux valeurs propres non linéaires. Nous proposons des bornes d'erreur pour l'équation de Gross-Pitaevskii, valables sous des hypothèses vérifiables numériquement, et pouvant être séparées en deux composantes venant respectivement de la discrétisation et de l'algorithme itératif utilisé pour résoudre le problème non linéaire aux valeurs propres. L'équilibrage de ces composantes d'erreur permet d'optimiser les ressources numériques. Enfin, nous présentons une méthode de post-traitement pour le problème de Kohn-Sham discrétisé en ondes planes, améliorant la précision des résultats à un faible coût de calcul. Les solutions post-traitées peuvent être utilisées soit comme solutions plus précises du problème, soit pour calculer une estimation de l'erreur de discrétisation, qui n'est plus garantie, mais néanmoins proche de l'erreur. / The objective of this thesis is to provide error bounds for linear and nonlinear eigenvalue problems arising from electronic structure calculation. We focus on ground-state calculations based on Density Functional Theory, including Kohn-Sham models. Our bounds mostly rely on a posteriori error analysis. More precisely, we start by studying a phenomenon of discretization error cancellation for a simple linear eigenvalue problem, for which analytical solutions are available. The mathematical study is based on an a priori analysis for the energy error. Then, we present an a posteriori analysis for the Laplace eigenvalue problem discretized with finite elements. For simple eigenvalues of the Laplace operator and their corresponding eigenvectors , we provide guaranteed, fully computable and efficient error bounds. Thereafter, we focus on nonlinear eigenvalue problems. First, we provide an a posteriori analysis for the Gross-Pitaevskii equation. The error bounds are valid under assumptions that can be numerically checked, and can be separated in two components coming respectively from the discretization and the iterative algorithm used to solve the nonlinear eigenvalue problem. Balancing these error components allows to optimize the computational resources. Second, we present a post-processing method for the Kohn-Sham problem, which improves the accuracy of planewave computations of ground state orbitals at a low computational cost. The post-processed solutions can be used either as a more precise solution of the problem, or used for computing an estimation of the discretization error. This estimation is not guaranteed, but in practice close to the real error.

Cette thèse décrit la construction d'une nouvelle expérience de condensation de Bose-Einstein visant à obtenir un condensat de rubidium 87 et à le confiner dans un piège en anneau. Une première partie est consacrée à la description du montage. Le design de l'enceinte à vide est présenté, ainsi que le système laser qui comporte une nouvelle source basée sur le doublement de fréquence d'un laser télécom. Le refroidissement des atomes dans ce montage se fait en deux parties. Un piège magnéto optique 3D est chargé par un piège magnéto-optique 2D dans une première partie de l'enceinte, puis les atomes sont transférés dans une petite cellule de verre dans laquelle a lieu le refroidissement évaporatif et la condensation. L'étape de transfert est assurée par le transport mécanique des bobines qui génèrent le champ magnétique de piégeage, et qui sont montées sur une platine de translation motorisée. Le piège final est un piège magnétique quadrupolaire bouché par un faisceau laser à 532~nm. Le montage permet d'obtenir $2\times 10^5$ atomes de rubidium dans un condensat pur en une trentaine de secondes. La seconde partie traite de l'étude théorique d'un superfluide dans un anneau 2D au moyen de simulations numériques. On y calcule d'abord la vitesse critique de rotation par l'étude du spectre des excitations de Bogolyubov du superfluide dans l'anneau, puis on utilise une simulation de l'équation de Gross-Pitaevskii pour étudier l'établissement d'un courant permanent au moyen d'un potentiel en rotation, et la stabilité d'un tel courant en présence d'une barrière de potentiel.

Cette thèse est dédiée à l'étude des fluctuations non-linéaires dans les condensats de Bose-Einstein à deux composantes. On présente dans le premier chapitre la dynamique de champ moyen des condensats à deux composantes et les différents phénomènes typiques associés au degré de liberté spinoriel. Dans ce même chapitre, on montre que la dynamique des excitations se sépare en deux modes distincts : un mode dit de densité correspondant au mouvement global des atomes à l'intérieur du condensat et un mode dit de polarisation correspondant à la dynamique relative entre les deux espèces constituant le condensat. Ce calcul est généralisé dans le deuxième chapitre où l'on montre que le mode de polarisation persiste en présence d'un couplage cohérent entre les deux composantes. En particulier on analyse la stabilité modulationnelle du mode en déterminant, à l'aide d'une analyse multi-échelle, la dynamique des excitations non-linéaires. On montre alors que les excitations de polarisation, au contraire des excitations de densité, souffrent d'une instabilité de Benjamin-Feir. Cette instabilité est stabilisée aux grandes impulsions par une résonance onde longue - onde courte. Enfin dans le dernier chapitre, on dérive de façon non-perturbative la dynamique de polarisation proche de la limite de Manakov, dynamique quise révèle être régie par une équation de Landau-Lifshitz sans dissipation. Les équations de Landau-Lifshitz appartiennent à une hiérarchie d'équations intégrables (hiérarchie Ablowitz-Kaup-Newell-Segur) et on étudie les solutions à une phase à l'aide de la méthode d'intégration finite-gap ; on détermine notamment à l'aide de cette méthode un nouveau type de soliton pour les condensats à deux composantes. Finalement, profitant de l'intégrabilité du système, on résout le problème de Riemann à l'aide de la théorie de modulation de Whitham et on montre que les condensats à deux composantes peuvent propager des ondes de raréfaction ainsi que des ondes de choc dispersives ; on décrit notamment la modulation de ces ondes de choc par la propagation d'ondes simples et d'ondes de contact d'invariants de Riemann. / This thesis is devoted to the study of nonlinear fluctuations in two-component Bose-Einstein condensates. In the first chapter we derive the mean field dynamics of two-component condensates and we present the distinctive phenomena associated to the spinorial degree of freedom. In the same chapter, we show that the dynamics of the excitations is divided in two distinct modes: a so-called density mode which corresponds to the global motion of the atoms, and a so-called polarization mode which corresponds to the relative motion between the two species composing the condensate. The computation is generalized in the second chapter in which we demonstrate that the polarization mode remains in presence of a coherent coupling between the two components. In particular we study the modulational stability of the mode and we determine through a multi-scaling analysis the dynamics of non-linear excitations. We show that the excitations of polarization undergo a Benjamin-Feir instability contrary to the density excitations. This instability is then stabilized in the short wavelength regime by a long wave - short wave resonance. Finally in the last chapter, we derive in a non-perturbative way the polarisation dynamics close the Manakov limit.In this limit, the dynamics proves to be governed by a Landau-Lifshitz equation without dissipation. Landau-Lifshitz equations belong to a hierarchy of integrable equations (Ablowitz-Kaup-Newell-Segur hierarchy) and we derive the single-phase solutions thanks to the finite-gap method; in particular we identify a new type of soliton for the two-component Bose-Einstein condensates. Finally, taking advantage of the integrability of the system, we solve the Riemann problem thanks to the Whitham modulation theory and we show that the two-component condensates can propagate rarefaction waves as well as dispersive shockwaves; we describe the modulation of the shockwaves by the propagation of simple waves and contact waves of Riemann invariants.