Dans cette thèse, nous étudions trois types de problèmes stochastiques : les problèmes avec contraintes probabilistes, les problèmes distributionnellement robustes et les problèmes avec recours. Les difficultés des problèmes stochastiques sont essentiellement liées aux problèmes de convexité du domaine des solutions, et du calcul de l’espérance mathématique ou des probabilités qui nécessitent le calcul complexe d’intégrales multiples. A cause de ces difficultés majeures, nous avons résolu les problèmes étudiées à l’aide d’approximations efficaces.Nous avons étudié deux types de problèmes stochastiques avec des contraintes en probabilités, i.e., les problèmes linéaires avec contraintes en probabilité jointes (LLPC) et les problèmes de maximisation de probabilités (MPP). Dans les deux cas, nous avons supposé que les variables aléatoires sont normalement distribués et les vecteurs lignes des matrices aléatoires sont indépendants. Nous avons résolu LLPC, qui est un problème généralement non convexe, à l’aide de deux approximations basée sur les problèmes coniques de second ordre (SOCP). Sous certaines hypothèses faibles, les solutions optimales des deux SOCP sont respectivement les bornes inférieures et supérieures du problème du départ. En ce qui concerne MPP, nous avons étudié une variante du problème du plus court chemin stochastique contraint (SRCSP) qui consiste à maximiser la probabilité de la contrainte de ressources. Pour résoudre ce problème, nous avons proposé un algorithme de Branch and Bound pour calculer la solution optimale. Comme la relaxation linéaire n’est pas convexe, nous avons proposé une approximation convexe efficace. Nous avons par la suite testé nos algorithmes pour tous les problèmes étudiés sur des instances aléatoires. Pour LLPC, notre approche est plus performante que celles de Bonferroni et de Jaganathan. Pour MPP, nos résultats numériques montrent que notre approche est là encore plus performante que l’approximation des contraintes probabilistes individuellement.La deuxième famille de problèmes étudiés est celle relative aux problèmes distributionnellement robustes où une partie seulement de l’information sur les variables aléatoires est connue à savoir les deux premiers moments. Nous avons montré que le problème de sac à dos stochastique (SKP) est un problème semi-défini positif (SDP) après relaxation SDP des contraintes binaires. Bien que ce résultat ne puisse être étendu au cas du problème multi-sac-à-dos (MKP), nous avons proposé deux approximations qui permettent d’obtenir des bornes de bonne qualité pour la plupart des instances testées. Nos résultats numériques montrent que nos approximations sont là encore plus performantes que celles basées sur les inégalités de Bonferroni et celles plus récentes de Zymler. Ces résultats ont aussi montré la robustesse des solutions obtenues face aux fluctuations des distributions de probabilités. Nous avons aussi étudié une variante du problème du plus court chemin stochastique. Nous avons prouvé que ce problème peut se ramener au problème de plus court chemin déterministe sous certaine hypothèses. Pour résoudre ce problème, nous avons proposé une méthode de B&B où les bornes inférieures sont calculées à l’aide de la méthode du gradient projeté stochastique. Des résultats numériques ont montré l’efficacité de notre approche. Enfin, l’ensemble des méthodes que nous avons proposées dans cette thèse peuvent s’appliquer à une large famille de problèmes d’optimisation stochastique avec variables entières. / In this thesis, we studied three types of stochastic problems: chance constrained problems, distributionally robust problems as well as the simple recourse problems. For the stochastic programming problems, there are two main difficulties. One is that feasible sets of stochastic problems is not convex in general. The other main challenge arises from the need to calculate conditional expectation or probability both of which are involving multi-dimensional integrations. Due to the two major difficulties, for all three studied problems, we solved them with approximation approaches.We first study two types of chance constrained problems: linear program with joint chance constraints problem (LPPC) as well as maximum probability problem (MPP). For both problems, we assume that the random matrix is normally distributed and its vector rows are independent. We first dealt with LPPC which is generally not convex. We approximate it with two second-order cone programming (SOCP) problems. Furthermore under mild conditions, the optimal values of the two SOCP problems are a lower and upper bounds of the original problem respectively. For the second problem, we studied a variant of stochastic resource constrained shortest path problem (called SRCSP for short), which is to maximize probability of resource constraints. To solve the problem, we proposed to use a branch-and-bound framework to come up with the optimal solution. As its corresponding linear relaxation is generally not convex, we give a convex approximation. Finally, numerical tests on the random instances were conducted for both problems. With respect to LPPC, the numerical results showed that the approach we proposed outperforms Bonferroni and Jagannathan approximations. While for the MPP, the numerical results on generated instances substantiated that the convex approximation outperforms the individual approximation method.Then we study a distributionally robust stochastic quadratic knapsack problems, where we only know part of information about the random variables, such as its first and second moments. We proved that the single knapsack problem (SKP) is a semedefinite problem (SDP) after applying the SDP relaxation scheme to the binary constraints. Despite the fact that it is not the case for the multidimensional knapsack problem (MKP), two good approximations of the relaxed version of the problem are provided which obtain upper and lower bounds that appear numerically close to each other for a range of problem instances. Our numerical experiments also indicated that our proposed lower bounding approximation outperforms the approximations that are based on Bonferroni's inequality and the work by Zymler et al.. Besides, an extensive set of experiments were conducted to illustrate how the conservativeness of the robust solutions does pay off in terms of ensuring the chance constraint is satisfied (or nearly satisfied) under a wide range of distribution fluctuations. Moreover, our approach can be applied to a large number of stochastic optimization problems with binary variables.Finally, a stochastic version of the shortest path problem is studied. We proved that in some cases the stochastic shortest path problem can be greatly simplified by reformulating it as the classic shortest path problem, which can be solved in polynomial time. To solve the general problem, we proposed to use a branch-and-bound framework to search the set of feasible paths. Lower bounds are obtained by solving the corresponding linear relaxation which in turn is done using a Stochastic Projected Gradient algorithm involving an active set method. Meanwhile, numerical examples were conducted to illustrate the effectiveness of the obtained algorithm. Concerning the resolution of the continuous relaxation, our Stochastic Projected Gradient algorithm clearly outperforms Matlab optimization toolbox on large graphs.

大型天然災害會癱瘓通訊系統，嚴重影響到救災效率，本論文旨在快速進行可用連外頻寬分配，供應急通訊系統使用。無線通訊技術的成熟，為使用者帶來極大的便利性，但當發生大規模的地震或強烈颱風等重大天然災害時，通訊系統卻常常因架構等因素，隨著電力與交通系統的損毀而癱瘓。由歷年大型災變中多數災區內之行動通訊系統全面中斷即可印證行動通訊系統其實是極為脆弱，而有效運作的通訊系統卻是災情傳遞、資源調度以及互助協調是否順利的關鍵因素。 本篇論文所探討的應急通訊系統是利用倖存的連通基地台和斷訊卻沒有損毀的基地台，以無線電連接起來建構一個臨時性的通訊系統，稱為應急蜂巢式行動通訊網路(Contingency Cellular Network，CCN)。由於CCN的連外頻寬有限，大量話務將造成通訊系統壅塞，影響重要訊息傳遞，且災區各個地方受災情況不盡相同，使得 CCN 的頻寬資源需視各地災情緊急程度與需求進行規劃配置，以充分發揮頻寬效益傳遞重要資訊。本論文主要在探討如何在CCN網路拓樸已決定的情況下進行頻寬分配，以達到最大的救災效益。因此我們提出一適合 CCN 樹狀結構的頻寬分配優化模型，以追求救災效益的最大化，這個模型可供使用者(救災指揮單位)系統化的解決 CCN 頻寬分配問題。 本論文所提出的頻寬分配模型包含 CCN 樹狀拓樸、基地台數目、可用之連外頻寬資源限制、各基地台Backhaul頻寬限制、基本頻寬需求限制、差異化之通訊品質通道和效益遞減函數。我們證明此模型是NP-Hard問題，並提出一個考慮各基地台的災情緊急程度以及通訊品質需求差異而進行快速頻寬分配的演算法，此演算法透過計算頻寬分配總救災效益決定優劣。經實驗，可快速得出接近最佳解的頻寬分配結果。 / When stricken by a large-scale disaster, the efficiency of disaster response operation is very critical to life saving. We propose to build a contingency cellular network to support emergency communication in large scale natural disasters by connecting disconnected base stations. This thesis addresses the bandwidth allocation problem. The advance of mobile communication technologies has brought great convenience to users. Cellular phone becomes the first communication tool most people would use in emergency. However, cellular networks were usually crashed in earthquake, typhoons or other natural disasters due to power outage or backhaul breakage. Unfortunately, the efficiency of communication system is a critical factor to the success of disaster response operation such as resource allocation as well as coordination of rescue and relief operations. We designed a contingency cellular network (CCN) by connecting physically intact but service-disrupted base stations together with wireless links. As the bandwidth resource in CCN is limited, a smart bandwidth allocation to facilitate prioritized bandwidth sharing will maximize the contribution of CCN to the disaster response operation. We model the CCN Bandwidth Allocation Problem into a Nested 0-1 Knapsack Problem aiming to maximize disaster operation efficiency. The problem is proven to be NP Hard. We also design an efficient heuristic algorithm to solve the problem when it is needed in urgent.

