在這篇論文裡,我們主要在探討熱帶幾何的基本性質並研究熱帶幾何近來的發展,特別是Mikhalkin計算曲線個數的方法.最後,我們簡短的討論熱帶幾何在三維的一些情況. / In this thesis, we study the properties of tropical geometry and survey the recent development of tropical geometry, especially Mikhalkin's method of counting curves. We also briefly study tropical geometry in three-dimensional case.

本篇論文主要是在討論熱帶曲線上，離散型的因子應具備有哪些性質，而在討論 熱帶曲線上因子的性質時，我們會發現到致的計算，在低次熱帶曲線上，或是 因子本身的係數總和高時，並不是太困難。但再高次的熱帶曲線上，致的計算 就成線的極其繁雜，因此我們想要藉由在熱帶曲線上離散型的來幫助我們計算。 最後我們可以得到的結論是，若C是一平滑的熱帶曲線，則C上因子的致， 將會受到C的虧格所限制，大幅的簡化了我們在離散型熱帶曲線因子致的 計算。

此篇論文我們主要是探討熱帶幾何下，凸集(convex set)以及圓錐(cone)的生成元素(generator)個數。在第二章中我們對一些基本環境及運算工具做介紹，例如：熱帶半環(tropical semiring)為度量空間(metric space)、極限值的運算性質等等，在第三章中我們探討回收錐(recession cone)、凸集及圓錐的性質，其中包含三者之間的關係，而在第四章中我們探討閉圓錐(closed cone)、緊緻凸集(compact convex set)、閉凸集(closed convex set)三者的生成元素個數，並以實例說明此性質，最後我們將推論出一個方法來找出在二維的熱帶空間底下的有限生成圓錐之生成元素。 / In this thesis, I will discuss the generators of cone and convex set in tropical geometry. In Chapter 2, basic environment in tropical geometry and arithmetic tools are introduced here, such as how to find the limit value in tropical geometry or deciding if tropical semiring is a metric space, etc. In Chapter 3, I explore the properties of cone, convex and recession cone, inclusive of the relations of one another. In Chapter 4, the generators of a closed cone, a compact convex set, a closed convex set are provided with illustrations to present the properties. It will finally lead to a method to find the generators of the finitely generated cone in two dimesion space.

本研究著重於數據的幾何模式以了解資料變數間的關係，運用統計模型配適所得的係數加權於距離矩陣上，是否能有效提升正確率。本研究主要使用資料雲幾何樹及餘弦相似度方法與抽樣多數決投票法判別預測資料類別，另外並與階層式分群法、支持向量機、Hybrid法於三筆不同資料的分類結果比較，其中有兩筆為生物行為評估專案資料與美國威斯康辛州診斷乳癌資料，使用監督式學習驗證資料分類結果，另一筆月亮模擬資料，使用半監督式學習預測新資料分類結果。最後，各方法的優劣性與原因將被探討與總結，可知不同資料數據的幾何，確實需要嘗試不同公式與演算法來達到好的機器學習結果。 / The study focuses on the computed data-geometry based learning to discover the inter-dependence patterns among covariate vectors. In order to discover the patterns and improve classification accuracy, the distance functions are modified to better capture the geometry patterns and measure the association between variables. A comparison of the performance of my proposed learning rule to the other machine learning techniques will be summarized through three datasets. In the end, I demonstrated why the concept of geometry patterns is essential.

