Η εργασία αυτή, αναφέρεται σε τοπολογίες σε χώρους συναρτήσεων και δομείται ως εξής: Στο κεφάλαιο 1 γίνεται μια εισαγωγή και δίνονται βασικές έννοιες των τοπολογικών χώρων. Στο κεφάλαιο 2 μελετώνται κυρίως η compact open και η σημειακή ανοικτή τοπολογία. Στο κεφάλαιο 3 μελετώνται οι συνδετικά συνεχείς και οι διαχωριστικές τοπολογίες. Στο κεφάλαιο 4 μελετώνται οι τοπολογίες scott και isbell. Το κεφάλαιο 5 αναφέρεται σε ανοικτά προβλήματα των χώρων συναρτήσεων. Στο τέλος της εργασίας υπάρχει εκτενής βιβλιογραφία. / This task is about topologies on function spaces.In chapter 1 there is an introduction in topological spaces. In chapter 2 we study the compact open and point open topologies. In chapter 3 we study jointly continuous and splitting topologies. In chapter 4 we study Scott and Isbell topologies. Finally, in chapter 5 there is a reference in some open problems on function spaces.

Οι συναρτήσεις Mittag-Leffler χρησιμοποιούνται στις κλασματικές διαφορικές εξισώσεις, διότι η λύση τους εκφράζεται με τις συναρτήσεις Mittag-Leffler και γενικεύσεις αυτών. Η εργασία αυτή αποτελεί ανασκόπηση για τις συναρτήσεις Mittag-Leffler και περιλαμβάνει εκτός από τους ορισμούς αυτών και των γενικεύσεών τους, ιδιότητες και αναδρομικές σχέσεις που ικανοποιούν. Εκφράζουμε γνωστές συναρτήσεις με τη βοήθεια των συναρτήσεων Mittag-Leffler. Βρίσκουμε το μετασχηματισμό Laplace αυτών και των γενικεύσεών τους, διότι ο μετασχηματισμός Laplace είναι μια μέθοδος επίλυσης των κλασματικών διαφορικών εξισώσεων. Τέλος, αναφέρουμε εφαρμογές και προβλήματα, που εκφράζονται μέσω κλασματικών διαφορικών εξισώσεων και δίνουμε τη λύση τους με μορφή συναρτήσεων Mittag-Leffler. / The Mittag-Leffler functions are used in fractional differential equations, because their solution is expressed with the Mittag-Leffler functions and generalizations of them. This diploma thesis constitutes a review of the Mittag-Leffler functions and includes besides the definitions of them and their generalizations, some properties and recurrence relations that they satisfy. We express some acquaintances functions with the Mittag-Leffler functions. In addition, we calculate the Laplace transform of these functions and their generalizations, which is useful in deriving the solution of fractional differential equations. Finally, we present some applications and problems, which are expressed through fractional differential equations and we give their solution with terms of the Mittag-Leffler functions.

Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους για την κατασκευή συναρτήσεων Lyapunov για δυναμικά συστήματα αλλά και για τον καθορισμό του ελκτικού συνόλου ενός σημείου ισορροπίας. Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων έχει ως κίνητρο τις πολλαπλές εφαρμογές τους στη Φυσική, τη Χημεία, τα Οικονομικά, τη Βιολογία, κ.λ.π.. Εστιάζουμε στις αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις της μορφής οι οποίες ορίζουν ένα δυναμικό σύστημα. Οι πιο απλές λύσεις μίας τέτοιας εξίσωσης καλούνται σημεία ισορροπίας. Πολύ σημαντικός είναι επίσης και ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου. Ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου επιτυγχάνεται μέσω υποεπίπεδων συνόλων μίας συνάρτησης Lyapunov, δηλαδή μίας συνάρτησης με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή ισορροπίας. Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov για ένα σημείο ισορροπίας. Υπάρχει πλούσια βιβλιογραφία πάνω στις συναρτήσεις Lyapunov. Το 1893, ο Lyapunov εισήγαγε την άμεση ή δεύτερη μέθοδό του, όπου κατάφερε να εξασφαλίσει αποτελέσματα για την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας χωρίς να γνωρίζει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης, αλλά χρησιμοποιώντας μόνο την ίδια τη διαφορική εξίσωση. Από τότε έχει δοθεί πλήθος αντίστροφων θεωρημάτων, που εξασφαλίζουν την ύπαρξη μίας συνάρτησης Lyapunov, από διάφορους συγγραφείς. Το πρώτο κύριο θεώρημα για ασυμπτωτική ευστάθεια δόθηκε από τον Massera το 1949 και από τότε έχει βελτιωθεί από πολλούς συγγραφείς προς διάφορες κατευθύνσεις. Ωστόσο, κανένα από τα θεωρήματα ύπαρξης δεν παρέχει μία μέθοδο σαφούς κατασκευής μίας συνάρτησης Lyapunov. Για γραμμικά συστήματα μπορεί κάποιος να κατασκευάσει μία τετραγωνικής μορφής συνάρτηση Lyapunov της μορφής με ένα συμμετρικό, θετικά ορισμένο πίνακα , όπου συμβολίζει το σημείο ισορροπίας. Ο Hahn περιγράφει πως μπορεί κάποιος, ξεκινώντας από ένα μη-γραμμικό σύστημα, να χρησιμοποιήσει την τετραγωνικής μορφής συνάρτηση Lyapunov του γραμμικοποιημένου