Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή διαπραγματεύεται τη μελέτη της κατανομής Pareto, την εκτίμηση και την σύγκριση των εκτιμητών των παραμέτρων της καθώς και την εκτίμηση της συνάρτησης επιβίωσης της δεδομένου ότι η κατανομή Pareto χρησιμοποιείται ως μοντέλο για την εκτίμηση μεγάλων εισοδημάτων. Στο Κεφάλαιο 1, παραθέτουμε μερικούς βασικούς ορισμούς και θεωρήματα της Μαθηματικής Στατιστικής όπου είναι αναγκαία για την ανάπτυξη της εργασίας μας. Στο Κεφάλαιο 2, αναφερόμαστε στη κατανομή Pareto, στα γενικά χαρακτηριστικά της και τη συσχέτισή της με άλλες γνωστές κατανομές. Στο Κεφάλαιο 3, μελετάμε τους εκτιμητές των παραμέτρων της κατανομή Pareto ως προς το τετραγωνικό σφάλμα κάνοντας και κάποιες συγκρίσεις μεταξύ των εκτιμητών. Στο Κεφάλαιο 4, μελετάμε τους εκτιμητές Bayes των παραμέτρων της κατανομή Pareto με συνάρτηση σφάλματος LINEX και τους συγκρίνουμε με τους εκτιμητές Bayes με τετραγωνικό σφάλμα. Στο Κεφάλαιο 5, εκτιμάμε της συνάρτηση επιβίωσης και μελετάμε τους αμερόληπτους εκτιμητές ελάχιστης διασποράς της πυκνότητας πιθανότητας και της συνάρτησης κατανομής συγκρινόντας τους, στη συνέχεια, με τους αντίστοιχους εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας. Στο Κεφάλαιο 6, παρουσιάζουμε ένα παράδειγμα για την καλύτερη κατανόηση των εκτιμήσεων μας. / We make an estimation for the Pareto distribution, we estimate the parameters of it and we make comparisons with each other.

Ένας από τους πιο σημαντικούς στόχους της φαρμακευτικής θεραπείας είναι η ανάπτυξη φορέων φαρμάκου που θα μεταφέρουν και θα παραδίδουν εκλεκτικά το φάρμακο στις θέσεις φαρμακολογικής δράσης του αλλά και με έναν ελεγχόμενο ρυθμό χορήγησης κατάλληλα προσαρμοσμένο για την κάθε ασθένεια. Για την ελεγχόμενη χορήγηση και στόχευση βιοδραστικών ουσιών έχουν αναπτυχθεί πολλοί φορείς, όπως πολυμερικά νανοσωματίδια και λιποσώματα. Μεταξύ των πολυμερών που έχουν χρησιμοποιηθεί για την παρασκευή νανοσωματιδιακών φορέων φαρμάκων ιδιαίτερη προσοχή συγκεντρώνουν τα βιοδιασπώμενα και βιοσυμβατά πολυμερή του πολυ(γαλακτικού-γλυκολικού) οξέος (PLGA). Τα νανοσωματίδια που παρασκευάζονται από τα συμπολυμερή αυτά απομακρύνονται ταχύτατα από τη συστηματική κυκλοφορία μετά από ενδοφλέβια χορήγηση, κυρίως μέσω της πρόσληψης τους από το δικτυοενδοθηλιακό σύστημα. Όταν όμως επικαλυφθούν με υδρόφιλα, μη ιονικά πολυμερή, όπως η πολυ(αιθυλενογλυκόλη), έχουμε στερεοχημική σταθεροποίηση των νανοσωματιδίων και παράταση του χρόνου παραμονής τους στην συστηματική κυκλοφορία. Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε η επίδραση της διαλυτότητας του φαρμάκου στην φόρτωση και αποδέσμευση του από PLGAmPEG νανοσωματίδια διαφορετικής πολυμερικής σύστασης (αναλογία PLGA/PEG). Ως πρότυπα φάρμακα χρησιμοποιήθηκαν τα μέλη της τάξης των μεθυλοξανθινών καφεΐνη, θεοφυλλίνη και θεοβρωμίνη. Οι μεθυλοξανθίνες αποτελούν ικανοποιητικά πρότυπα ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην μελέτη της επίδρασης της διαλυτότητας στις ιδιότητες φόρτωσης και απελευθέρωσης φαρμάκων από τα PLGAmPEG νανοσωματίδια, καθώς είναι μικρά μόρια με παραπλήσιο μοριακό βάρος και χημικές ιδιότητες ενώ η διαλυτότητα τους στο νερό είναι σημαντικά διαφορετική: καφεΐνη (1g/46 ml), θεοφυλλίνη (1 g/120 ml) και θεοβρωμίνη (1 g/2000 ml). Παρασκευάστηκαν έτσι τρεις διαφορετικές συνθέσεις νανοσωματιδίων με την μέθοδο του διπλού γαλακτώματος και χαρακτηρίστηκαν ως προς το μέγεθος και το ζ δυναμικό. Στην συνέχεια μελετήθηκαν οι ιδιότητες φόρτωσης των μεθυλοξανθινών καθώς και οι ιδιότητες απελευθέρωσής τους από τα νανοσωματίδια μέσα σε φυσιολογικό ορό ρυθμισμένο με φωσφορικά (PBS) και ανθρώπινο πλάσμα in vitro. Το μέσο μέγεθος των νανοσωματιδίων κυμαίνονταν από 130 έως 200 nm και το ζ δυναμικό από -7 έως -20 mV. Τα χαρακτηριστικά αυτά καθιστούν τα νανοσωματίδια κατάλληλα για εφαρμογές ελεγχόμενης αποδέσμευσης. Η φόρτωση και η ενκαψακίωση των PLGAmPEG νανοσωματιδίων βρέθηκε να εξαρτάται από την σχετική διαλυτότητα του φαρμάκου στην εξωτερική υδατική φάση και στην οργανική φάση που χρησιμοποιούνται κατά την παρασκευή των νανοσωματιδίων και όχι απλά από την υδατοδιαλυτότητά τους. Έτσι η φόρτωση των νανοσωματιδίων ήταν μεγαλύτερη στην περίπτωση της καφεΐνης απ’ ότι στην θεοβρωμίνη, και αυτής από την φόρτωση στην περίπτωση της θεοφυλλίνης. Η φόρτωση και η ενκαψακίωση των μεθυλοξανθινών σε PLGAmPEG νανοσωματίδια επηρεάζεται από την αρχική φόρτωση των νανοσωματιδίων σε φάρμακο (drug input). Για όλα τα φάρμακα που δοκιμάστηκαν, αύξηση της αρχικής ποσότητας του φαρμάκου είχε σαν αποτέλεσμα την αύξηση της φόρτωσης των νανοσωματιδίων με φάρμακο. Αντίθετα η επίδραση της αρχικής φόρτωσης στην ενκαψακίωση βρέθηκε να εξαρτάται από την υδατοδιαλυτότητα του φαρμάκου. Έτσι η αύξηση της αρχικής φόρτωσης είχε σαν αποτέλεσμα την ελάττωση της ενκαψακίωσης στην περίπτωση της καφεΐνης, δεν είχε κανένα αποτέλεσμα στην ενκαψακίωση της θεοφυλλίνης ενώ οδήγησε σε μικρή αύξηση της ενκαψακίωσης της θεοβρωμίνης. Η φόρτωση και η ενκαψακίωση των φαρμάκων που δοκιμάστηκαν δεν επηρεάστηκε σημαντικά από τη σύνθεση του PLGAmPEG συμπολυμερούς από το οποίο παρασκευάστηκαν τα νανοσωματίδια. Ανεξάρτητα από την πολυμερική σύνθεση των νανοσωματιδίων, ο ρυθμός απελευθέρωσης των εγκλωβισμένων στα νανοσωματίδια μεθυλοξανθινών ήταν, τόσο στο PBS όσο και στο ανθρώπινο πλάσμα in vitro, ανάλογος της υδατοδιαλυτότητας του φαρμάκου. Έτσι ο ρυθμός αποδέσμευσης ήταν μεγαλύτερος στην περίπτωση της καφεΐνης απ’ ότι στην θεοφυλλίνη, και αυτής από την θεοβρωμίνη. Με όλες τις πολυμερικές συνθέσεις που δοκιμάστηκαν, ο εγκλωβισμός των μεθυλοξανθινών στα νανοσωματίδια είχε ως αποτέλεσμα την ελάττωση του ρυθμού αποδέσμευσης των φαρμάκων in vitro, τόσο σε PBS όσο και σε ανθρώπινο πλάσμα. Η ελάττωση του ρυθμού αποδέσμευσης αυξάνονταν με ελάττωση της υδατοδιαλυτότητας του φαρμάκου. Ο ρυθμός απελευθέρωσης και των τριών μεθυλοξανθινών ήταν μεγαλύτερος στο PBS σε σύγκριση με το ανθρώπινο πλάσμα. Η απόδειξη της ελεγχόμενης αποδέσμευσης των φαρμάκων από τα νανοσωματίδια στο ανθρώπινο πλάσμα είναι σημαντική καθώς καταδεικνύει την καταλληλότητα των PLGAmPEG σωματιδίων για εφαρμογές ελεγχόμενης χορήγησης φαρμάκων. Πάντως η χρησιμότητα των PLGAmPEG νανοσωματιδίων σε ελεγχόμενη χορήγηση φαρμάκων φαίνεται να περιορίζεται στις περιπτώσεις των φαρμάκων με μικρή σχετικά υδατοδιαλυτότητα. / The rapid removal of conventional polymeric nanoparticles from the bloodstream limits their potentional in controlled drug delivery and targeting. Surface engineering, however, may lead to nanoparticles capable of evading their uptake from the mononuclear phagocyte system (MPS), which exhibit prolonged residence in blood. Thus, coating the nanoparticle surface with a hydrophilic polymer such as poly(ethylene glycol) (PEG) has been shown to confer long circulation properties to PLGA (poly(lactide-co-glycolide) nanoparticles. Although the basic physicochemical and biological properties of these nanoparticles have been studied, there is currently a luck of studies dealing in a systematic way with their drug incorporation and release properties. In this work the effect of three different PLGAmPEG copolymer composition on drug loading and release properties, was studied using the members of the methyl-xanthine class of drugs, i.e. caffeine, theophylline, theobromine, as model drugs. This way, the effect of drug solubility on drug loading and release from the nanoparticles can be evaluated in a more scientifically sound way than applying more common practices, such as the study of a drug and its salt. PLGAmPEG copolymers were synthesized from dl-lactide (LE), glycolide (GE) and mPEG(5000) by a melt polymerization process. The synthesized copolymers were identified by the moral ratio of (LE +GE)/mPEG determined by 1H-NMR. PLGAmPEG nanoparticles loaded with caffeine, theophylline and theobromine were prepared by a double emulsion (w1/o/w2) method, where w1: aqueous solution of drug, o: a dichloromethane (dcm) solution of the polymer and w2: an aqueous solution of sodium cholate (12mM). The size and æ potential of the nanoparticles, were determined by photon correlation spectroscopy and microelectrophoresis respectively. The size of the nanoparticles ranged approximately from 130 to 200nm depending on the type of PLGAmPEG copolymer used and the formulation. All nanoparticle formulations exhibited low negative æ potential in the range -7 to -20. Drug loading was determined using direct method in which the samples were dissolved in NaOH and the drug in the solution was assayed by a High Performance Liquid Chromatography method (HPLC). The release experiments were performed in phosphate buffered saline and in human plasma in vitro. The nanoparticles were enclosed in a dialysis bag and incubated in PBS (pH=7.4, 37oC) and in human plasma under mild agitation. At predetermined time intervals, samples were withdrawn and assayed for the drug by HPLC. The drug loading and encapsulation values increased and decreased respectively when the drug/polymer ratio increased, by increasing drug input (initially present drug) while keeping polymer input constant. Due to the relatively high aqueous solubility of the three methylxanthines low nanoparticle loadings were generally obtained. Caffeine, despite its higher aqueous solubility, exhibited a little higher encapsulation and loading than theophylline and theobromine. This may be attributed to the much higher partition coefficient K (dcm/water) of caffeine compared to theophylline and theobromine, which would decrease to a higher extend in the case of caffeine the tendency of the drug to pass from the dcm droplets, formed during the second emulsification step of nanoparticle preparation, to the surrounding aqueous phase. As a result, higher drug retention in the nanoparticles was observed in the case of caffeine. Drug release from the nanoparticles was sustained and depended on the aqueous solubility of the drugs. For instance, the more water-soluble caffeine was released relatively faster than the less water-soluble theophylline and the even less water-soluble theobromine, from all PLGAmPEG compositions both in PBS and in human plasma. Drug release from the nanoparticles did not appear to depend on the composition of the PLGAmPEG copolymer used to prepare the nanopaparticles. Drug release rate in plasma was lower than that in PBS, probably due to the binding of the drug molecules to plasma proteins. Drug encapsulation of methylxanthines in the PLGAmPEG nanoparticles depended on the solubility properties of the drugs. The organic/aqueous phase partition coefficient of the drug may be crucial with regard to the incorporation efficiency of the drug in these nanoparticles. Drug release from the nanoparticles was sustained in both PBS and human plasma, but only for the relatively hydrophobic theobromine in a satisfactory extent. The rate of drug release was affected by the aqueous solubility of the drug and the release medium. It appears that PLGAmPEG nanoparticles can be applied for controlled drug delivery applications only in the case of relatively water-insoluble drugs.

Στην παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία χρησιμοποιούμε έννοιες και εργαλεία της Θεωρίας Παιγνίων με σκοπό να μελετήσουμε την απόδοση μηχανισμών κατανομής διαιρέσιμων πόρων εστιάζοντας κυρίως στον μηχανισμό αναλογικής κατανομής. Σύμφωνα με αυτόν τον μηχανισμό, ένα σύνολο χρηστών ανταγωνίζονται για ένα διαιρέσιμο πόρο -- όπως το εύρος ζώνης ενός τηλεπικοινωνιακού καναλιού -- υποβάλλοντας προσφορές. Ο μηχανισμός κατανέμει σε κάθε χρήστη ένα μέρος του πόρου το οποίο είναι ανάλογο της προσφοράς του και συλλέγει ένα ποσό ίσο με την προσφορά αυτή ως πληρωμή. Οι χρήστες στοχεύουν στη μεγιστοποίηση της ωφέλειας τους και συμπεριφέρονται στρατηγικά αλλάζοντας τις προσφορές τους με σκοπό να το πετύχουν. Έτσι, ο μηχανισμός ορίζει ένα παιχνίδι αναλογικής κατανομής. Παρουσιάζουμε γνωστά αποτελέσματα από τη σχετική βιβλιογραφία καθώς και νέα βελτιωμένα φράγματα για το κόστος της αναρχίας ως προς το κοινωνικό όφελος για συσχετιζόμενες ισορροπίες στο μοντέλο πλήρους πληροφόρησης και για ισορροπίες κατά Bayes-Nash στο μοντέλο ελλιπούς πληροφόρησης. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζουμε ένα κάτω φράγμα 1/2 για το κόστος της αναρχίας ως προς τις προαναφερθείσες έννοιες ισορροπίας, βελτιώνοντας σημαντικά το προηγούμενο καλύτερο κάτω φράγμα 26.8% που πρόσφατα απέδειξαν οι Syrgkanis και Tardos (STOC 2013). Επίσης, μελετάμε για πρώτη φορά τη περίπτωση όπου οι χρήστες διαθέτουν περιορισμένους προϋπολογισμούς και παρουσιάζουμε ένα κάτω φράγμα περίπου 36% και ένα άνω φράγμα 50% για το κόστος της αναρχίας χρησιμοποιώντας ως αντικειμενική συνάρτηση το αποτελεσματικό όφελος το οποίο λαμβάνει υπόψη προϋπολογισμούς. / In this thesis, we use notions and techniques from Game Theory in order to analyze the performance of divisible resource allocation mechanisms focusing mainly on the proportional allocation mechanism. According to this mechanism, a set of users are competing for a divisible resource -- such as bandwidth of a communication link -- by submitting bids. The mechanism allocates to each user a fraction of the resource that is proportional to the user's bid and collects an amount equal to the bid as payment. Users aim to maximize their individual utility and act strategically in order to achieve their goal. Hence, the mechanism defines a proportional allocation game. We cover previously known results from the related literature and present new bounds on the price of anarchy with respect to the social welfare over coarse-correlated and Bayes-Nash equilibria in the full and incomplete information settings, respectively. In particular, we prove a lower bound of $1/2$ for the price of anarchy over both equilibrium concepts, significantly improving the previously best known lower bound, presented by Syrgkanis and Tardos (STOC 2013). Furthermore, we study for the first time the scenario where users have budget constraints and present lower bounds on the price of anarchy using the effective welfare (which takes budgets into account) as an objective function.

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη και ο προσδιορισμός, θεωρητικός και πειραματικός, του συντελεστή Κ της Rician κατανομής σε ένα κανάλι στα 2.4 GHz. Η κατανομή Rice χρησιμοποιείται για την περιγραφή του πλάτους του λαμβανόμενου σήματος σε ένα κανάλι μετάδοσης με ισχυρή επίδραση οπτικής επαφής (Line-of-Sight) μεταξύ κεραίας πομπού και δέκτη. Ο συντελεστής Κ Rice εκφράζει τον λόγο της συνεισφοράς της ισχύος της απευθείας συνιστώσας του σήματος ως προς την συνολική λαμβανόμενη ισχύ λόγω φαινομένων διάχυσης. Χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό του καναλιού καθώς και τον υπολογισμό του BER (bit-error-ratio) και της πλέον σημαντικής παραμέτρου των τηλεπικοινωνιών SNR (Signal-to-Noise-Ratio), δηλαδή του λόγου σήματος προς θόρυβο. Στο 1ο κεφάλαιο αναλύονται και περιγράφονται μερικές από τις σημαντικότερες τεχνολογίες ασυρμάτων δικτύων, από την πρώτη στιγμή της εμφάνισής τους (δίκτυα 1ης και 2ης γενιάς) έως τα πιο σύγχρονα δίκτυα 3ης και 4ης γενιάς, και παρουσιάζονται οι ζώνες συχνοτήτων που καταλαμβάνουν αυτές οι τεχνολογίες στο διαθέσιμο ηλεκτρομαγνητικό φάσμα. Στο 2ο κεφάλαιο μελετώνται οι 3 βασικότεροι μηχανισμοί διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος μέσα σε ένα ασύρματο κανάλι (ανάκλαση, περίθλαση, σκέδαση), περιγράφονται οι τύποι των απωλειών που υφίσταται ένα σήμα κατά την μετάδοση του και τα φαινόμενα των διαλείψεων, που παρατηρούνται πολύ έντονα σε ένα κινητό και μεταβαλλόμενο περιβάλλον διάδοσης. Στο 3ο κεφάλαιο γίνεται περιγραφή του μοντέλου ηλεκτρομαγνητικής μετάδοσης κατά Rice, δηλαδή όταν η απευθείας συνιστώσα του σήματος είναι η ισχυρότερη διαδρομή που ακολουθεί το εκπεμπόμενο σήμα κατά την πορεία του μέχρι τον δέκτη (LoS). Αναλύεται η σημαντικότερη παράμετρος αυτού του τύπου μετάδοσης, δηλαδή ο συντελεστής Κ, και παρουσιάζονται διάφορες μέθοδοι προσδιορισμού του τόσο θεωρητικά όσο και πειραματικά. Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των πειραματικών μας μετρήσεων σε διάφορες τοπολογίες μετάδοσης με LoS για ένα δίκτυο Wi-Fi, δηλαδή για συχνότητα λειτουργίας στα 2.4 GHz. Για κάθε τοπολογία, περιγράφεται πλήρως το περιβάλλον μετάδοσης καθώς και ολόκληρη η διαδικασία εκπόνησης των μετρήσεων (μετρητικά όργανα, απαραίτητο λογισμικό, τυχόν προσεγγίσεις κτλ.). Τέλος, στο 5ο και τελευταίο κεφάλαιο, παρουσιάζεται μια μέθοδος υπολογισμού του συντελεστή Κ μέσω των μετρήσεων και με τη βοήθεια του μοντέλου ελευθέρου χώρου, που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των συνολικών απωλειών διαδρομής του σήματος. Τα αποτελέσματα των υπολογισμών χρησιμοποιήθηκαν, με την βοήθεια του Matlab, για την κατασκευή της CDF των τιμών του Κ αλλά και της γραφικής παράστασης της μεταβολής του Κ συναρτήσει της απόστασης. Οι εμπειρικές CDF συγκριθήκαν και προσεγγιστήκαν με γνωστές θεωρητικές CDF, και η συνάρτηση της μεταβολής του Κ με την απόσταση προσεγγίστηκε με όρους Goodness of Fit με την βοήθεια της γενικής μορφής γνωστών συναρτήσεων. Κλείνοντας, στην τελευταία παράγραφο της εργασίας αφήνεται περιθώριο και δίνεται τροφή για μελλοντική εργασία πάνω στην μελέτη και τον προσδιορισμό του συντελεστή Κ της Rice τόσο για εσωτερικούς όσο και για εξωτερικούς χώρους. / The main purpose of this thesis, is the analysis and estimation , theoretical and empirical, of the Rician K factor for a wireless channel at 2.4 GHz. The Rician power density function is used to describe the amplitude of the received signal when there is a strong LOS component. The Rician K factor expresses the ratio of the power component due to LOS signal propagation and the received signal power due to diffuse components (reflection, scattering, diffraction etc.). It is commonly used for the channel's characterization and the estimation of BER (bit error rate) and SNR (signal to noise ratio), a very important parameter for telecommunications. In the 1st chapter, some of the most important wireless systems are described, since their very first appearance (1G & 2G networks) until the latest 3rd and 4rth generation systems. We also present the current frequency bands and how they are spread at the given electromagnetic spectrum. In the 2nd chapter, the 3 basic propagation mechanisms (reflection, scattering, diffraction) are studied. In addition, we describe all types of signal attenuation within a wireless channel and the fading phenomena that are so commonly seen in mobile and continuously changing propagation environments. In the 3rd chapter, the Rician model of electromagnetic propagation, where LOS is the strongest path of signal components, is analyzed. The most important parameter of this propagation type, the Rician K factor, is also studied. Therefore, various methods of theoretical and empirical estimation of the K factor are presented. In the 4rth chapter, we include the results of our measurements in various LOS propagation topologies for a Wi-Fi system at 2.4 GHz. For each measurement topology, the propagation environment as well as the entire measurement procedure, are thoroughly described. Lastly, in the 5th and final chapter, a K factor estimation method based on the empirical set of data and the Free Space Model, used for the average path loss calculation, is presented. The results of our measurements via the help of the Matlab software were used in order to plot the CDF of K values as well as the K values versus d (distance) curve. Using curve fitting methods, the empirical CDFs and plots were compared to theoretical ones in terms of Goodness of Fit. In the closing section, possible future research in the aforementioned fields is proposed.

Η εκπόνηση της συγκεκριμένης Μεταπτυχιακής Εργασίας, εξετάζει, καταρχήν, την έννοια της πιθανότητας και τις βασικές ιδιότητές της, όπως την τυχαία μεταβλητή και τη συνάρτηση κατανομής. Παράλληλα όμως, παρουσιάζει στοιχεία βασικών διακριτών και συνεχών κατανομών, όπως της κανονικής, της ομοιόμορφης, της Poisson, και άλλων κατανομών της γραμμικής στατιστικής. Στη συνέχεια, αναφέρεται στις βασικές έννοιες της περιγραφικής στατιστικής, όπως οργάνωση και γραφική αναπαράσταση στατιστικών δεδομένων, ομαδοποίηση παρατηρήσεων, ιστόγραμμα συχνοτήτων, καθώς και περιγραφικά μέτρα γραμμικών δεδομένων. Κυρίως, όμως, η παρούσα μελέτη αποτελεί μία γενική επισκόπηση των στατιστικών μεθόδων παρουσίασης και ανάλυσης των περιοδικών δεδομένων. Με τον όρο "περιοδικά δεδομένα", εννοούμε τυχαίες διευθύνσεις και κατευθύνσεις προσανατολισμού. Η παρουσίασης των τυχαίων γωνιών, των γραφικών αναπαραστάσεων των περιοδικών δεδομένων καθώς και των περιγραφικών μέτρων - μέτρα θέσεως, διασποράς, λοξότητας, κυρτώσεως - θα μας οδηγήσουν σε μία καλύτερη προσέγγιση, κατανόηση των περιοδικών κατανομών. Επιπλέον, θα παρουσιαστούν αναλυτικά οι βασικές περιοδικές κατανομές, ομοιόμορφη και Von Mises κατανομή. Όμως, θα εξεταστούν και άλλες κατανομές μονοκόρυφες ή πολυκόρυφες, όπως οι περιελιγμένες κατανομές , η συνημίτονο και η καρδιοειδής κατανομή, οι λοξές κατανομές κ.ά. Τέλος, η εργασία θα αναφερθεί σε μία οικογένεια συμμετρικών περιοδικών κατανομών που προτάθηκε από τον κύριο Παπακωνσταντίνου και αποτελεί επέκταση της καρδιοειδούς κατανομής,σύμφωνα με εργασία των επιστημόνων Toshihiro Abe,Arthur Pewsey,Kunio Shimizu, παρέχοντας σημαντικά πλεονεκτήματα σε σχέση με άλλες οικογένειες κατανομών. / The preparation of this thesis examines, in principle,the concept of probability and its basic properties, such as the random variable and distribution function and presents data of basic discrete and continuous distributions, including normal, uniform, the Poisson, and other distributions of linear statistics. Then it refers to the basic concepts of descriptive statistics, such as the organization and the graphic representation of statistical data, grouping observations Frequency histogram as well as descriptive measures of linear data. Mostly, though, this study represents an overview of statistic methods of presentation and analysis of periodic data. By the term "periodic data" we mean random addresses and directions orientation. The presentation of random angles, graphic representations of periodic data and descriptive measures - measures of location, dispersion, skewness and kurtosis - will lead us to a better approach and understanding of periodic distributions. Furthermore, we present in detail the basic periodic distributions, the uniform and the Von Mises distribution. But other unimodal and multimodal distributions will be examined such as wrapped distributions, the cosine and cardioid distribution, skewed distributions, etc. Finally, this thesis will mention a family of symmetric periodic distributions proposed by Mr. Papakonstantinou and an extension of the cardioid distribution, according to the paper published by the scientists Toshihiro Abe,Arthur Pewsey and Kunio Shimizu, where significant advantages are provided over other families of distributions.