本研究旨在探討不同年齡層的幼兒在基本幾何圖形的辨識情況，並分析幼兒辨識三角形及圓形的影響向度。 研究工具參考自「吳氏視覺的幾何思考層次測驗」，研究對象採便利取樣，選取幼稚園小、中、大班的幼兒(大班359位，中班290位，小班121位。共770位)。進行三角形和圓形的辨識，本研究將會影響幼兒辨識三角形和圓形的向度分為六大類：直線或曲線、開放或封閉、不同大小、不同方位、角度、凹凸。研究結果顯示： (1)不同大小、不同方位、角度這三種向度對幼兒而言的辨識度是較低的。 (2)直線或曲線、開放或封閉、凹凸這三種向度對幼兒而言的辨識度是較高的。(3)最影響幼兒辨識圖形的向度為凹凸的圖形。 (4)圖形越大，幼兒的辨識度就越高，圖形越小，幼兒的辨識度就越低。 (5)邊長比例越懸殊的三角形，幼兒就越不容易辨識出來。 (6)年齡層越高的幼兒，對於圖形的辨識率就越高。 / The purpose of the research is to analyze the ability of how young children at different ages recognize basic geometric figures, and to find out the factors which influence their recognition of triangles and circles. “Wu's Test of Geometric Thinking of Visual Level” was adopted here as the main research tool. 770 subjects were chosen by convenience sampling, including 359 from top classes, 290 from middle classes, and 121 from the bottom classes in kindergartens. To study how young children recognize triangles and circles, the factors were divided into six dimensions: (1) straight line or curve line; (2) open or close figure; (3) figures of different sizes; (4) figures of different positions; (5) figures of different angles; and (6) convex or concave figures. Here are the research findings: (1) Among six dimensions, it is more difficult for children to recognize figures of different sizes, positions and angles. (2) While the other three dimensions including “straight line or curve line”, “open or close figure”, and “convex or concave figures” are more easily to be recognized by children. (3) It is most difficult for children to recognize convex or concave figures. (4) Bigger figures are more easily and accurately recognized by children then smaller ones. (5) With higher side ratio of triangles, it’s more difficult for children to recognize them. (6) Elder children can recognize figures more easily and successfully than younger children.

熱帶曲線(tropical curves) 是定義在熱帶半環(tropical semiring) 上的代數曲線。熱帶曲線是古典代數曲線經由某些賦值(valuation) 的映像，所以許多重要的代數曲線性質也同樣發生在熱帶曲線上。本篇論文我們試著將熱帶曲線圖形化。 首先，我們根據熱帶曲線的理論發展出幾個繪出熱帶曲線的演算法。再者，我們以電腦程式語言Python 去實現這些算演算法。我們發展的是跨平台的程式碼，可以在Linux, Mac OS X, Windows 等作業系統執行。 / Tropical curves are algebraic curves dened over the tropical semiring. They are the images of classical algebraic curves under some valuation maps, so reect many important properties of classical algebraic curves. In this thesis, we try to visualize tropical curves. We study the theory of tropical curves and develop several algorithms to draw the graphs of tropical curves. Furthermore, we implement these algorithms in Python programming language. These codes are cross-platform, running on Linux, Mac OS X, and Windows.

Kyoto University (京都大学) / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(工学) / 甲第15369号 / 工博第3248号 / 新制||工||1489(附属図書館) / 27847 / 京都大学大学院工学研究科建築学専攻 / (主査)教授 林 康裕, 教授 竹脇 出, 准教授 大﨑 純 / 学位規則第4条第1項該当

這一篇論文是說明矩陣中的元素如果滿足熱帶格雷斯曼就可以將它用樹型圖表示。第二章簡述熱帶數學的基本運算和介紹超曲面，作為熱帶格雷斯曼的先備知識。第三章介紹演化樹，在第二節中用兩種方法重建演化樹，第一種方法UPGMA是要在特定的條件下所建造的演化樹才會正確，第二種方法是利用矩陣中兩個物種間的距離假設的樹型配置圖，解聯立方程組得到各段距離，第三節中先介紹代數幾何中的格雷斯曼再聯結到熱帶幾何中的格雷斯曼。第四章是將第二種方法寫成Python程式，輸入矩陣中的元素，如果滿足熱帶格雷斯曼，就可以顯示它可能的樹型圖以及算出距離。

在這篇論文中，我們從K energy的角度探討緊緻法諾超平面上的K穩定性。首先，我們給K energy一個較明確的型式，接著再透過分析的手法求解其導函數。後續，我們引進熱帶幾何的結構來重新分析主要的結果，最後給一些法諾超平面的實例，驗證我們所得到的公式。 / In this thesis, we analyze K stability on compact Fano hypersurfaces from K energy. We first represent the K energy into an explicitly formula. Then we compute the derivative by using some analytic techniques. Furthermore, we introduce some structures of tropical geometry to analyze the main result. Finally, we give some examples of compact Fano hypersurface to test and verify the formula we get.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20046号 / 理博第4231号 / 新制||理||1609(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 加藤 毅, 教授 上 正明, 教授 山口 孝男 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM