- / -

- / -

Αντικείμενο της διπλωματικής είναι ο σχεδιασμός μιας βέλτιστης διάταξης του Ελληνικού πληκτρολογίου. Μετά από ανάλυση των υπαρχόντων πληκτρολογίων και των αρχών διάταξής τους, θέτουμε τις αρχές του κενού, και των βαρών των θέσεων του πληκτρολογίου. Μετά αναλύεται η συχνότητα των γραμμάτων στα ελληνικά κείμενα και οι κινήσεις που μπορούν να κάνουν τα δάχτυλα και το πόσο δύσκολο είναι να γίνουν. Έτσι, δημιουργούμε ένα πληκτρολόγιο με τα «βάρη» των γραμμάτων και πάνω σε αυτό τοποθετούμε τα γράμματα ανάλογα με τη συχνότητα τους. Το αποτέλεσμα αξιολογείται με βάση την λειτουργικότητα του καινούργιου πληκτρολογίου. Φαίνεται να είναι 33% καλύτερο από το ήδη υπάρχον. / Subject of this thesis is the design of new functional layout of the Greek keyboard. After analyzing the current keyboards and their designing principles, new ones are founded: the principle of space and the principle of difficulty of keystrokes. Next step is to analyze the frequency of greek letters and the movements the human finger can do and how difficult they are. We then create a keyboard based in this difficulty and the frequency of the letters. The result is rated by its functionality and it seems to be 33% better than the existing layout.

- / -

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η πειραματική μελέτη των κυμάτων ιονισμού που παράγονται από ηλεκτρικές εκκενώσεις σε ανομοιογενές ηλεκτρικό πεδίο. Συγκεκριμένα, εξετάζουμε τη δημιουργία και διάδοση των streamer στις ηλεκτρικές εκκενώσεις του αζώτου και του ατμοσφαιρικού αέρα. Οι παράμετροι που καθορίζουν την εξέλιξη της εκκένωσης είναι η κατανομή του πεδίου, η πίεση και η φύση του αερίου το οποίο μελετάμε. Στο κεφάλαιο 1 γίνεται μια εισαγωγή στους φυσικούς μηχανισμούς των ηλεκτρικών εκκενώσεων καθώς και στις χαρακτηριστικές V-I αυτών και θα παρουσιαστούν συνοπτικά τα «φωτεινά-οπτικά» χαρακτηριστικά τους. Βάση για όλες τις θεωρίες που πραγματεύονται την παραγωγή πλάσματος συνιστά η θεωρία Townswed. Σύμφωνα με αυτή, τα αέρια κατά την εφαρμογή μιας κρίσιμης τιμής τάσης παύουν να είναι μονωτές, υφίστανται ηλεκτρική διάσπαση και μετατρέπονται σε αγωγούς. Προτείνεται έτσι μια πολύ καλή εξήγηση των μηχανισμών των ηλεκτρικών εκκενώσεων που αφορά όμως, μόνο τα ομογενή πεδία. Η πλήρης ερμηνεία τους επιτυγχάνεται με τη θεωρία των κυμάτων ιονισμού (streamer) που λαμβάνει υπόψην τα μη αμελητέα φορτία χώρου στα οποία εξάλλου και αποδίδει τη μεγάλη ταχύτητα διάδοσης του φαινομένου. Συμπληρωματικά, παρουσιάζεται συνοπτικά η εκκένωση αίγλης που συνιστά κατηγορία φαινομένων που αναπτύσσονται όταν το ρεύμα που διαρρέει το διάκενο γίνεται σημαντικό (Ι>10 μΑ), δηλαδή όταν το κύριο χαρακτηριστικό της εκκένωσης είναι η έντονη παραμόρφωση του ηλεκτρικού πεδίου που προκαλείται από το φορτίο χώρου που συσσωρεύεται στο διάκενο. Στο κεφάλαιο 2 περιγράφεται πλήρως το εργαστήριο, η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε, τα όργανα των μετρήσεων καθώς και τα αέρια που εξετάζουμε. Κατόπιν, αναφέρονται συνοπτικά τα στάδια που πειράματος καθώς οι δυσκολίες που συναντήθηκαν. Επιπλέον, διερευνάται η ευστάθεια της ηλεκτρικής εκκένωσης που εξαρτάται κυρίως από την επιλογή της αντίστασης φορτίου . Στο κεφάλαιο 3, παρουσιάζονται τα πειραματικά αποτελέσματα για τις ηλεκτρικές εκκενώσεις του αζώτου και του ατμοσφαιρικού αέρα για πιέσεις 1-100mbar. Μελετάται η συμπεριφορά των εκκενώσεων για μεταβολές του διακένου, της ανόδου και της καθόδου όπως αυτά αναδεικνύονται από τις χαρακτηριστικές