Στην παρούσα εργασία θα παρουσιαστούν διάφορα προβλήματα, με την επίλυσή τους, τα οποία ανήκουν στο πεδίο των Διακριτών Μαθηματικών. Πιο συγκεκριμένα στο πρώτο κεφάλαιο θα δούμε διάφορα προβλήματα αναδρομής όπου κάποια από αυτά θα είναι παραλλαγές γνωστών προβλημάτων (π.χ.: Ο ΠΥΡΓΟΣ ΤΟΥ HANOI) των οποίων οι (γνωστές) λύσεις θα μας βοηθάνε για να αποδεικνύουμε κάθε φορά αυτό που θέλουμε. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με προβλήματα και ασκήσεις αθροισμάτων, τα οποία είναι παντού στα μαθηματικά, γι'αυτό χρησιμοποιούμε βασικά εργαλεία για να τα λύσουμε, αναπτύσσοντας γενικές τεχνικές έτσι ώστε η διαδικασία να είναι φιλική προς τον αναγνώστη. Στη συνέχεια στο τρίτο κεφάλαιο θα συναντήσουμε ασκήσεις οι οποίες αφορούν τις ακέραιες συναρτήσεις. Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν τη ραχοκοκαλιά των Διακριτών Μαθηματικών, και εμείς συχνά χρειάζεται να μετατρέπουμε κλάσματα ή αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς σε ακέραιους. Ο στόχος λοιπόν αυτού του κεφαλαίου είναι να αποκτήσουμε οικειότητα και άνεση με τέτοιου είδους μετατροπές μέσα από τις ασκήσεις και να μάθουμε μερικές από τις αξιοσημείωτες ιδιότητες τους. Μέσα από τις ασκήσεις του τέταρτου κεφαλαίου γίνεται μια εισαγωγή στη θεωρία αριθμών ένα σημαντικό κλάδο των μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των ακεραίων. Τέλος στο κεφάλαιο 5 θα συναντήσουμε ασκήσεις και προβλήματα τα οποία βασίζονται στη μελέτη των διωνυμικών συντελεστών οι οποίοι είναι πολύ σημαντικοί στις εφαρμογές και επίσης πιo εύκολοι να τους χειριστούμε σε σύγκριση με άλλες ποσότητες των προηγούμενων κεφαλαίων. / -

Η παρούσα διπλωματική αναφέρεται σε ελλειπτικά προβλήματα συνοριακών συνθηκών σε κανονικά πολύγωνα, εστιάζοντας στην αρκετά γενική εξίσωση Helmholtz. Θα εφαρμοσθούν οι γνωστές υπολογιστικές μέθοδοι επίλυσης ελλειπτικών προβλημάτων (όπως η παρεμβολή με τμηματικά κυβικά πολυώνυμα) και θα αναπτυχθούν και μέθοδοι που προκύπτουν από νέες μαθηματικές αναλύσεις του προβλήματος. / In this work we deal with elliptic boundary value problems which are defined in regular polygons. The numerical results presented in the defence are derived using well established methods, such as the finite differemces and the 2d collocation, as well as a new method introduced recently which appears to yield nice results.

- / -

Falls are the most serious problems facing the ageing community. The goal of the current project was to carry out a simplified analysis using kinematic parameters like joint angles and spatial temporal parameters in order to analyse the age related changes in functional gait as well as to identify the biomechanics indicators of locomotion alterations that can help determined fall risk levels in the ageing community. / Οι πτώσεις είναι ένα από τα σοβαρότερα προβλήματα που αντιμετωπίζει σήμερα ο ηλικιωμένος πληθυσμός. Στόχος της εργασίας είναι να γίνει μια ανάλυση των κινητικών παραμέτρων όπως των γωνιών των αρθρώσεων και των χωροχρονικών παραμέτρων ώστε να αναλυθούν οι αλλαγές λόγω ηλικίας στη κίνηση καθώς και να αναγνωριστούν οι εμβιομηχανικοί δείκτες των κινητικών προβλημάτων οι οποίοι βοηθούν στο να καθοριστούν τα επίπεδα του κινδύνου πτώσης στους ηλικιωμένους ανθρώπους.

Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η μελέτη της επίδοσης κωφών μαθητών σε διάφορα είδη αριθμητικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα, η μελέτη των επιδόσεων κωφών μαθητών σε αριθμητικά προβλήματα προσθετικού τύπου σε σχέση με την τάξη που παρακολουθούν, το είδος του προβλήματος, καθώς και η επίδραση της χρήσης Ελληνικής Νοηματικής Γλώσσας στη κατανόηση των προβλημάτων. Τα ερωτήματα στα οποία γίνετε μια προσπάθεια να απαντηθούν είναι: (1) σε ποιό βαθμό η χρήση Ελληνικής Νοηματικής Γλώσσας κατά την εκφώνηση του αριθμητικού προβλήματος διευκολύνει την κατανόηση του και επομένως συμβάλει θετικά στην επίλυση του, (2) σε ποιο βαθμό η επίδοση των μαθητών στα ίδια αριθμητικά προβλήματα διαφοροποιείται ανάλογα με την τάξη, την οποία παρακολουθούν, και την ηλικία τους και (3) εάν το είδος του αριθμητικού προβλήματος σχετίζεται με τη φοίτηση των μαθητών π.χ. εάν κάποια προβλήματα γίνονται κατανοητά σε παιδιά μεγαλύτερης τάξης. Στην έρευνα πήραν μέρος επτά μαθητές (Ν=7) από τα Ειδικά Δημοτικά Σχολεία Κωφών και Βαρηκόων Αργυρούπολης και Πάτρας και 30 μαθητές (Ν=30) από το Δημοτικό Σχολείο Γαλατά Τροιζήνας, οι οποίοι αποτέλεσαν την ομάδα ελέγχου. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι κωφοί και οι βαρήκοοι μαθητές παρουσιάζουν χαμηλότερες επιδόσεις στην επίλυση αριθμητικών προβλημάτων τύπου από αυτές των ακουόντων μαθητών ίδιας ηλικίας, ανεξαρτήτως τρόπου επικοινωνίας. Συγκεκριμένα, οι επιδόσεις τους στην περίπτωση που γίνετε χρήση Ε.Ν.Γ. κατά την εκφώνηση των παραπάνω προβλημάτων, παρουσιάζονται αρκετά βελτιωμένες από την περίπτωση της χρήσης γραπτού λόγου. Επιπλέον, οι επιδόσεις των κωφών και βαρήκοων μαθητών της έκτης τάξης, και με τους δύο τρόπους επικοινωνίας, είναι καλύτερες από αυτές των μαθητών της πέμπτης τάξης. Όσον αφορά τις επιδόσεις των κωφών μαθητών στα διάφορα είδη αριθμητικών προβλημάτων, φαίνεται να έχουν καλύτερη επίδοση από όλους στα προβλήματα αυτά, στα οποία δίνονται όλες οι αρχικές ποσότητες και ζητείται η τελική, όπως και σε αυτά που οι λέξεις που χρησιμοποιούνται είναι συνεπείς με τις πράξεις που απαιτούνται για την επίλυση τους. Οι μαθητές της έκτης τάξης παρουσιάζουν καλύτερη επίδοση σε όλα τα υπόλοιπα προβλήματα. Τέλος, τα παραπάνω αποτελέσματα πρέπει να ληφθούν σοβαρά υπόψη από τους δασκάλους και τους μαθηματικούς, ώστε να βελτιώσουν τη διδασκαλία τους με το να χρησιμοποιούν Ελληνική Νοηματική Γλώσσα για να κατανοούν οι μαθητές πλήρως τις διάφορες έννοιες και τη μαθηματική γλώσσα. Επίσης θα πρέπει να βελτιωθεί η αναγνωστική ικανότητα των κωφών γενικότερα ώστε να μπορούν να κατανοούν τα αριθμητικά προβλήματα και να δοθεί περισσότερος χρόνος στη διδασκαλία των μαθηματικών. / The purpose of this assignment was a first study of deaf students' performance in different types of arithmetic problems. Specifically, the study of deaf students' performance on arithmetic problems to comparison with the class monitor, the type of the problem, and the influence of Greek Sign Language use in understanding of these problems. To analyze this, there was an attempt to answer the following questions: (1) to what extent the use of Greek Sign Language in the pronunciation of arithmetic problem makes them easier for understanding and thus contribute positively to their being answered, (2) to what extent the performance of students at the same arithmetic problems varies according to the order, which follow, and their age and (3) whether the type of arithmetic problem associates with the attendance of students, e.g. if some types of problems are more understandable to older children. Seven students (N = 7) of the Special Primary Schools for Deaf and Hard of Hearing of Argyroupolis and Patras participated in this study as well as 30 students (N = 30) of the Elementary School of Galatas Trizoinias, which served as the control group. The results of the study showed that deaf and hard of hearing students are less efficient in solving arithmetic problems than their hearing piers, regardless of the method of communication. Specifically, their performance, when using G.S.L., are presented quite improved than the use of case writing. Moreover, the performance of sixth grade deaf and hard of hearing students, with both modes of communication are better than those of students of fifth grade. Regarding the performance of deaf students in different types of arithmetic problems they seem to have better performance when all the original amounts are given and the final is been asked. Also when the words used in the problems are consistent with the acts required to solve them. The students of sixth grade are better in the problems. Finally, these results should be taken seriously by teachers and mathematicians to improve their teaching, by using Greek Sign Language, so as their students to understand fully the various mathematical concepts and language. Also they should try to improve the reading ability of deaf students in general so that they can understand the arithmetic problems and also give more time to the teaching of mathematics.

Η ηλεκτροεγκεφαλογραφία (EEG) και η μαγνητοεγκεφαλογραφία (MEG) είναι ιδιαίτερα χρήσιμες μέθοδοι εγκεφαλικών απεικονίσεων διότι έχουν πολύ καλή χρονική ανάλυση, της τάξεως του sec. Επειδή οι εγκεφαλικές διεργασίες εκτελούνται με μικρότερους ρυθμούς, οι εγκεφαλικές απεικονίσεις μέσω της EEG και MEG δίνουν τη δυνατότητα να παρακολουθούμε το λειτουργικό εγκέφαλο. Στο ευθύ πρόβλημα EEG γνωρίζουμε τη νευρωνική διέγερση που αναπτύσσεται εσωτερικά του εγκεφάλου και υπολογίζουμε το παραγόμενο ηλεκτρικό δυναμικό σε κάθε σημείο στο εξωτερικό ή στο εσωτερικό του εγκεφάλου. Αντίστοιχα στο ευθύ πρόβλημα MEG υπολογίζουμε το μαγνητικό δυναμικό εξωτερικά του εγκεφάλου. Στο αντίστροφο πρόβλημα της EEG γνωρίζουμε το ηλεκτρικό δυναμικό, από μετρήσεις, εξωτερικά του εγκεφάλου, στην επιφάνεια του κρανίου, και ζητάμε να προσδιορίσουμε τη νευρωνική διέγερση που το προκάλεσε. Για τη MEG γνωρίζουμε το μαγνητικό δυναμικό που καταγράφεται εξωτερικά του κρανίου και ζητάμε τη νευρωνική διέγερση που αναπτύχθηκε εσωτερικά του εγκεφάλου. Στην παρούσα εργασία επιλύονται οκτώ προβλήματα. Το ευθύ πρόβλημα και το αντίστροφο πρόβλημα της EEG και της MEG σε δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση η νευρωνική διέγερση εντοπίζεται σε ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή το ρεύμα που δημιουργήθηκε εσωτερικά του εγκεφάλου λόγω μιας εγκεφαλικής διεργασίας αναπαρίσταται με δίπολα που κατανέμονται κατά μήκος ενός μικρού ευθύγραμμου τμήματος. Επιλύουμε αρχικά το ευθύ πρόβλημα της EEG και στη συνέχεια το αντίστροφο πρόβλημα. Καταλήγουμε σε ένα μη γραμμικό σύστημα που, στη γενική περίπτωση, επιλύεται αριθμητικά για να υπολογίσει τη θέση και τη ροπή της διπολικής πηγής, τον προσανατολισμό και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Αναλυτικά επιλύουμε δύο ειδικές περιπτώσεις και βρίσκουμε μοναδική λύση. Στην πρώτη ειδική περίπτωση το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο στον άξονα, ενώ στη δεύτερη στο άξονα και το κέντρο του, και στις δύο περιπτώσεις, είναι πάνω στο άξονα . Το ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα το επιλύουμε και για την περίπτωση της MEG δίνοντας αναλυτικά τη λύση στην περίπτωση που το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο στο άξονα και το κέντρο του είναι επάνω στο άξονα. Στη δεύτερη περίπτωση μελετάμε ακριβώς τα ίδια προβλήματα όταν η νευρωνική διέγερση εντοπίζεται σε ένα μικρό κυκλικό δίσκο που το επίπεδό του είναι κάθετο στο διάνυσμα θέσης του κέντρου του δίσκου. Επιλύουμε το πρόβλημα σε συγκριμένη θέση του δίσκου για να απλοποιηθούν οι υπολογισμοί. Εφαρμόζουμε κατάλληλες στροφές Euler ώστε το επίπεδό του να βρεθεί σε θέση παράλληλη στο επίπεδο και το κέντρο του δίσκου να βρίσκεται πάνω στον άξονα. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε στροφές Euler και το επαναφέρουμε στην αρχική θέση. Αφού επιλύσουμε τα ευθύ προβλήματα της EEG και MEG ξεχωριστά, προσδιορίζουμε, επιλύοντας το αντίστροφο, τη θέση του κυκλικού δίσκου. Καταλήγουμε σε ένα σύστημα μη γραμμικό που απαιτεί αριθμητική επίλυση τόσο για την EEG όσο και για τη MEG Αναλυτικά, επιλύουμε το αντίστροφο για την EEG σε μια ειδική περίπτωση κατά την οποία ο δίσκος είναι παράλληλος στο επίπεδο και το κέντρο του βρίσκεται πάνω στον άξονα και βρίσκουμε τη μοναδική λύση η οποία προσδιορίζει τη θέση του δίσκου, την ακτίνα του και τη ροπή της διπολικής πηγής. Με την επίλυση των προβλημάτων αυτών επιβεβαιώνουμε και τα αποτελέσματα της εργασίας των Albanese και Monk. Συγκεκριμένα, έδειξαν ότι δε μπορεί να προσδιοριστεί ο φορέας του ρεύματος που εντοπίζεται σε χώρο τριών διαστάσεων. Στην παρούσα διατριβή καθορίζουμε την έκτασης της νευρωνικής διέγερσης όταν η διάσταση του φορέα της είναι μικρότερη του τρία. / Electroencephalography (EEG) and Magnetoencephalography (MEG) are the two brain imaging modalities which have the necessary temporal resolution, sec for the study of the functional brain. Albanese and Monk have demonstrated that it is impossible to identify the extent of a localized three-dimensional current distribution lying inside a three-dimensional conductive medium. The purpose of the present work is to show that, as already predicted by Albanese and Monk, this result is not true if the current distribution is restricted on a one or two- dimensional set. The calculation of the values of the electric potential on the surface of the head defines the forward problem of EEG, while the calculation of the magnetic flux density a few centimeters outside the head defines the forward problem of MEG. The inverse EEG problem seeks to identify the neuronal current within the brain from the knowledge of the electric potential on the surface of the head. The corresponding inverse MEG problem seeks this neuronal current from the knowledge of the magnetic flux outside the head. In the present dissertation we study eight particular problems. They concern the forward and the inverse problem of EEG and MEG in two special geometric cases. In one geometrical case the neuronal current is supported on a small line segment and the neuronal current is represented by a dipole distribution along this line segment. First we solve the forward EEG problem and then we solve the inverse problem of identifying the location, the orientation, the size and the average dipolar moment over the line segment. We arrive at a nonlinear algebraic system which we solve analytically in two special cases. Next we solve the corresponding forward and the inverse MEG problems for the same structure. A second case concerns the relative EEG and MEG problems when the current is supported on a small disc normal to a radius of the conducting sphere. As before, we solve the EEG and MEG problems separately and then we solve the inverse EEG and MEG problems which determine the position, the orientation and the size of the disk supporting the primary neuronal current.