συστήματος σα μία συνάρτηση Lyapunov για το μη-γραμμικό σύστημα. Πολλές προσεγγίσεις θεωρούν ειδικές συναρτήσεις Lyapunov, όπως τετραγωνικής μορφής, πολυωνυμικές, κατά τμήματα γραμμικές, ή κατά τμήματα τετραγωνικής μορφής. Οι μέθοδοι όμως αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο σε συγκεκριμμένες διαφορικές εξισώσεις. Σε αυτή την εργασία θα ασχοληθούμε με δύο μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov. Για τη πρώτη μέθοδο κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov για ένα σημείο ισορροπίας, ξεκινούμε με ένα θεώρημα που εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας συνάρτησης Lyapunov η οποία ικανοποιεί την ισότητα , όπου είναι μία γνωστή σταθερά. Βασικός στόχος της μεθόδου είναι να προσεγγίσει τη λύση αυτής της μερικής διαφορικής εξίσωσης με τη χρήση συναρτήσεων ακτινωτής βάσης. Τότε και η προσέγγιση είναι μία συνάρτηση Lyapunov και έτσι, μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για να καθορίσουμε το ελκτικό σύνολο. Επειδή η συνάρτηση δεν ορίζεται στο , μελετούμε και μία δεύτερη κλάση συναρτήσεων Lyapunov , οι οποίες ορίζονται και είναι ομαλές στο . Αυτές ικανοποιούν την ισότητα , όπου είναι μία δοθείσα συνάρτηση με συγεκριμμένες ιδιότητες, μία εκ των οποίων είναι ότι . Για την προσέγγιση χρησιμοποιούμε συναρτήσεις ακτινωτής βάσης. Στη δεύτερη μέθοδο κατασκευάζουμε μια κατά τμήματα γραμμική συνάρτηση Lyapunov για το αρχικό μη-γραμμικό σύστημα χρησιμοποιώντας γραμμικό προγραμματισμό. / In this diploma work we present methods for the construction of Lyapunov functions for dynamical systems but also we determine the basin of attraction of an equilibrium. The study of differential equations is motivated from numerous applications in physics, chemistry, economics, biology, etc. We focus on autonomous differential equations x’ = f(x), x ∈ Rn which define a dynamical system. The simplest solutions x(t) of such an equation are equilibria, i.e. solutions x(t) = x0 which remain constant. An important and non-trivial task is thedetermination of their basin of attraction. The determination of the basin of attraction is achieved through sublevel sets of a Lyapunov function, i.e. a function with negative orbital derivative. The orbital derivative V ‘(x) of a function V (x) is the derivative along solutions of the differential equation. In this book we present a method to construct Lyapunov functions for an equilibrium. There is a rich literature on the functions of Lyapunov. In 1893, Lyapunov introduced the direct method, where he managed to secure results for the stability of an equilibrium point without knowing the solution of the differential equation, but using only the same differential equation. Since then many inverse theorems have been given that ensure the existence of a function Lyapunov, by various authors. The first main theorem on asymptotic stability given by Massera in 1949 and since then has been improved by many authors in different directions. However, none of the theorem of existence does not provide a clear method of manufacturing a Lyapunov function. For linear systems, one can construct a quadratic form of a Lyapunov function with a symmetric positive definite table. The Hahn describes how people, starting from a non-linear system, use the like it were a Lyapunov function for the nonlinear system. Many approaches consider special functions Lyapunov, such as quadratic form, polynomial. These methods can be used only in specific differential equations. In this book we present a method to construct Lyapunov functions for an equilibrium. We start from a theorem which ensures the existence of a Lyapunov function T which satisfies the equation T’(x) = −c, where -c > 0 is a given constant. This equation is a linear first-order partial differential equation. The main goal of this method is to approximate the solution T of this partial differential equation using radial basis functions. Then the approximation itself is a Lyapunov function, and thus can be used to determine the basin of attraction. Since the function T is not defined at x0, we also study a second class of Lyapunov functions V which are defined and smooth at x0. They satisfy the equation V ‘(x) = −p(x), where p(x) is a given function with certain properties, in particular p(x0) = 0. For the approximation we use radial basis functions, a powerful meshless approximation method. In the second method we construct a linear Lyapunov function for the original non-linear system using linear programming.

Ο όρος μορφοκλασματικό σύνολο παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Barnsley, το 1975. Ουσιαστικά ονόμασε έτσι το όριο μιας επαναληπτικής διαδικασίας, όταν ο αριθμός των επαναλήψεων τείνει στο άπειρο. Μέσα από τη μηχανή πολλαπλών αντιγράφων ορίζουμε το μορφοκλασματικό σύνολο και τις ιδιότητές του. Τα μορφοκλασματικά σύνολα έχουν εφαρμογές σε πολλά επιστημονικά πεδία, αλλά η κυριότερη είναι ως μέσο στη συμπίεση εικόνων. Ξεκινώντας από τη συμπίεση εικόνων οδηγούμαστε στον ορισμό του επαναληπτικού συστήματος συναρτήσεων και την ανάλυση της θεωρίας του, μέσω των οποίων επιτυγχάνουμε συμπίεση εικόνων. Η ανάγκη για εξοικονόμηση μνήμης, λόγω του μεγάλου όγκου δεδομένων, έκανε τον Barnsley να σκεφτεί αντί να αποθηκεύουμε ολόκληρη την εικόνα να αποθηκεύουμε μόνο το κατάλληλο επαναληπτικό σύστημα συναρτήσεων. Η διαδικασία της συμπίεσης εικόνων με μορφοκλασματικά σύνολα συντίθεται από δύο φάσεις. Την κωδικοποίηση και την αποκωδικοποίηση. Στην πρώτη φάση, προσπαθούμε να λύσουμε ένα αντίστροφο πρόβλημα και συγκεκριμένα να βρούμε το κατάλληλο επαναληπτικό σύστημα συναρτήσεων που αν το εφαρμόσουμε σε μια αρχική εικόνα θα συγκλίνουμε στον ελκυστή. Στη δεύετρη φάση, τη φάση της αποκωδικοποίησης, με χρήση του επαναληπτικού συστήματος συναρτήσεων, προσεγγίζουμε τον ελκυστή μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων.Η υλοποίηση αυτών των φάσεων καθώς και οι δυνατοί τρόποι μείωσης της πολυπλοκότητας που απαιτείται κατά τη φάση της κωδικοποίησης είναι και το αντικείμενο της παρούσας εργασίας, στα πλαίσια της οποίας παρουσιάζονται και υλοποιούνται παραλλαγές γνωστών τεχνικών οι οποίες παρουσιάζουν βελτίωση στο PSNR, το λόγο συμπίεσης και το χρόνο κωδικοποίησης. Τέλος, προτείνεται μια νέα τεχνική για τον προσδιορισμό του κατάλληλου επαναληπτικού συστήματος συναρτήσεων κατά τη φάση της κωδικοποίησης, η οποία βασίζεται στην ελαχιστοποίηση μιας μη γραμμικής συνάρτησης κόστους. Αποτιμάται η απόδοσή της και συγκρίνεται με αυτή άλλων γνωστών τεχνικών κωδικοποίησης. / The term ‘fractal’ was first introduced by B. Mandelbrot, in 1975. It denotes the limit of an iterative process, when the number of iterations is infinite. Through the multiple photocopy machine, we define fractal and its properties. Fractals have many applications, one of which is in image compression. This is the object of the present research. Starting with data compression, we aim at the definition of an iterative function system and the IFS theory, through which we can achieve image compression. The need of massive storage in memory made Barnsley think that instead of storing the whole image in memory we can store only the suitable IFS. The process consists of two phases. The encoding and decoding. In encoding we try to solve the inverse problem, i.e. finding the best IFS that when we apply it to a starting image we will get the attractor. In the second phase, after a number of iterations we approximate the attractor. Several fractal image compression methods that already exist, together with their techniques and variations are presented and implemented in this research, in order to achieve improvements in PSNR, compression ratio and encoding time. A new method for fractal image compression on grayscale images is proposed at the end of this research, based on the minimization of a cost function. The experimental as well as the comparative results are shown.

Η παρούσα εργασία πραγματεύεται το σχεδιασμό και τη δημιουργία εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία της ομοιόμορφης σύγκλισης ακολουθιών πραγματικών συναρτήσεων. Η ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών πραγματικών συναρτήσεων είναι ένα μαθηματικό ζήτημα που αντιμετωπίζουν οι δευτεροετείς φοιτητές των Μαθηματικών Τμημάτων. Η εμπειρία τόσο των φοιτητών όσο και των εκπαιδευτικών έχει δείξει ότι η μάθηση αυτού του αντικειμένου με παραδοσιακές μεθόδους διδασκαλίας (π.χ., από έδρας διδασκαλία, ή εγχειρίδιο) παρουσιάζει δυσκολία στην κατασκευή των γραφικών παραστάσεων ακολουθιών πραγματικών συναρτήσεων. Στόχος του λoγισμικού UNICORN (UNIform COnvergence Resource Navigator) είναι να καλύψει αυτό το εκπαιδευτικό κενό διδάσκοντας την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης μέσα από την κατασκευή και ανάλυση των γραφικών παραστάσεων. Ο σχεδιασμός του λογισμικού βασίστηκε κυρίως στην κονστρουκτιβιστική θεωρία μάθησης (constructivism). Το UNICORN είναι ένα ανοιχτό περιβάλλον που επιδιώκει να εμπλέξει ενεργά το φοιτητή στη μαθησιακή διεργασία και να ενεργοποιήσει τη δημιουργικότητά του. Η πλοήγηση του φοιτητή μέσα στο λογισμικό υποβοηθείται εν μέρει από κατευθυντήριες ερωτήσεις και διορθωτικό σχολιασμό (feedback), που βασίζονται στη θεωρία μάθησης του ινστραξιονισμού (instructionism). Το UNICORN κατασκευάστηκε με τη χρήση των προγραμμάτων Mathematica 4.0 (γραφικές παραστάσεις) και Macromedia Director 8.5 (κοινή επιφάνεια – interface), το υποπρόγραμμα BuddyApi (επικοινωνία UNICORN-Mathematica), και τη γλώσσα προγραμματισμού Lingo (λειτουργίες interface). Το λογισμικό είναι έτοιμο για πιλοτική χρήση και αξιολόγηση ως συμπληρωματικό εκπαιδευτικό υλικό και/ή ως εργαλείο μάθησης από απόσταση. / The present work discusses the design and development of educational software for teaching the uniform convergence of sequences of real functions. This advanced mathematical topic is taught during the second year of undergraduate studies in Mathematics Departments of Greek academic institutions. The experiences of both students and instructors agree that this topic is difficult to understand by using only traditional teaching methods (such as a lecture and the use of the blackboard). The reason is that it is difficult to draw manually graphical representations of the sequences of real functions. The educational software described here (named UNIform COnvergence Resource Navigator, or UNICORN) aims to cover this educational gap by teaching the concept of the uniform convergence of sequences of real functions through the construction and analysis of the respective graphical representations. The design of the educational software was mainly based on the teaching theory of constructivism. UNICORN is an open environment that aims to actively involve the user/learner in the learning process and to activate her creativity. The student’s navigation through the software is assisted by instructional questions and feedback, both of which are based on the learning theory of instructionism. UNICORN was developed with the help of Mathematica 4.0 (graphical representations), Director 8.5 (interface), and BuddiApi (communication between UNICORN and Mathematica). The software is ready for pilot testing and evaluation as supplementary teaching material and/or as a tool for long distance learning.