καμπύλες V-I αλλά και τα αντίστοιχα παλμογραφήματα. Συμπληρωματικά, σχολιάζονται τα ηλεκτρικά και τα οπτικά χαρακτηριστικά τους και επιχειρείται σύγκριση μεταξύ των δύο αερίων. Καθοριστική για την εξέλιξη της εκκένωσης επιβεβαιώνεται ότι είναι η φύση, εν προκειμένω η ηλεκτραρνητικότητα ή μη, του κάθε αερίου καθώς και το υλικό της καθόδου και η πίεση, φυσικά. Στο κεφάλαιο 4 γίνεται μια ανακεφαλαίωση των παρατηρήσεων που προέκυψαν από το πείραμα και παρουσιάζονται κάποιες σκέψεις. Γίνεται προσπάθεια να αντιστοιχεί κάθε μια περιοχή της εκκένωσης στην αντίστοιχη που προβλέπεται από τη θεωρία. Στο κεφάλαιο 5, παρουσιάζεται η αρχή λειτουργίας του φωτοπολλαπλασιαστή. Τέλος, παρουσιάζεται η βιβλιογραφία. / The purpose of the present assignment is the experimental study of the streamers which are produced by electrical discharges at inhomogeneous electrical fields. Specifically, we examine the creation and spreading of the streamers at the electrical discharges of pure nitrogen and atmospheric air. The parameters which define the discharge’s evolution are the field’s allocation, the pressure and the nature of the gas. In chapter 1, an introduction to the physic mechanism of the electrical discharges and the characteristic curves V-I takes place. Their light and optical characteristics are presented, as well. The basis for all the theories that deal with plasma’s production is Townsed’s theory. According to this, gases subsisting a crucial value of voltage stop being insulators, incur an electrical disruption and become conductors. Thus, a very nice explanation of the mechanisms of the electrical discharges is suggested but it refers only to the homogeneous fields. Full interpretation is achieved through the streamers’ theory which takes the space charges into consideration and attributes to them the great spreading’s velocity of the phenomenon. Additionally, the glow discharges are presented. Glow discharges constitute a category of phenomena which evolve when the current in the gap becomes significant. In other words, they evolve when the discharge’s main characteristic is the intense distortion of the electrical field because of the space charges. In chapter 2, the lab, the experimental set-up, the machinery used and the gases are described. Moreover, the experiment’s steps and the difficulties we met are briefly reported. Furthermore, the stability of the discharge that depends on the load resistance is examined. In chapter 3, we present the experimental results concerning the electrical discharges of nitrogen and atmospheric air for pressures 1-100 mbar. The behavior of the discharges is studied while changing the gap, the anode, the cathode and is highlighted at the curves V-I and the oscillograph. In addition, we comment on the electrical and optical characteristics of the discharges and a comparison between the two gases is attempted. The nature of the gas turns out to be significant to the evolution of the discharge (the existence of electronegativity makes a difference). The same thing happens with the cathode’s material and the pressure, too. In chapter 4, we sum up the remarks on the experiment and present some thoughts and questionings. An effort to match the discharge’s regions to the counterpart ones predicted by the theory also takes place. Finally, in chapter 5, the principles of the photomultiplier are explained. Last but not least, the bibliography that has been used is presented.

- / -

- / -

Η παρούσα μελέτη εδράζεται κυρίως σε σχόλια του Πρόκλου μέσα από την εκτενή πραγματεία του Εις τον Τίμαιον Πλάτωνος όπου διαπιστώνουμε ότι ως εν ταυτώ επιστήμων και μεταφυσικός προσεγγίζει το φυσικό περιβάλλον με βάση ένα παράδειγμα τελολογικό, θείων προδιαγραφών σύμφωνα με το οποίο εντοπίζει στις διαδικασίες του μία προϊούσα βελτιωτική εξέλιξη, η οποία θα το οδηγήσει μέσα από αυστηρές κανονικότητες στην ολοκλήρωσή του. Είναι μάλιστα χαρακτηριστικό το ότι, με το να αποδίδει στο κοσμικό σύμπαν και προσωπικά ιδιώματα, το παρουσιάζει να αρθρώνεται στην εξέλιξή του με ορμικά, βουλητικά και έλλογα στοιχεία. Παρουσιάζει δηλαδή ένα σύμπαν να αφομοιώνει βαθμιαία το σύνολο των θείων χορηγιών και να πορεύεται με συνειδητό τρόπο στην πραγμάτωση των δυνατοτήτων που άνωθεν έχει λάβει. Παρ’ όλο που ο Πρόκλος επιμένει ιδιαίτερα στο να χρησιμοποιεί τα μαθηματικά και την φυσική επιστήμη, οι τελικές εκτιμήσεις του σε κάθε περίπτωση είναι θεολογικές, με ισχυρή πάντως την στήριξη της φιλοσοφίας τόσο από πλευράς ιστορικής όσο και συστηματικής. Προβάλλει ένα σύμπαν το οποίο συνεχώς πορεύεται στο να εξομοιωθεί με το θείον και έτσι να υπερβεί τις όποιες ατέλειες έχει, οι οποίες περιορίζουν – έστω και όχι σε μόνιμη βάση - την ανταπόκρισή του στην πληρότητα. Από έναν τέτοιο σχεδιασμό απουσιάζουν το οιοδήποτε μοντέλο περιγραφής που στηρίζεται στην τυχαιότητα, η επιμονή στον εντοπισμό απόλυτα προβλέψιμων καταστάσεων μηχανιστικής μετάβασης από το προηγούμενο στο επόμενο και η αναζήτηση νόμων που έχουν αποκλειστικά και μόνον φυσικοεμπειρική εξήγηση και κινούνται στον ορίζοντα της τυπικής επαναληπτικότητας. Υπό τους ανωτέρω όρους, θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι διατυπώνεται μία θεωρία του οικοκεντρισμού καθώς το φυσικό περιβάλλον αντιμετωπίζεται ως ολότητα οργανική, όπου αναγκαστικά αποκλείονται οι διορθωτικές παρεμβάσεις μιας τάξης ορισμένων όντων σε βάρος κάποιων άλλων αφού δεν αποδίδεται προτεραιότητα σε κυριαρχικού τύπου ιεραρχήσεις αλλά σ’ εκείνη την αμοιβαιότητα που διασώζει την ιδιαιτερότητα των συμβαλλομένων παραγόντων. Τα ανωτέρω, μάλιστα, συναρτώνται με μία επιμελημένη οριοθέτηση του ζητήματος περί των αξιών και των γενικότερων προϋποθέσεων που συστηματικά το διαμορφώνουν. / The present study is grounded upon Proclus’ comments in his On Plato’s Timaeus. Taking the point of view of both a metaphysician and scientist, Proclus approaches to the problem of natural environment on the basis of a teleological and theological paradigm. According to that paradigm, the environment is subject to a process of development thanks to which (and by means of austere regularities) it will be lead to its accomplishment. It is suggestive that Proclus assigns to cosmos/universe personal features and, hence, attributes to it features of a rational and willing nature. In this way, the universe is presented as gradually absorbing the whole of divine assignments and as processing, in a conscious way, towards the realisation of the possibilities it has been endowed with. Even though Proclus keeps on using mathematics and physical sciences, his final claims are theological, albeit supported by philosophical claims with historical and systematic character. The universe tends to be assimilated with the divine and to overcome thereby the deficiencies which limit, though temporarily, its fulfilling the demand of integrity. In Proclus’ system there is no pattern of accidental outcomes, no reference to explanations of mechanical character and no appeal to mere physico-empirical laws which explain physical regularities. The present study claims that Proclus formulates an eco-centric theory, since the physical environment is considered an organic totality, within which there is no place for interventions at the expense of undermining a certain kind of beings and, correlatively, for any privilege accorded to hierarchically higher kinds of beings. Instead, this universe is grounded on such mutual a dependence which presupposes the particularity of beings.