This paper deals with various approaches to solving optimization tasks. In prolog some examples from real life that show the application of optimization methods are given. Then term optimization task is defined and introducing of term fitness function which is common to all optimization methods follows. After that approaches by particle swarm optimization, ant colony optimization, simulated annealing, genetic algorithms and reinforcement learning are theoretically discussed. For testing we are using two discrete (multiple knapsack problem and set cover problem) and two continuous tasks (searching for global minimum of Ackley's and Rastrigin's function) which are presented in next chapter. Description of implementation details follows. For example description of solution representation or how current solutions are changed. Finally, results of measurements are presented. They show optimal settings for parameters of given optimization methods considering test tasks. In the end are given test tasks, which will be used for finding optimal settings of given approaches.

La conception de réseaux est un riche sous-domaine de l'optimisation combinatoire ayant de nombreuses applications pratiques. Du point de vue méthodologique, la plupart des problèmes de cette classe sont notoirement difficiles en raison de leur nature combinatoire et de l'interdépendance des décisions qu'ils impliquent. Ce mémoire aborde deux problèmes de conception de réseaux dont les structures respectives posent des défis bien distincts. Tout d'abord, nous examinons un problème déterministe dans lequel un client doit acquérir au prix minimum un certain nombre d'unités d'un produit auprès d'un ensemble de fournisseurs proposant différents coûts fixes et unitaires, et dont les stocks sont limités. Ensuite, nous étudions un problème probabiliste dans lequel une entreprise entrant sur un marché existant cherche, en ouvrant un certain nombre d'installations parmi un ensemble de sites disponibles, à maximiser sa part espérée d'un marché composé de clients maximisant une fonction d'utilité aléatoire. Ces deux problèmes, soit le problème de transport à coût fixe à un puits et le problème d'emplacement d'installations compétitif basé sur les choix, sont étroitement liés au problème du sac à dos et au problème de couverture maximale, respectivement. Nous introduisons de nouvelles reformulations prenant avantage de ces connexions avec des problèmes classiques d'optimisation combinatoire. Dans les deux cas, nous exploitons ces reformulations pour démontrer de nouvelles propriétés théoriques et développer des méthodes de résolution efficaces. Notre nouvel algorithme pour le problème de transport à coûts fixes à un puits domine les meilleurs algorithmes de la littérature, réduisant le temps de résolution des instances de grande taille jusqu'à quatre ordres de grandeur. Une autre contribution notable de ce mémoire est la démonstration que la fonction objectif du problème d'emplacement d'installations compétitif basé sur les choix est sous-modulaire sous n'importe quel modèle de maximisation d’utilité aléatoire. Notre méthode de résolution basée sur la simulation exploite cette propriété et améliore l'état de l'art pour plusieurs groupes d'instances. / Network design is a rich subfield of combinatorial optimization with wide-ranging real-life applications. From a methodological standpoint, most problems in this class are notoriously difficult due to their combinatorial nature and the interdependence of the decisions they involve. This thesis addresses two network design problems whose respective structures pose very distinct challenges. First, we consider a deterministic problem in which a customer must acquire at the minimum price a number of units of a product from a set of vendors offering different fixed and unit costs and whose supply is limited. Second, we study a probabilistic problem in which a firm entering an existing market seeks, by opening a number of facilities from a set of available locations, to maximize its expected share in a market composed of random utility-maximizing customers. These two problems, namely the single-sink fixed-charge-transportation problem and the choice-based competitive facility location problem, are closely related to the knapsack problem and the maximum covering problem, respectively. We introduce novel model reformulations that leverage these connections to classical combinatorial optimization problems. In both cases, we exploit these reformulations to prove new theoretical properties and to develop efficient solution methods. Our novel algorithm for the single-sink fixed-charge-transportation problem dominates the state-of-the-art methods from the literature, reducing the solving time of large instances by up to four orders of magnitude. Another notable contribution of this thesis is the demonstration that the objective function of the choice-based competitive facility location problem is submodular under any random utility maximization model. Our simulation-based method exploits this property and achieves state-of-the-art results for several groups of instances.