Για την επίλυση προβλημάτων πολλαπλών πεδίων / πολλαπλών φυσικών έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές στη βιβλιογραφία. Οι μέθοδοι χαλάρωσης στις διεπαφές είναι μια ενδιαφέρουσα προσέγγιση για την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Υποθέτοντας κάποιες αρχικές τιμές στις διεπαφές του προβλήματος, οι μέθοδοι χαλάρωσης στις διεπαφές επιλύουν επαναληπτικά τα υποπροβλήματα και χαλαρώνουν τις τιμές στις διεπαφές έως ότου επιτευχθεί σύγκλιση. Τα κυριότερα πλεονεκτήματα των μεθόδων αυτών είναι ότι οι ρυθμοί σύγκλισής τους εξαρτώνται μόνο από τις παραμέτρους των ίδιων των προβλημάτων, τις παραμέτρους που σχετίζονται με την ανάλυση των προβλημάτων σε υποπροβλήματα και τις παραμέτρους που σχετίζονται με τον τελεστή που εφαρμόζεται στις διεπαφές. Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία παρουσιάζεται μια νέα υλοποίηση μιας μεθόδου χαλάρωσης στις διεπαφές, της μεθόδου GEO. Η GEO βασίζεται σε έναν απλό μηχανισμό γεωμετρικής διόρθωσης και δρα επαναληπτικά, ώστε να χαλαρώσει τις τιμές στις διεπαφές. Πιο συγκεκριμένα, προσθέτει στις παλιές τιμές των διεπαφών έναν γεωμετρικά σταθμισμένο συνδυασμό των κανονικών παραγώγων των οριακών σημείων των γειτονικών πεδίων. Η υλοποίηση της μεθόδου GEO γίνεται στην πλατφόρμα FEniCS, η οποία είναι μια συλλογή ελεύθερου λογισμικού για την αυτοματοποιημένη, αποδοτική υλοποίηση διαφορικών εξισώσεων. Η υλοποίηση πραγματοποιείται με τρόπο τέτοιο που ο χρήστης να μπορεί εύκολα να ορίζει τις ιδιότητες των πεδίων του προβλήματος (όπως, γεωμετρία του προβλήματος, τελεστής μερικής διαφορικής εξίσωσης, οριακές συνθήκες, συνθήκες διεπαφών). Στο παρασκήνιο γίνεται η δημιουργία ή / και η βελτιστοποίηση των πλεγμάτων (τριγωνικά στοιχεία) για κάθε πεδίο του προβλήματος, η επίλυση των τοπικών προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων και η εμφάνιση των υπολογισμένων τιμών για το πρόβλημα συνολικά και για τις διεπαφές. Η κυριότερη πρόκληση της υλοποίησης είναι η πρόσβαση στις τιμές των λύσεων στις διεπαφές και η εισαγωγή των χαλαρωμένων τιμών πίσω στα υποπροβλήματα για να αποτελέσουν τις οριακές συνθήκες των υποπροβλημάτων. Πραγματοποιούνται πειράματα σε προβλήματα-μοντέλα, ώστε να ελεγχθεί η εφαρμοσιμότητα και η σύγκλιση της μεθόδου. Στη συνέχεια, υλοποιείται μια παράλληλη έκδοση της μεθόδου και πραγματοποιούνται συγκριτικά πειράματα απόδοσης. Η παράλληλη υλοποίησή μας αποδεικνύεται πολύ χρήσιμη, ειδικά για μεγάλα προβλήματα. / Several approaches have been suggested in the literature for the solution of multiphysics / multidomain problems. Interface Relaxation (IR) methods are an interesting approach for the solution of these problems. Assuming initial guesses on the interfaces of the original problem, IR methods iteratively solve the subproblems and relax for new values on the interfaces until convergence is succeeded. Their main advantages are that their rates of convergence only depend on the parameters of the problem itself, the parameters related to its decomposition into subproblems and the parameters related to the operator imposed on the interfaces. In the present master thesis a new implementation of an IR method named GEO is presented. GEO is based on a simple geometric correction mechanism and acts iteratively so as to relax the values of the solution on the interfaces. In particular, it adds to the old interface values a geometrically weighted combination of the normal boundary derivatives of the adjacent subdomains. In this thesis GEO is implemented in FEniCS. The FEniCS project is a collection of free software for automated, efficient solution of differential equations. In order to evaluate the GEO implementation, it is applied on two different PDE problems with the same differential equation and boundary conditions and different domains. FEniCS methods are used to specify the problem's subdomains properties (i.e. geometry, PDE operator and boundary/interface conditions). They are also used to generate and/or refine meshes (triangular elements) for each subdomain, solve the local PDE problems and show the computed results in the global domain and on the interfaces. Getting values of the solutions on the interface (boundaries of the subproblems) and passing the new relaxed values back to the subproblems as updated values for the boundary conditions is the main challenge of the IR methodology implementation. Experiments are performed for 2-dimensional elliptic partial differential model problems with partitions in multiple subdomains and the results are examined in terms of the method's applicability and convergence. A parallel implementation of the GEO method using FEniCS is also presented, as well as its performance comparison to the serial implementation. The parallel implementation proves to be really useful, especially for large problems.

Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών. Αρχικά αναφέρονται στοιχεία γραμμικής ανάλυσης και συγκεκριμένα εισάγεται η έννοια ενός τελεστή και τα είδη τελεστών που υπάρχουν, καθώς και η σημασία τους στη Φυσική. Επίσης, δίνεται ο ορισμός της διαφορικής εξίσωσης (Σ.Δ.Ε), ο ορισμός ενός προβλήματος αρχικών τιμών και ο ορισμός ενός προβλήματος συνοριακών τιμών. Έπειτα, αναλύεται η θεωρία Sturm-Liouville και περιγράφονται παραδείγματα συνοριακών τιμών τα οποία επιλύονται με αυτή. Ακόμη, μελετώνται οι συναρτήσεις Green και δίνονται παραδείγματα εφαρμογών τους. Στη συνέχεια εξάγεται η κυματική εξίσωση με τη βοήθεια του μοντέλου της ταλαντούμενης χορδής και επιλύεται με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών για διάφορους τύπους αρχικών και συνοριακών τιμών. Κατόπιν, περιγράφονται μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών που συνδέονται με την εξίσωση της θερμότητας και μετά αναφέρονται εφαρμογές που προκύπτουν από την επίλυση προβλημάτων διάδοσης θερμότητας. Τέλος αναφέρεται η θεωρία Fredholm και η έννοια της κατανομής και δίνονται παραδείγματα λύσεων των διαφορικών εξισώσεων με την έννοια των κατανομών. Η θεωρία Fredholm είναι ιδιαίτερα σημαντική σε προβλήματα διαφορικών εξισώσεων που είναι μη ομογενή. / In the present project, the initial boundary value problems are analyzed. Firstly, elements of linear analysis are introduced. Particularly the concept of an operator and its types are introduced as well as the importance in the physics sector. Also, the definition of a differential equation and the initial boundary value problems are presented. Additionally, the theory of Sturm-Liouville and its example are described. Moreover, Green function and their applications are introduced. Furthermore, the wave equation was elicited with the basis of vibrating spring model and solved with the method of separating variables. Also with this method and by using Fourier series the heat equation was solved. Finally the theory of Fredholm and the concept of distribution are described. The theory of Fredholm is important in problems of not homogeneous differential equation problems.

Η ηλεκτρομαγνητική δραστηριότητα του εγκεφάλου μελετάται με τη βοήθεια των μη παρεμβατικών μεθόδων της Ήλεκτροεγκεφαλογραφίας και της Μαγνητοεγκεφαλογραφίας. Ειδικότερα, κάθε ηλεκτροχημικά παραγόμενο ρεύμα στο εσωτερικό του εγκεφάλου δημιουργεί ένα ηλεκτρικό και ένα μαγνητικό πεδίο, στο εσωτερικό και στο εξωτερικό του εγκεφάλου αντίστοιχα. Τα πεδία αυτά καταγράφονται στην επιφάνεια και στον εξωτερικό χώρο του κρανίου και δίνουν το Ηλεκτροεγκεφαλόγραφημα (EEG) και το Μαγνητοεγκεφαλόγραφημα (MEG) αντίστοιχα, τα οποία μεταφέρουν πληροφορίες για τη λειτουργία του εγκεφάλου τη χρονική στιγμή της καταγραφής. Η παρούσα διατριβή αφορά στη μαθηματική ανάλυση ευθέων και αντίστροφων προβλημάτων που συνδέονται με τις μεθόδους αυτές με σκοπό τον εντοπισμό και το χαρακτηρισμό της πηγής που παρήγαγε τα μετρούμενα πεδία. Στο Μέρος Ι μελετάται αναλυτικά η δομή και λειτουργία του εγκεφάλου, περιγράφεται το φυσικό πρότυπο που χρησιμοποιούμε και γίνεται αναφορά τόσο στη σφαιρική όσο και στην ελλειψοειδή γεωμετρία που αποτελούν τα γεωμετρικά υπόβαθρα. Στο Μέρος ΙΙ επιλύεται το ευθύ πρόβλημα του Βιοηλεκτρισμού στην περίπτωση του σφαιρικού ομογενούς προτύπου για τον ανθρώπινο εγκέφαλο, όπου η πηγή είναι αυθαίρετη κατανομή ρεύματος. Αποδεικνύεται ό,τι, στο εξωτερικό ηλεκτρικό δυναμικό δεν εμπεριέχεται η συνεισφορά του σωληνοειδούς μέρους της εφαπτομενικής συνιστώσας του ρεύματος και συνεπώς το αντίστοιχο αντίστροφο πρόβλημα είναι μη μοναδικό. Με την απαίτηση το ρεύμα να ελαχιστοποιεί την , το αντίστροφο πρόβλημα επιλύεται μοναδικά και προσδιορίζονται οι συνιστώσες του νευρωνικού ρεύματος από γνωστές μετρήσεις του ηλεκτρικού δυναμικού. Τα κύρια χαρακτηριστικά καθώς και οι περιορισμοί που επιβάλλουν το φυσικό και το γεωμετρικό πρόβλημα αναλύονται λεπτομερώς. Στο Μέρος ΙΙΙ επιλύονται ευθέα προβλήματα του Βιοηλεκτρομαγνητισμού σε ελλειψοειδή γεωμετρία και αντλούμε χρήσιμα συμπεράσματα για την αντιστροφή των προβλημάτων MEG. Συγκεκριμένα υπολογίστηκε η οκταπολική προσέγγιση του μαγνητικού πεδίου που παράγεται στο εξωτερικό του πλέον ρεαλιστικού ομογενούς προτύπου για τον ανθρώπινο εγκέφαλο, που είναι το ελλειψοειδές, συναρτήσει των ελλειψοειδών αρμονικών τρίτου βαθμού. Η βελτίωση αυτή είναι σημαντική καθώς αποδεικνύεται αριθμητικά ότι η μαγνητικά «σιωπηλή» πηγή της τετραπολικής προσέγγισης συνεισφέρει στις μετρήσεις του μαγνητικού πεδίου. Ως εκ τούτου, η νέα αυτή προσέγγιση του μαγνητικού πεδίου παρέχει αρκετές πληροφορίες για την πιθανή αντιστροφή του προβλήματος. Στη συνέχεια επιλύθηκε το ευθύ πρόβλημα του Βιοηλεκτρομαγνητισμού στην περίπτωση που ο εγκεφαλικός ιστός περιλαμβάνει περιοχή υγρού πυρήνα διαφορετικής αγωγιμότητας. Ο πυρήνας αυτός πληρούται από εγκεφαλονωτιαίο υγρό ενώ η πηγή βρίσκεται στον φλοιό του εγκεφαλικού ιστού. Υπολογίζεται το ηλεκτρικό δυναμικό και το μαγνητικό πεδίο στο εξωτερικό του αγωγού και τα αποτελέσματα συγκρίνονται αναλυτικά και αριθμητικά με τα αντίστοιχα αποτελέσματα του ομογενούς προτύπου του εγκέφαλου. Από την σύγκριση αυτή προκύπτει ότι τόσο η ανομοιογένεια εντός του εγκεφαλικού ιστού όσο και η θέση της πηγής υπεισέρχονται με καθοριστικό τρόπο στο μαγνητικό πεδίο του υπό μελέτη προτύπου. / The electromagnetic activity of the human brain is studying via the non invasive methods of Electroencephalography and Magnetoencephalography. It is well known that an electrochemically generated current in the interior of the brain generates an electric and a magnetic field, both in the interior and exterior of the brain. The resulting electric and magnetic fields are measured on the surface and the exterior of the head via the EEG and MEG, respectively. In the present thesis we study direct and inverse EEG and MEG problems in order to identify and characterize the source. In the First Part we describe the morphology and the functionality of the human brain and we state the physical and geometrical models that we use. In the Second Part we solved the direct problem of EEG for the spherical homogeneous model of the brain in the case of a continuously distributed neuronal current. It turns out that the electric potential is independent of the solenoid part of the tangential component of the neuronal current. Consequently, the corresponding inverse problem is not uniquely solvable. Hence, we demand that the current has minimum and in this case we ended up with the complete expansions of the visible part of the current from the knowledge of the electric field. In the Third Part we studied direct problems of MEG in ellipsoidal geometry. In particular we evaluated the octapolic term of the magnetic induction field which it’s produced in the exterior of the ellipsoidal model of the brain-head system. This term provides the highest order terms that can be expressed in closed form. It is shown numerically that the silent source of the quadrupolic term of the magnetic induction field does contribute to the octapolic term. Therefore, the knowledge of the quadrupolic and octapolic terms provides enough data to construct an effective algorithm for inversion. Finally, the direct problem of MEG is presented, in the case where the cerebral tissue is considered as an ellipsoidal conductor and surrounds a fluid ellipsoidal core of different conductivity. The fluid core is occupied by the cerebrospinal fluid and the source lies in the cerebral shell. The electric field in every region and the exterior magnetic induction field are obtained. Furthermore, we compare analytically and numerically the results of the inhomogeneous model with the homogeneous ellipsoidal model. We observed that both the inhomogeniety inside the cerebral tissue and the location of the source appear in the magnetic induction field of the inhomogeneous model. Τhe existence of the fluid core effects the monotonicity of the components of the magnetic field as well as its magnitude.

