Mit der Entwicklung von Verfahren zur Erzeugung dreidimensionaler Bilder ergeben sich für die Bildverarbeitung in der Medizin neue Forschungsgebiete. Bei Datensätzen, die die Hirnoberfläche darstellen, steht neben der Visualisierung die Auswertung der Datensätze im Interesse der Forschung. Die Auswertung von Oberflächendaten, die in Form von Polygonnetzen vorliegen, umfaßt unter anderem die Segmentierung und die Vermessung von Abschnitten der Hirnoberfläche. Eine Automatisierung der Segmentierung ist nur in begrenztem Umfang möglich, daher ist eine manuelle Bearbeitung der Oberflächendaten wünschenswert. Für das Max-Planck-Institut für neuropsychologische Forschung wurde ein Programmodul entwickelt, mit dem die Segmentierung und die Vermessungen in einer interaktiven Umgebung durchführbar sind. Das Programmodul wurde in die dort entwickelte Visualisierungsoberfläche IPE integriert. In der Diplomarbeit wurde ein Verfahren zur Polygondatenreduktion implementiert und näher untersucht. Verfahren zur Erzeugung von Oberflächennetzen wie z.B. der Marching Cubes Algorithmus erzeugen oft Datensätze mit einer sehr gro'sen Anzahl an Polygonen. Solche Datensätze sind f'ur eine Visualisierung oder für die Weiterverarbeitung schlecht geeignet. Mit Hilfe von Verfahren zur Polygondatenreduktion kann die zu verarbeitende Datenmenge verringert werden.

Das Anliegen dieser Arbeit ist es, die bekannten expliziten Reziprozitätsgesetze für Hilbertsymbole in Erweiterungskörpern Qp(³) von Qp, wobei ³ eine primitive m-te Einheitswurzel ist, zu formulieren und zu beweisen. Dabei werden zwei Fälle unterschieden. Zum einen der Fall, dass m teilerfremd zu p ist (vgl. Abschnitt 3.3), und zum anderen der Fall, dass m = pn+1 eine Potenz einer Primzahl p 6= 2 ist.

Diese Arbeit beschreibt und untersucht einige der bild- verarbeitenden und statistisch-mathematischen Teilprozesse, die insgesamt einmal zur besseren Diagnose degenerativer Hirnerkrankungen, wie z.B. Morbus Alzheimer, beitragen können. Sie beschäftigt sich mit dem Schritt der Segmentation der Hirnoberfläche in Kronen- und Fundusregionen aus einer bereits vorliegenden Triangulierung derselben.

Benutzer moderner Webanwendungen verlangen von diesen Interaktionsmöglichkeiten, wie sie von Desktopanwendungen bekannt sind. Aufgrund der Limitierungen der zugrunde liegenden Technologien war es bisher nicht möglich, diese neuen Möglichkeiten zu implementieren. Mit dem Aufkommen Ajax-basierter Nutzerinteraktion können die Defizite der Technologien verdeckt und dynamischere Webanwendungen, die unmittelbar auf Aktionen des Benutzers reagieren entwickelt werden.

Grund und Boden genießt in unserer Gesellschaft einen hohen Stellenwert. Grundbuchsysteme, die zur Verwaltung dieser Ressource geschaffen wurden, werden deshalb mit großem Aufwand gepflegt. In dieser Arbeit wird, basierend auf einer modernen Variante des auf John McCarthy zurückgehenden Situationskalküls, ein formales Modell eines Grundbuchsystems mit den Mitteln der Wissensrepräsentation erstellt und prototypisch implementiert.

Viele Wissenschafts- und Ingenieursdisziplinen, wie Mikroskopie, medizinische Diagnostik, Astronomie oder Maschinenbau, nutzen die Methoden und Techniken der Bildverarbeitung, um bestimmte Objekte darzustellen, zu zählen, zu vermessen und Ähnliches. Eine häufig genutzte Technik in der digitalen Bildverarbeitung ist die Bildregistrierung. Darunter versteht man Methoden, die es ermöglichen, zwei oder mehrere Bilder derselben Szene, oder zumindest ähnlicher Szenen, bestmöglich in Übereinstimmung miteinander zu bringen. Mit anderen Worten, beim Registrierungsproblem geht es darum, eine Übereinstimmung zwischen den Punkten zweier oder mehrerer Bilder herzustellen.