Έστω C(Y,Z) το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων από έναν τοπολογικό χώρο Υ σ' έναν τοπολογικό χώρο Ζ. Στη διπλωματική εργασία δίνουμε και μελετάμε τοπολογίες στο C(Y,Z). / Let C(Y,Z) be the set of all continuous maps from a topological space Y to a topological space Z . We give and study topologies on the set C(Y,Z) .

Το αντικείµενο αυτής της διδακτορικής διατριβής είναι η σχεδίαση και η ανάλυση νέων αλγορίθµων υπολογισµού των κατανοµών ισχύος και πληροφορίας σε πολυκαναλικά συστήµατα τεχνολογίας ψηφιακών συνδροµητικών γραµµών DSL. Η αρχή λειτουργίας των πολυκαναλικών συστηµάτων βασίζεται στη διαίρεση του συνολικού φάσµατος σε επιµέρους υποκανάλια χαµηλού ρυθµού µετάδοσης, τα οποία µεταφέρουν τη συνολική πληροφορία µέσω ειδικών τεχνικών διαµόρφωσης. Ο υπολογισµός των κατανοµών της ισχύος εκποµπής και της πληροφορίας στα υποκανάλια του συστήµατος βασίζεται σε αλγορίθµους που είναι γνωστοί µε τον όρο αλγόριθµοι bit-loading. Η πλειοψηφία των αλγορίθµων bit-loading που χρησιµοποιούνται σήµερα είναι αλγόριθµοι ενός χρήστη, δηλαδή εκτελούνται στο δέκτη της γραµµής ενδιαφέροντος, χωρίς να λαµβάνουν υπόψη τα χαρακτηριστικά των πηγών θορύβου (π.χ. παρεµβολή διαφωνίας από γειτονικά συστήµατα στην ίδια δέσµη), παρά µόνο το αποτέλεσµα αυτών (µείωση του λόγου σήµατος-προς- θόρυβο). Για τα πολυκαναλικά συστήµατα ορίζονται δύο βασικές κατηγορίες προβληµάτων bitloading: το πρόβληµα µεγιστοποίησης του ρυθµού µετάδοσης για δεδοµένη ισχύ εκποµπής και το πρόβληµα ελαχιστοποίησης της συνολικής ισχύος για δεδοµένο ρυθµό µετάδοσης. Σε κάθε περίπτωση ένα σύνολο από περιορισµούς (π.χ. µέγιστη ισχύς ανά υποκανάλι, ακέραιες τιµές στην κατανοµή της πληροφορίας) ορίζουν τη βέλτιστη λύση, η οποία ικανοποιεί όλες τις συνθήκες. Οι αλγόριθµοι που έχουν προταθεί βασίζονται σε µεθόδους τύπου greedy bit-filling, οι οποίες υπολογίζουν τη βέλτιστη λύση µε ακέραιες τιµές στην κατανοµή πληροφορίας, και σε µεθόδους τύπου water-filling, οι οποίες οδηγούν σε λύση µε πραγµατικές τιµές στην κατανοµή πληροφορίας, οπότε η τελική “ηµι-βέλτιστη” λύση προκύπτει µε κατάλληλη διακριτοποίηση. Η ραγδαία εξάπλωση των συνδέσεων DSL, καθώς και η ανάγκη για παροχή υψηλότερων ρυθµών µετάδοσης έχει οδηγήσει την επιστηµονική και βιοµηχανική κοινότητα στη διερεύνηση µεθόδων για τη διαχείριση ολόκληρου του φάσµατος µιας δέσµης αγωγών µε στόχο τη βελτιστοποίηση της απόδοσης του συνολικού δικτύου. Ο σηµαντικότερος παράγοντας που περιορίζει τον προσφερόµενο ρυθµό µετάδοσης στα συστήµατα DSL είναι ο θόρυβος διαφωνίας µεταξύ γειτονικών συστηµάτων που λειτουργούν στην ίδια δέσµη. Στα πλαίσια αυτά ανήκει και η σχεδίαση κεντρικών αλγορίθµων bit-loading πολλών χρηστών, µε στόχο τον υπολογισµό των βέλτιστων κατανοµών όλων των συνδέσεων της δέσµης, ώστε να ελαχιστοποιούνται οι συνολικές παρεµβολές διαφωνίας. Σε αντίθεση µε τους αλγορίθµους ενός χρήστη, η διατύπωση του προβλήµατος bit-loading της δέσµης απαιτεί τη γνώση των συναρτήσεων διαφωνίας, ώστε να ορισθεί η αλληλεπίδραση µεταξύ των σηµάτων στις επιµέρους γραµµές. Οι αλγόριθµοι bit-loading πολλών χρηστών που έχουν παρουσιαστεί µέχρι σήµερα βασίζονται στις αρχές λειτουργίας των µεθόδων ενός χρηστή και θεωρούν ότι οι συναρτήσεις διαφωνίας είναι γνωστές. Για τον υπολογισµό των τελευταίων οι τεχνικές που συναντώνται στη βιβλιογραφία δεν εκτελούνται στις διατάξεις µετάδοσης, αλλά βασίζονται στη συλλογή και επεξεργασία σηµάτων σε εξωτερικά συστήµατα. Στα πλαίσια της διδακτορικής διατριβής έγινε ανάλυση των πολυκαναλικών συστηµάτων δέσµης ψηφιακών συνδροµητικών γραµµών (τεχνολογίας ADSL) και προτάθηκαν νέοι αλγόριθµοι bit-loading ενός χρήστη και πολλών χρηστών. Ειδικότερα, παρουσιάζονται λύσεις που αφορούν τα παρακάτω θέµατα: 􀂃 Ανάπτυξη νέου ταχύ αλγόριθµου bit-loading ενός χρήστη. Ο νέος αλγόριθµος επιλύει το πρόβληµα ελαχιστοποίησης της συνολικής ισχύος εκποµπής για δεδοµένο ρυθµό µετάδοσης και ανήκει στην κατηγορία των βέλτιστων αλγορίθµων. 