Η παρούσα εργασία έχει ως θέμα τη μαθηματική απόδειξη και την διαδικασία επίλυσης προβλήματος. Στόχος της είναι αρχικά, να παρουσιάσει το θεωρητικό υπόβαθρο που διέπει αυτά τα δύο θέματα και να κάνει μια σύγκριση ώστε να αναδειχθούν οι διαφορές τους και οι ομοιότητες τους. Στην συνέχεια, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση των Αναλυτικών Προγραμμάτων και των διδακτικών εγχειριδίων των Μαθηματικών του Λυκείου για το χρονικό διάστημα από τα τέλη της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα έχοντας ως κύριο άξονα, την απόδειξη και την επίλυση προβλήματος. Κατόπιν, με την βοήθεια μιας δραστηριότητας κατάλληλα διαμορφωμένης εξετάζετε ο ρόλος των παραπάνω στους μαθητές και τέλος, γίνετε μια σύντομη ανάλυση της Γραμμικής και Δομικής μορφής της απόδειξης, όπως αυτή είχε προταθεί από τον Uri Leron και μια συγκριτική παρουσίαση των αποδείξεων κάποιων θεωρημάτων του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου (Αργυρόπουλος Η.) και με τις δύο μορφές. / The objective of this Master Thesis is the presentation of the Mathematical Proof and Problem Solving. Its aim is initially to present the theoretical background behind these two issues and a comparison between the Mathematical Proof and Problem Solving with respect to their similarities and differences takes place. Then a brief presentation of the curriculum programs as well as the school books of mathematics is given. This presentation is about the time period from the late decade of 1980 up to date, mostly concerning the Mathematical Proof and Problem Solving. Moreover, using a suitably formulated activity, the role of the above over the students is studied. Finally, a concise analysis of Linear and Structural style of proof as it suggested by Uri Leron is given. The thesis is completed with the presentation of three theorems along with their proofs (Linear style) as they are stated in the section of "Inequality Relationships" of Geometry school book of A Lyceum class (Αργυρόπουλος Η. 2008), while for each proof its Structural style is also given.

Υπάρχουν πολλές ερευνητικές εργασίες σε σχέση με τη συμπεριφορά των μαθητών στην ατζέντα της επίλυσης προβλήματος. Η πλειονότητα αυτών των εργασιών αναφέρεται σε φοιτητές πανεπιστημίου ή σε μαθητές των τελευταίων τάξεων της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Όσες από αυτές καταπιάνονται με μικρότερους μαθητές δίνουν περισσότερο έμφαση στη συμπεριφορά των μαθητών σε αντιπαραβολή με συγκεκριμένα στοιχεία της επίλυσης προβλήματος όπως η διατύπωση εικασιών, η επαλήθευση ή η λήψη αποφάσεων. Επιπλέον στα πλαίσια αυτής της παράδοσης της επίλυσης προβλήματος δε συνηθίζεται να δίνεται έμφαση σε κάποιο συγκεκριμένο μαθηματικό θέμα. Έτσι προτείνεται από την παρούσα εργασία η Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια (ΕΠΣΕ) (στην περίπτωσή μας αυτήν του εμβαδού) η οποία σε ένα πρώτο στάδιο μέσα από μια σειρά προβλημάτων με κοινό εννοιολογικό υπόβαθρο εφοδίασε τους μαθητές- λύτες με μια συλλογή τεχνικών σχετικών με τη συγκεκριμένη έννοια. Αργότερα η χρήση των τεχνικών αυτών δεν ενίσχυε πια την έννοια, και αντί γι αυτό οι λύτες ενέπλεξαν την καλή γνώση της έννοιας που πια κατείχαν προκειμένου να οργανώσουν τις γνωστές μεθόδους τις σχετικές με την έννοια ώστε να δρομολογήσουν στρατηγικές που θα οδηγούσαν στη λύση. Αυτή η πλατφόρμα της ΕΠΣΕ υποστηρίζει την επιχειρηματολογία του λύτη και οδηγεί στην ανάπτυξη ιδιαίτερα εντυπωσιακών στρατηγικών. Τα παραπάνω αποκτούν ενδιαφέρον και για έναν ακόμη λόγο, αυτόν της συμβολής του υπολογιστικού περιβάλλοντος σε κάποια από τα στοιχεία της επίλυσης προβλήματος, όπως αυτό της επαλήθευσης, όπου καταγράφηκαν τα περιθώρια που παρέχει ένα τέτοιο περιβάλλον για την ανάπτυξη επαληθευτικών διαδικασιών σε μεγάλη συχνότητα και ποικιλία ως προς τη μαθηματική τους βαρύτητα. Τέλος η πλατφόρμα που παρουσιάζουμε στην εργασία αυτή, αφήνεται ως ανοιχτή ιδέα για την εφαρμογή της και σε άλλες έννοιες πέρα από το εμβαδόν, του οποίου η περίπτωση πιστεύουμε ότι αποτελεί ένα καλό υπόδειγμα / There are many studies concerning students' behavior in the problem solving agenda. The majority of them refers either to college students or students of upper secondary school. Some of them who deal with younger pupils give more emphasis to the students' behavior vis-a-vis with certain problem solving elements such as conjecturing, verification or decision making. Moreover, this problem solving traditiondoes not usually stress a constant mathematical theme. This is why we propose the term 'Problem Solving Ancillary to a concept' (APS) in our case that of area. In a first stage APS equippes students-solvers with a set of techniques relevant to the specific concept through a series of problems with common conceptual backdrop (in our case that of the area). Later the usage of these techniques does not enhance the concept any more. Instead of this the solvers involved their knowledge of the concept they already possessed in order to organize the known methods that were relevant to the concept so as to set up effective strategies that could solve the problem. The APS platform gives an unusual support to solvers' reasoning and this results to developing quite impressive strategy-making. There is one more reason making all of the above mentioned important: the contribution of the computer environment to some of the problem solving elements such as verification. We recorded and present the development of verification processes in this environment. These processes were more frequent and in a great variety compared to the ones in paper and pencil environment. Finally APS-platform is presented as an open idea beyond area. The case of area however is an excellent example towards this perspective.

Σε αυτή την εργασία μελετώνται οι διαφορές μεταξύ της δια ζώσης και της εξ αποστάσεως συνεργασίας στα πλαίσια μιας υπολογιστικά υποστηριζόμενης άσκησης μοντελοποίησης. Ένα μαθηματικό πρόβλημα σχεδιάστηκε και δόθηκε στους συμμετέχοντες. Εξετάστηκε σε βάθος η διαδικασία μοντελοποίησης στο ModellingSpace, ένα υπολογιστικά υποστηριζόμενο και συνεργατικό περιβάλλον μάθησης. Δεκαέξι μαθητές γ’ Γυμνασίου συμμετείχαν στην έρευνα και δούλεψαν σε δυάδες. Οι μισές δυάδες εργάστηκαν δια ζώσης, ενώ οι υπόλοιπες δούλεψαν εξ αποστάσεως. Η ανάλυση δεδομένων εστίασε στην αναγνώριση γνωστικών στρατηγικών μοντελοποίησης. Τα αποτελέσματα προτείνουν ότι οι δυάδες που εργάστηκαν εξ αποστάσεως έδωσαν έμφαση στην ανάλυση και στη σύνθεση, καθώς παρουσίασαν υψηλότερη μαθησιακή απόδοση (διαφορά προτεστ και μετατεστ), ενώ οι δια ζώσης δυάδες χρειάστηκαν την υποστήριξη του δασκάλου και παρουσίασαν ισχυρότερες κοινωνικές αλληλεπιδράσεις. Παρόλο το γεγονός ότι οι ενέργειες των δυάδων δια ζώσης ήταν περισσότερες σε αριθμό, οι δυάδες που εργάστηκαν εξ αποστάσεως φαίνεται ότι εστίασαν περισσότερο στη δραστηριότητα. Σχετικά με τις αλληλεπιδράσεις και στις δύο ομάδες παρουσιάστηκε διερευνητική ομιλία προς την επίλυση του προβλήματος. Επιπλέον λιγότερες φάνηκαν να είναι οι διαφωνίες μεταξύ των συνεργατών. Τα αποτελέσματα μπορούν να δώσουν ερμηνείες για τη σχεδίαση μαθησιακών προγραμμάτων και για τη διευκόλυνση των συνεργατικών δραστηριοτήτων. / In this study, the differences between online and face-to-face collaboration in the context of a computer-supported modeling task are examined. A mathematical problem was designed and given to the participants. Their modeling process using ModellingSpace, a collaborative computer-supported educational environment, was closely monitored. Sixteen ninth grade students participated in the study, who worked in groups of two. Half of the groups worked face-to-face, whereas the rest collaborated online. The data analysis focused on the identification of cognitive modeling strategies. The obtained results suggest that pairs who worked online emphasized on analysis and synthesis and demonstrated a higher learning gain, whereas face-to-face pairs needed the teacher’s support and demonstrated stronger social interaction. Despite the fact that the actions of face-to-face dyads were more in number, the dyads that worked online seemed to present more task oriented actions. Regarding the interactions, in both groups a mutual exploration of the problem is depicted. Moreover, few disagreements were observed. The findings, which are discussed extensively, may have a number of implications for the design of learning programs and the facilitation of collaborative tasks.

Στην παρούσα έρευνα αναπτύχθηκε και εφαρμόστηκε ένα ψυχοεκπαιδευτικό πρόγραμμα για παιδιά δημοτικού. Ο στόχος ήταν η κατανόηση από μέρους των παιδιών των αλλαγών που έχουν συντελεστεί στο κοινωνικό και οικογενειακό περιβάλλον, λόγω της οικονομικής κρίσης και η ενδυνάμωσή τους για σωστή διαχείριση των παραπάνω αλλαγών. Σχεδιάστηκε και υλοποιήθηκε ένα ψυχοεκπαιδευτικό πρόγραμμα έξι συναντήσεων βασισμένο στις αρχές της Θετικής ψυχολογίας και της Γνωσιακής – Συμπεριφοριστικής ψυχολογίας. Οι συμμετέχοντες διδάχτηκαν στρατηγικές και δεξιότητες διαχείρισης της οικονομικής κρίσης. Από τη στατιστική ανάλυση των ποιοτικών και ποσοτικών στοιχείων των ερωτηματολογίων που συμπληρώθηκαν από τους συμμετέχοντες στο ψυχοεκπαιδευτικό πρόγραμμα εξήχθησαν τα παρακάτω συμπεράσματα: Οι περισσότεροι από τους συμμετέχοντες έμαθαν τις έννοιες των βασικών όρων της οικονομικής κρίσης. Εξέφρασαν τα συναισθήματά τους και αντιλήφθηκαν τις σωματικές αντιδράσεις που τα συνοδεύουν. Επίσης, φάνηκε μια τάση ανάπτυξης των τριών αξόνων της Θετικής ψυχολογίας δηλαδή, της ικανοποίησης από τη ζωή, της ευτυχίας και της αισιοδοξίας τους. Τέλος, έδειξαν κατανόηση των στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων. / In this survey was developed and implemented a psycho educational program for primary school children. The goal was the understanding, from the children, of changes that have occurred in the social and family environment due to the economic crisis and their empowerment for proper management of these changes. A six meetings psycho educational program has been designed and implemented based on the principles of positive psychology and cognitive-behavioral psychology. Participants were taught strategies and economic crisis management skills. From the statistical analysis of qualitative and quantitative data of the questionnaires that were completed by the participants, the following conclusions were reached: Most of the participants learned the concepts of key terms of the economic crisis. They expressed their feelings and perceived physical reactions that accompany them. Moreover a development trend of the three pillars of positive psychology was demonstrated, that is, life satisfaction, happiness and optimism. Finally, they showed understanding of problem solving strategies.