Die Arbeit versucht Einblick in die Methodik der Populationsmodellierung aus dem Blickwinkel der Funktionalanalysis zu verschaffen. Wir überlegen uns ein Modell, bei dem die Diffusionsgeschwindigkeit im Punkt x von einem anderen Ort abhängt. Die Funktion, die die Nichtlokalität beschreibt, sei als meßbar vorausgesetzt. Nichtlokale Modelle finden auch Verwendung bei der morphogenetischen Entwicklung von Zellen. Dabei entstehen räumliche Muster, deren Vielfalt man aus der Tierwelt kennt. In dem ersten Kapitel wird ein Nichteindeutigkeitsresultat genannt, das als Gegenbeispiel dienen soll und einen Aufschluß darüber liefert, aus welchen Gründen ein nicht- lokales Problem mehrere voneinander verschiedene Lösungen besitzen kann. Wir werden die Frage nach Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen untersuchen, die den stationären Fall nach Einstellen des Gleichgewichts beschreiben. Nachdem die Existenz unter sehr allgemeinen Bedingungen für den elliptischen Fall gezeigt wird, gehen wir zu der Eindeutigkeit über. Wir bringen einen Beweis unter gewissen Glattheitsvoraussetzungen. Selbstverständlich ist auch das parabolische Analogon der Modellgleichung von Wichtigkeit. Die parabolischen Differentialgleichungen können beispielsweise die zeitli- che Entwicklung von Populationen modellieren. Für die Untersuchung des parabolischen Falls werden wir spezielle Funktionenräume und Integrale einführen. Wir werden den Zu- gang zu vektorwertigen Distributionen aufbauen und dann die dargestellte Theorie zum Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen instationärer Probleme einsetzen. In der Arbeit wird auch die Existenz schwacher Lösungen parabolischer Differentialgleichungen bewiesen. Dann betrachten wir die Frage der Eindeutigkeit bei parabolischen Problemen. Zum Schluß werden Phänomene aus der Biologie und aus der Physik genannt, die mittels nichtlokaler parabolischer Differentialgleichungen modelliert werden können.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Ruinwahrscheinlichkeiten im klassischen Risikomodell, sowie den Auswirkungen von Rückversicherungen auf selbige. Ziel dieser Arbeit wird es zunächst sein, mathematische Formeln zur Berechnung oder Abschätzung der Ruinwahrscheinlichkeit, beziehungsweise ihrem Pendant der Überlebenswahrscheinlichkeit, aufzustellen. Dies ist insbesondere Gegenstand der Ruintheorie, welche ein Teilgebiet der Risikotheorie darstellt. Die Risikotheorie, oder auch Nichtlebensversicherungsmathematik genannt, beschäftigt sich dabei mit Sachversicherungen, die vor allem durch zufällige Anzahl und Höhe von Schäden gekennzeichnet sind.

Die vorliegende Diplomarbeit vergleicht statistische Verfahren und neuronale Netze als Instrumente der Vorhersage von Zeitreihen und zeigt Stärken und Schwächen beider Modelle auf. Der Nachweis wird anhand von Daten aus der Produktionsplanung von Industrieunternehmen sowie aus dem Bereich der Kieferorthopädie geführt. Ausgehend von den Ergebnissen werden Möglichkeiten zur Verbesserung der Vorhersage im Bezug auf die Datenmodellierung sowie die Architektur und die Eigenschaften neuronaler Netze diskutiert, sowie ein Vergleich der prinzipiellen implementierten Netztypen untereinander hinsichtlich der Vorhersagequalität und die Vorhersage betreffender Charakteristika durchgeführt. Im praktischen Teil der vorliegenden Arbeit wurden weitergehend die zur Vorhersage verwendeten neuronalen Netze in einer universell verwendbaren Bibliothek implementiert. Für den obig erwähnten Anwendungsbereich der Produktionsplanung mit Hilfe neuronaler Netze wurde ein kommerziell verwendbares Programmodul entwickelt. In diesem Zusammenhang werden Probleme diskutiert, die insbesondere im praktischen Einsatz neuronaler Netze auftreten können.

Für Modelle zu Lebensversicherungen ist der Verlust zu den Zeitpunkten nach Abschluss des Vertrages eine wichtige Charakteristik. Jedoch ist für das Versicherungsunternehmen die Ausprägung des Verlustes zur Bestimmung von Reserven nötig. In dieser Arbeit wird ein allgemeines Versicherungsmodell betrachtet, in welchem die Kenntnis der Lebensdauerverteilung unscharf ist. Es ergibt sich die Frage, wie in diesem Fall die Höhe des Verlustes abzuschätzen ist. Zur Beschreibung der Versicherungsmodelle werden Eigenschaften von Funktionen von beschränkter Variation benötigt.