Γίνεται αναφορά στην Ιστορία της έννοιας του καθολικού, του συγκεκριμένου καθολικού, και της Θεωρίας Κατηγοριών. Κατόπιν, παρουσιάζεται η απόπειρα τυποποίησης μέσω της Θεωρίας των Κατηγοριών εννοιών με το οντοτολογικό status του συγκεκριμένου καθολικού, όπως και η χρήση της έννοιας του συγκεκριμένου καθολικού ως ερμηνείας κάποιων καθολικών κατασκευών που απαντώνται στη Θεωρία Κατηγοριών. / Category theory as mathematical theory of concrete universals and concrete universality as an interpretation of universal objects in special categories.

Σε αυτήν την εργασία, προσεγγίζουμε την συνύπαρξη δύο βασικών αλγεβρικών δομών για τις ανάγκες επίλυσης πολλών προβλημάτων των σύγχρονων Μαθηματικών. Οι δομές αυτές είναι οι ομάδες και τα γραφήματα, που με την ταυτόχρονη χρήση τους μας οδήγησαν στην μελέτη των G-γραφημάτων. Ειδικότερα θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο η θεωρία ομάδων βοηθά στην μελέτη των γραφημάτων και πως η θεωρία γραφημάτων ανταποδίδει τη βοήθεια αυτή. Όλα αυτά, προσδιορίζονται-μελετώνται και επεκτείνονται με την υποστήριξη που προσφέρει στις μέρες μας η Υπολογιστική Άλγεβρα. Ο κλάδος αυτός των μαθηματικών υποβοηθούμενος από αλγορίθμους και υπολογιστικά αλγεβρικά συστήματα καθοδήγησε και υποστήριξε την μελέτη «δύσκολων» προβλημάτων. Αναμένεται να επεκτείνει τη μελέτη και την επίλυση και άλλων ανοικτών προβλημάτων στο μέλλον. Αναδεικνύεται κατά αυτό τον τρόπο, η αξία και η σπουδαιότητα της χρήσης υπολογιστικών μεθόδων ως σημαντικού εργαλείου στην μελέτη γραφημάτων και ομάδων. Η εργασία έχει οργανωθεί σε εννέα κεφάλαια. Αρχικά γίνεται αναφορά στην Υπολογιστική Άλγεβρα. Υπολογιστική Άλγεβρα είναι ο κλάδος των Μαθηματικών ο οποίος ασχολείται με τις τεχνικές που εκτελούν τους αλγεβρικούς υπολογισμούς με την βοήθεια των υπολογιστών. Η λογική διαδικασία που χρησιμοποιεί φτιάχνεται από τις βασικές θεωρίες των μαθηματικών θεμάτων που επεξεργάζονται και επεκτείνονται από : 1) αλγορίθμους και δομές δεδομένων 2) γλώσσες προγραμματισμού και συστήματα λογισμικού 3) μέσα διασύνδεσης ανάμεσα στα αλγεβρικά υπολογιστικά συστήματα και τους χρησιμοποιούμενους αλγορίθμους. Οι «υπολογισμοί» πάνω σε διάφορα θέματα, είχαν απασχολήσει τον άνθρωπο από τα παλιά χρόνια γιατί πάντα ήθελε να δώσει λύσεις στα προβλήματά του. Στις μέρες μας, υπολογίζουμε περισσότερο για ερευνητικούς λόγους, για να επεκτείνουμε τους ήδη υπάρχοντες αλγορίθμους σε ευρύτερες περιοχές και για να επιλύσουμε σύγχρονα προβλήματα της επιστήμης. Πολλά από τα προβλήματα που σήμερα είναι “μη επιλύσιμα” στα Μαθηματικά, αφορούν στις Ομάδες. Στα Μαθηματικά Ομάδα (group) είναι ένα σύνολο, μαζί με μία διμελή πράξη (όπως ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση) που ικανοποιούν βασικά αξιώματα που περιγράφονται λεπτομερώς στο κεφάλαιο 2 της εργασίας. Η σημασία των ομάδων στα Μαθηματικά είναι μεγάλη. Πολλά από τα αντικείμενα που ερευνώνται στα μαθηματικά είναι ομάδες. Γνωστά σύνολα αριθμών, όπως οι ακέραιοι, οι ρητοί, οι πραγματικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί εφοδιασμένα με την πράξη της πρόσθεσης είναι ομάδες. Η θεωρία ομάδων θεμελιώνει τις ιδιότητες αυτών των συστημάτων και ανακαλύπτει πολλές άλλες. Τα αποτελέσματά της είναι ευρέως εφαρμόσιμα. Σημαντική αναφορά γίνεται στην ομάδα των μεταθέσεων n αντικειμένων (συμμετρική ομάδα) και την εναλλακτική ομάδα (είναι η ομάδα άρτιου αριθμού μεταθέσεων η αντικειμένων). Ενδιαφέρον θέμα είναι η δημιουργία νέων ομάδων από τις παλιές. Έτσι γίνεται σημαντικός ο ρόλος της υποομάδας, αλλά και των διαμερίσεων των ομάδων, πράγμα που επιτυγχάνεται ικανοποιητικά με την βοήθεια των «συνσυνόλων», της υποομάδας και των τροχιών (orbits). Ιδιαίτερο ρόλο στην θεωρία των ομάδων παίζουν οι μορφισμοί που μελετούν τις σχέσεις ανάμεσα στις ομάδες και ορίζονται με ειδικές συναρτήσεις οι οποίες παίρνουν αντικείμενα από μία ομάδα και τα αντιστοιχούν σε μία άλλη Εξετάζοντας τους μορφισμούς μας επιτρέπεται να κάνουμε σημαντική ανάλυση των σχέσεων ανάμεσα στις ομάδες. Επίσης οι μορφισμοί με τις αντιστοιχίσεις τους συνδέουν τις ομάδες με τα γραφήματα. Οι ομάδες υπογραμμίζουν πολλές άλλες αλγεβρικές δομές όπως τα πεδία και τα διανύσματα χώρου. Είναι επίσης σημαντικά εργαλεία για την μελέτη της συμμετρίας σε όλους τους τύπους. Η άποψη ότι η συμμετρία ενός αντικειμένου σχηματίζει μια ομάδα είναι θεμελιώδης για πολλά Μαθηματικά. Γι αυτές τις αιτίες η Θεωρία ομάδων είναι μια σημαντική περιοχή στα μοντέρνα μαθηματικά και με πολλές εφαρμογές σε άλλους κλάδους όπως η φυσική. Τα γραφήματα(graphs), τα κατευθυνόμενα γραφήματα (directed graphs) και τα δέντρα (trees) εμφανίζονται σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών και της επιστήμης των Υπολογιστών. Το κεφάλαιο 3 καλύπτει αυτά τα θέματα. Το γράφημα πολλών προβλημάτων, που αναφέρονται σε διακριτά αντικείμενα και διμελείς σχέσεις, είναι μία πολύ βολική μορφή αναπαράστασης. Αυτό μας οδήγησε στην μελέτη της θεωρίας των γραφημάτων. Τα γραφήματα έπαιξαν και παίζουν σημαντικότατο ρόλο στην ανάπτυξη αλγορίθμων, καθώς είναι τα μόνα εργαλεία στα μαθηματικά που μπορούν να παραστήσουν μία αλληλουχία σκέψεων. Στη θεωρία των γραφημάτων ορίζονται οι “περίπατοι”(walks), οι “αποστάσεις” (distances), τα “υπογραφήματα” (subgraphs) και τέλος οι “μορφισμοί” (morphisms) που είναι ανάλογοι με εκείνους των ομάδων. Ιδιαίτερο ρόλο παίζει η συνδεσιμότητα (connectivity), κυρίαρχη δε για τους αλγορίθμους είναι η έννοια του “δέντρου” (tree). Δύο σημαντικά αλγοριθμικά προβλήματα που απασχολούν τους επιστήμονες είναι Α) ο έλεγχος δύο γραφημάτων ως προς τον ισομορφισμό Β) η εύρεση της ομάδας αυτομορφισμού ενός γραφήματος Τα παραπάνω προβλήματα δεν είναι πάντοτε επιλύσιμα. Εντούτοις σε μερικές περιπτώσεις μπορούν να επιλυθούν με τη βοήθεια αλγορίθμων που υποστηρίζονται από τα υπολογιστικά συστήματα GAP, NAUTY, και MAGMA Συνεχίζοντας στα κεφάλαια 4,5,6 κάνουμε μία μικρή περιγραφή στα κυριότερα για τους παραπάνω στόχους υπολογιστικά αλγεβρικά συστήματα. Η κύρια χρήση των υπολογιστικών αυτών συστημάτων είναι η σύνδεση των παραπάνω δομών (ομάδων και γραφημάτων). Εστιάζουν στους υπολογισμούς των μεταθέσεων n στοιχείων, τον υπολογισμό των μορφισμών των ομάδων, των συνσυνόλων, των τροχιών και των πυρήνων. Το αλγεβρικό Υπολογιστικό Σύστημα GAP, (Groups, Algorithms, Programming) περιέχει ένα «ανοικτό» λογισμικό στο χρήστη, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί κανείς να γράψει τα δικά του προγράμματα στη γλώσσα GAP και να τα χρησιμοποιήσει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως και τα προγράμματα τα οποία αποτελούν μέρος του συστήματος. Από την άλλη μεριά το ίδιο είναι εφοδιασμένο με μία μεγάλη βιβλιοθήκη συναρτήσεων η οποία υποστηρίζει αλγεβρικούς και άλλους αλγορίθμους. Αρχικά όλα τα προγράμματα της GAP βιβλιοθήκης ήταν γραμμένα στη γλώσσα προγραμματισμού C, τώρα όμως όλα τα προγράμματα έχουν γραφτεί στη γλώσσα GAP. Στο τέλος του κεφαλαίου 4, δίνονται παραδείγματα εφαρμογής προγραμμάτων του GAP πάνω στους ομοιομορφισμούς των ομάδων. To nauty (no automorphisms, yes?) είναι ένα σύνολο διαδικασιών για προσδιορισμό του αυτομορφισμού μιας ομάδας από ένα γράφημα χρωματισμένων κορυφών. Παρουσιάζει αυτήν την πληροφορία αφού του δοθεί ένα σύνολο γεννητόρων, το μέγεθος της ομάδας και ο αριθμός των τροχιών της ομάδας. Μπορεί επίσης να δώσει έναν ισομορφισμό του γραφήματος. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιεί το nauty είναι μία προς τα πίσω διαδρομή που μπορεί να περιγραφεί σε ομάδες ενός συνηθισμένου δέντρου αναζήτησης. Διάφορα μεγέθη και παράμετροι καθορίζουν την πορεία της διαδικασίας, της οποίας η έξοδος δίνεται σε επίπεδα. Το magma, είναι ένα υπολογιστικό αλγεβρικό σύστημα, σχεδιασμένο να επιλύει προβλήματα στην Άλγεβρα, στη Θεωρία Αριθμών, στη Γεωμετρία και σε συνδυασμούς των παραπάνω Μαθηματικών θεμάτων. Μπορεί να αναπτύξει «εκλεπτυσμένα Μαθηματικά», τα οποία είναι υπολογιστικά δύσκολα. Παρέχει ένα αυστηρό Μαθηματικό περιβάλλον, το οποίο δίνει έμφαση στον διαρθρωτικό υπολογισμό. Ένα χαρακτηριστικό κλειδί είναι η δυνατότητα να συναρμολογεί κανονικές αντιπροσωπεύσεις δομών. Τα κύρια χαρακτηριστικά του είναι: α) αλγεβρική φιλοσοφία σχεδιασμού, β) καθολικότητα, γ) ενοποίηση, δ) παρουσίαση. Το πρόγραμμα, παρέχει στο χρήστη μία συλλογή βιβλιοθηκών και αρχείων τεκμηρίωσης που βρίσκονται όλες σε έναν κατάλογο που το ίδιο περιέχει. Η μελέτη των G-graphs στο κεφάλαιο 7 έχει οργανωθεί ως εξής: Πρώτα δίνουμε τον ορισμό ενός G-graph. Έπειτα περιγράφουμε μερικούς βασικούς αλγορίθμους για συνδυασμούς ομάδων οι οποίοι χρησιμοποιούνται στην μελέτη των G-graphs. Μετά θα συζητήσουμε την αποτελεσματική αποθήκευση και δομή των G-graphs, και πώς να χρησιμοποιηθεί ένας μεταβαλλόμενος τύπος για να υπολογίζει αποτελεσματικά πολλές ιδιότητες ενός G-graph. Στη συνέχεια συγκεντρώνουμε τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται, με τη χρήση του NAUTY. Στο κεφάλαιο 8 μας απασχολεί η ταξινόμηση των γραφημάτων που είναι μεταβατικά ως προς την απόσταση (distance transitive graphs). Αυτά είναι τα γραφήματα των οποίων οι ομάδες αυτομορφισμού είναι μεταβατικές πάνω σε κάθε σύνολο ζευγαριών κορυφών σε απόσταση i, για i=0,1,2,.. Παρουσιάζεται μία εισαγωγή σε αυτήν την κατηγορία γραφημάτων και θεωρήματα από τα οποία διέπονται. Με τη χρήση της κατηγορίας των πεπερασμένων απλών ομάδων, φαίνεται πιθανό να βρεθούν όλα τα γραφήματα που είναι μεταβατικά ως προς την απόσταση. Τέλος στο κεφάλαιο 9 μελετάται η έννοια της απαρίθμησης συνσυνόλων (coset enumeration) που τα παραπάνω υπολογιστικά συστήματα προσπαθούν επίσης να αντιμετωπίσουν. Απαρίθμηση συνσυνόλων είναι το πρόβλημα της μέτρησης των συνσυνόλων μιας υποομάδας Η μιας ομάδας G. Η απαρίθμηση συνσυνόλων είναι μια από τις παλαιότερες και πιο χρήσιμες μεθόδους της υπολογιστικής θεωρίας ομάδων. Το 1936 οι Τodd και Coxeter ανακάλυψαν μία διαδικασία για να απαριθμούν τα συνσύνολα μιας υποομάδας από μία ομάδα. Αυτό αποδείχτηκε ένα ισχυρό εργαλείο για τη μελέτη των πεπερασμένων “παρουσιαζόμενων” ομάδων (presented groups) στην υπολογιστική θεωρία τoυς. Παλιότερα το 1911, ο Dehm πρότεινε την επίλυση του “Προβλήματος των λέξεων”. Αυτό είναι η εύρεση ενός αλγορίθμου που να αποφασίζει αν σε μία ομάδα που ορίζεται από ένα πεπερασμένο σύνολο γεννητόρων (generators) και σχέσεων (relators), μία λέξη (word) στους γεννήτορες παριστάνει το ταυτοτικό στοιχείο (identical element). Το πρόβλημα που έθεσε ο Dehn προσπάθησαν πολλοί αργότερα να επιλύσουν με τοπολογικούς στοχασμούς. Σήμερα, η περιοχή αυτή της Υπολογιστικής Θεωρίας των ομάδων έχει αναπτυχθεί γρήγορα μέσω του σχεδιασμού , της ανάπτυξης και της εφαρμογής των Αλγορίθμων, καθώς και εξαιτίας του αυξανομένου αριθμού των Μαθηματικών επιστημόνων που έχουν εργαστεί πάνω σε αυτά τα θέματα. Στο κεφάλαιο 9 δίνουμε μία μικρή περιγραφή του αλγορίθμου των Todd-Coxeter. Αξίζει να σημειωθεί ότι το πρόβλημα των λέξεων σήμερα είναι επιλύσιμο για πολλές όχι όμως όλες τις ομάδες. / This subject is a descrription of the computer algebric systems GAP,NAUTY, MAGMA.