L'étude et l'introduction de nouveaux systèmes dynamiques<br /> de type gradient sont l'objet central de cette thèse. Le<br /> caractère dissipatif de telles dynamiques est au coeur de<br /> nombreux domaines en mathématiques : optimisation,<br /> mécanique, équations d'évolutions en dimension infinie.<br /><br />Dans une première partie, les champs de gradients (ou de sous-différentiels<br /> de fonction convexe) sont contrôlés à l'aide d'opérateurs-barrières. <br />La motivation essentielle est d'obtenir<br /> des méthodes intérieures de descente en vue d'optimiser<br /> une fonction sous des contraintes convexes. Le cadre<br /> d'étude proposé permet d'unifier dans un même formalisme de nombreuses<br /> méthodes continues : gradient projeté, plus grande pente riemannienne,<br /> méthode continue de Newton... Parmi les conséquences de <br />la généralisation proposée, on peut, par exemple, évoquer des <br /> résultats abstraits de viabilité et de convergence globale. Toujours <br />dans cette <br />perspective, les fonctions de Legendre jouent un rôle crucial~:<br /> elles permettent d'une part de donner lieu à des structures<br /> riemanniennes possédant de nombreuses propriétés - parmi lesquelles une<br /> propriété d'intégration caractéristique remarquable -, et d'autre part, <br /> elles fournissent en dimension infinie un cadre intéressant<br /> pour l'étude de certaines équations d'évolution de type<br /> parabolique.<br /><br />La deuxième partie est consacrée à l'étude de systèmes<br /> dynamiques du second ordre en temps avec une dissipation géométrique<br /> de type hessien. Outre leur intérêt en optimisation<br /> et leurs liens avec les méthodes de type Newton, ces systèmes<br /> sont d'une grande souplesse et permettent d'approcher certains <br />phénomènes non-lisses en mécanique unilatérale. En guise d'application,<br /> il est en effet prouvé que les systèmes considérés permettent <br />d'obtenir à la limite des dynamiques <br />satisfaisant des lois de chocs inélastiques. Les<br /> perspectives de cette étude ouvrent en particulier la voie à une approche <br />alternative de certains systèmes d'inégalités variationnelles de type <br />hyperbolique.<br /><br /><br />L'une des préoccupations majeures de cette thèse est la question<br /> de la convergence des orbites des systèmes étudiés. Dans le <br /> cadre de la minimisation convexe, quasi-convexe, ou analytique, de nombreux<br /> résultats sont proposés : convergence globale, , <br />vitesse de convergence, contrôle asymptotique, attractivité des <br /> minima sous contraintes en dimension infinie.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En articulier, nous prenons en compte les effets de onductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. \\\\ Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. \\\\ Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. \\\\ Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe.Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel.