Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Πατρών και έθεσε ως κεντρικό ζήτημα τη διερεύνηση της ικανότητας που διαθέτουν οι υποψήφιοι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, ως προς τη χρήση των αναπαραστάσεων και ειδικότερα τη χρήση των αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλημάτων με κλάσματα. / This paper has been prepared within the Graduate Program of the Department of Education of the University of Patras and has os main issue to investigate the representational competence of pre-service teachers, and particularly the use of representations to solve problems with fractions.

Η συγκεκριμένη μελέτη περίπτωσης πραγματοποιήθηκε στην Γ΄τάξη ενός επαρχιακού Δημοτικού σχολείου. Ο στόχος ήταν να ερευνηθεί ο βαθμός κατανόησης από τους μαθητές, της έννοιας του κλάσματος ως αριθμού,του συμβολισμού του κλάσματος και των ισοδύναμων κλασμάτων, μετά από διδασκαλία με βάση το σχολικό βιβλίο και λαμβάνοντας υπόψιν τις υποδείξεις και προτάσεις του βιβλίου του δασκάλου. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι σημειώθηκαν οι "αναμενόμενες" και, από άλλες έρευνες, δυσκολίες, στην έννοια των ισοδύναμων κλασμάτων, στην τοποθέτηση κλασμάτων στην αριθμογραμμή και στη χρήση, κατά τη διδασκαλία, σκίτσων - νομισμάτων. Αξιοσημείωτη είναι η δυσκολία που αντιμετώπισαν οι μικροί μαθητές στις μετατροπές κλασμάτων σε δεκαδικούς αριθμούς ή άλλα κλάσματα. Τέλος, η χρήση χειροπιαστών αντικειμένων κατά τη διδασκαλία, έπαιξε καταλυτικό ρόλο στην κατανόηση των εννοιών. / The sample case study was assessed in the C class of a Provincial Community Primary school. The aim of the study was to examine the degree of the pupils' comprehension of the concept of a fraction as a numerical figure, the symbolism of the fraction and the equivalent fractions after having been taught based on the school book and taking into account the directions and suggestions stated in the teachers' book. The results of the study showed similar expected outcomes as with other studies, that is, the difficulties to perceive the meaning of equivalent fractions, to set fractions up the number-line and the use of pictures of coins during tuition. It is worth noting the difficulty the young pupils faced with the conversion of fractions into decimal numbers or other fraction numbers. Finally, the use of manipulative objects during tuition played a significant role in the understanding of the concepts.

Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία της θεωρίας των συνεχιζόμενων κλασμάτων και στη συνέχεια αναπτύσσονται οι αλγόριθμοι που επιτρέπουν την εκτέλεση πράξεων μεταξύ συνεχιζόμενων κλασμάτων και ρητών αριθμώ,αλλά και μεταξύ συνεχιζόμενων κλασμάτων. / In this thesis we describe the basic theory of continued fractions and describe the algorithms that enable us to perform arithmetic operations with continued fractions and rational numbers,as well as with continued fractions.

Συνδέουμε τα Συνεχή Κλάσματα με τα Ορθογώνια Πολυώνυμα. Ξεκινώντας από τον Stieltjes και το ομώνυμο "Πρόβλημα Ροπών", φτάνουμε μέχρι τις μέρες μας μελετώντας αυτή τη σχέση με μεθόδους Συναρτησιακής Ανάλυσης. / We study the connection between Continued Fractions and Orthogonal Polynomials. We start from Stieltjes and his "Moment Problem". Then we present Chain sequences, methods of Functional Analysis and the Birth-Death processes.