Η παρούσα διατριβή αναδεικνύει τα πλεονεκτήματα της διδακτικής στρατηγικής της Μάθησης Βασισμένης σε Προβλήματα (ΜΒΠ), αλλά και των περιορισμών που υπάρχουν στην εφαρμογή της στην εργαστηριακή εκπαίδευση. Τα Εικονικά Περιβάλλοντα Πολλών Χρηστών (Multi-User Virtual Environments - MUVEs) όπως το Second Life (SL) είναι τρισδιάστατα συνεργατικά εικονικά περιβάλλοντα τα οποία θα μπορούσαν να αποτελέσουν συμπληρωματικούς ή και εναλλακτικούς κόσμους για την υλοποίηση εργαστηριακών δραστηριοτήτων ΜΒΠ με χαμηλό κόστος, υψηλή διαθεσιμότητα και ασφάλεια. Ο στόχος της παρούσας διατριβής ήταν ο σχεδιασμός και η εμπειρική αξιολόγηση μιας απλής δραστηριότητας ΜΒΠ τόσο στον εικονικό όσο και στον πραγματικό κόσμο. Η εμπειρική αξιολόγηση περιλάμβανε μια περιγραφική (Ν=30) και μια ημι-πειραματική έρευνα (Ν=150) με φοιτητές Πανεπιστημίου. Τα αποτελέσματα υποδεικνύουν ότι δεν υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ των περιβαλλόντων στο μαθησιακό αποτέλεσμα, την ευχρηστία, την ικανοποίηση από τη συνεργασία και την ευχαρίστηση από την εμπειρία. Ωστόσο υπάρχουν ενδείξεις ότι το SL εκλαμβάνεται ως πιο ευχάριστο και άτυπο περιβάλλον μάθησης. Η ικανοποίηση συσχετίζεται θετικά με την αίσθηση παρουσίας. Η δραστηριότητα διαρκεί περισσότερο στο SL λόγω των διαδικασιών χειρισμού και της μειωμένης μη λεκτικής επικοινωνίας, παράγοντες που φαίνεται να «επιβάλλουν» ένα πιο κατακερματισμένο μοτίβο ομιλίας. / This dissertation identifies the advantages of the Problem-Based Learning (PBL) instructional strategy and acknowledges the limitations of classic laboratory education to support it. Multi-User Virtual Environments (MUVEs) like Second Life (SL) are 3D collaborative virtual environments that could act as complementary or alternative worlds for the implementation of PBL activities offering low cost, safe and always available environments. The aim of this dissertation was to design and empirically evaluate a simple PBL activity in both the real and virtual worlds, by carrying out a descriptive study (N=30) and a quasi-experimental study (N=150) with University students. The results showed that the MUVE provided similar learning outcomes, engagement, usability and satisfaction to the real world condition. SL is perceived as more pleasurable and informal learning environment than reality. Satisfaction is positively correlated with presence. The PBL activity tends to last longer in SL that in real world, mainly due to control procedures and reduced nonverbal communication, that also “impose” a more fragmented pattern of verbal communication.