􀂃 ∆ιερεύνηση της απόδοσης συστηµάτων δέσµης συνδροµητικών γραµµών, ως προς την εκµετάλλευση της συνολικής χωρητικότητας της δέσµης, όταν εφαρµόζεται αυτόνοµη διαχείριση του φάσµατος σε κάθε σύνδεση µέσω αλγορίθµων bit-loading ενός χρήστη. 􀂃 Ανάπτυξη νέου κεντρικού αλγόριθµου bit-loading πολλών χρηστών. Ο νέος αλγόριθµος αντιµετωπίζει το πρόβληµα της ανισοκατανοµής των ρυθµών µετάδοσης µεταξύ των συνδέσεων µιας δέσµης, εξ αιτίας της µη κεντρικής διαχείρισης του φάσµατος. 􀂃 Ανάπτυξη νέας µεθόδου για την αναγνώριση των συναρτήσεων διαφωνίας µεταξύ των αγωγών µιας δέσµης συνδροµητικών γραµµών. Η νέα µέθοδος εκτελείται στις διατάξεις µετάδοσης και βασίζεται σε κυκλώµατα επεξεργασίας πραγµατικού χρόνου. Οι νέοι αλγόριθµοι που προτείνονται αποτελούν πρωτότυπες λύσεις στην περιοχή των ψηφιακών επικοινωνιών για πολυκαναλικά συστήµατα µετάδοσης και βασίζονται σε µεθόδους, οι οποίες παρουσιάζουν συγκριτικά πλεονεκτήµατα µε άλλες υφιστάµενες λύσεις. Ειδικότερα: 􀂃 Ο νέος αλγόριθµος bit-loading ενός χρήστη υπολογίζει τη βέλτιστη λύση µε όλους τους περιορισµούς του συστήµατος επικοινωνίας, σε αντίθεση µε άλλους αλγορίθµους που υποστηρίζουν µόνο µέρος των περιορισµών. Επιπλέον, εµφανίζει µικρή πολυπλοκότητα και µεγάλη ταχύτητα εκτέλεσης συγκριτικά µε άλλες µεθόδους. 􀂃 Η διερεύνηση των συστηµάτων δέσµης, ως προς τη µεγιστοποίηση των ρυθµών µετάδοσης όταν δεν εφαρµόζεται κεντρική διαχείριση του φάσµατος, αναδεικνύει το πρόβληµα της ανισοκατανοµής της συνολικής χωρητικότητας στις επιµέρους συνδέσεις. 􀂃 Ο νέος κεντρικός αλγόριθµος bit-loading πολλών χρηστών αντιµετωπίζει το πρόβληµα της µη δίκαιης κατανοµής των ρυθµών µετάδοσης και ταυτόχρονα εξασφαλίζει ένα ελάχιστο περιθώριο µείωσης του λόγου σήµατος-προς-θόρυβο σε κάθε σύνδεση. 􀂃 Η νέα µέθοδος αναγνώρισης των συναρτήσεων διαφωνίας εκτελείται στις συσκευές µετάδοσης σε πραγµατικό χρόνο σε αντίθεση µε άλλες µεθόδους, οι οποίες εκτελούνται σε εξωτερικά συστήµατα µετρήσεων, και βασίζεται σε µια νέα µέθοδο εκτίµησης και αναγνώρισης των σηµάτων παρεµβολής. / The objective of this dissertation is the development of new algorithms for the calculation of the power and rate distributions in multicarrier systems with application in the Asymmetric Digital Subscriber Line (ADSL) technology. In multicarrier systems the spectrum is divided into narrowband subchannels and the total data-load is transmitted by modulating a set of independent subcarriers. The allocation of the total rate and power into the subchannels is based on bit-loading algorithms. The bit-loading algorithms used in multicarrier modems are mainly single-user algorithms: they do not take into account the decisions of the neighboring lines in the binder. In multicarrier systems two bit-loading problems are of main interest: rate-maximization subject to a total power constraint and margin-maximization subject to a given data rate. In both cases, a number of system constraints (e.g. power spectral density mask, integer bit values) determine the unique optimum solution. The bit-loading algorithms presented in the literature are based either on greedy methods, which provide the optimum discrete bit-allocation, or on water-filling methods, which in general provide non-integer bit-allocation. In this case, a final sub-optimum solution is provided using bit rounding. The rapid growth of the DSL users as well as the increasing demand for higher speed services has led the research and industry community in the investigation of methods for dynamic spectrum control of the modems operating in the same binder. In DSL systems, crosstalk interference induced by adjacent lines is one of the largest noise impairments that reduce the performance of services supported by the same binder. Therefore dynamic management incorporates methods for modem coordination and multi-user bit-loading in order to calculate the rate and power allocations of all activated lines, so that the total interference is reduced for a common global-binder benefit. In contrast to the single-user case, the formulation of the multi-user bit-loading problem requires the knowledge of the crosstalk transfer functions between the lines of the binder. The multi-user bitloading algorithms presented in the literature assume that the crosstalk transfer functions are known. In addition, the methods presented for crosstalk identification in DSL systems are based on data collection and processing in third-party systems. In this dissertation, the multicarrier system of an ADSL binder is studied and new single-user and multi-user bit-loading algorithms are developed. In particular, this dissertation presents solutions in the following problems: .. Development of a new computationally efficient single-user bit-loading algorithm. The proposed algorithm provides the optimum discrete solution to the margin-maximization problem. .. Investigation of the capacity and rate-region performance of ADSL binder systems when no overall spectrum control and no modem coordination are used (each modem performs single-user bit-loading). .. Development of a new multi-user bit-loading algorithm. The proposed algorithm resolves the problem of the non-uniform distribution of the achievable data rates experienced for a region of target-rate values, as a result of the no modem-coordination strategy. .. Development of a new crosstalk identification method for DSL binder systems. The proposed method is executed in the operating modems and is based on real time signal processing. This dissertation presents new algorithms which provide advantages compared to other solutions in the multicarrier DSL technology. In particular: .. The new single-user bit-loading algorithm provides the optimum discrete solution under the complete set of system constraints, in contrast to other solutions that consider only a subset of constraints. Moreover, the new algorithm is of low computational complexity compared with other methods. .. The investigation of the rate-region performance of ADSL binder systems under no overall spectrum control reports the problem of the non-uniform distribution of the achievable data rates. This “unfairness” is experienced as a result of the no modemcoordination strategy. .. The new multi-user bit-loading algorithm resolves the problem of the non-uniform distribution of the achievable data rates and guarantees a minimum SNR margin for each activated link in the binder. .. The new crosstalk identification method is based on a new technique for estimating the interference signals and is executed in the operating modems using real-time signal processing, in contrast to other methods which are executed in third-party systems.