The rewrite relation with parameters m and n and with the possible length limit = k or :::; k we denote by w~, =kW~· or ::;kw~ respectively. The idempotency languages generated from a starting word w by the respective operations are wD<l::', w=kD<l::' and W<;kD<l::'.Also other special cases of idempotency languages besides duplication have come up in different contexts. The investigations of Ito et al. about insertion and deletion, Le., operations that are also observed in DNA molecules, have established that w5 and w~ both preserve regularity.Our investigations about idempotency relations and languages start out from the case of a uniform length bound. For these relations =kW~ the conditions for confluence are characterized completely. Also the question of regularity is -k n answered for aH the languages w- D<lm . They are nearly always regular. Only the languages wD<lo for n > 1 are more complicated and belong to the class of context-free languages.For a generallength bound, i.e."for the relations :"::kW~, confluence does not hold so frequently. This complicatedness of the relations results also in more complicated languages, which are often non-regular, as for example the languages W<;kD<l::' for aH bounds k 2 4. For k :::; 2 they are regular. The case of k :::; 3, though, remains open. We show, however, that none of these languages ever exceeds the complexity of being context-free.Without any length bound, idempotency relations have a very complicated structure. Over alphabets of one or two letters we still characterize the conditions for confluence. Over three or more letters, in contrast, only a few cases are solved. We determine the combinations of parameters that result in the regularity of wD<l::', when the alphabet of w contains only two letters. Only the case of 2 :::; m < n remains open.In a second chapter sorne more involved questions are solved for the special case of duplication. First we shed sorne light on the reasons why it is so difficult to determine the context-freeness ofduplication languages. We show that they fulfiH aH pumping properties and that they are very dense. Therefore aH the standard tools to prove non-context-freness do not apply here.The concept of root in Formal Language ·Theory is frequently used to describe the reduction of a word to another one, which is in sorne sense elementary.For example, there are primitive roots, periodicity roots, etc. Elementary in connection with duplication are square-free words, Le., words that do not contain any repetition. Thus we define the duplication root of w to consist of aH the square-free words, from which w can be reached via the relation w~.Besides sorne general observations we prove the decidability of the question, whether the duplication root of a language is finite.Then we devise acode, which is robust under duplication of its code words.This would keep the result of a computation from being destroyed by dupli cations in the code words. We determine the exact conditions, under which infinite such codes exist: over an alphabet of two letters they exist for a length bound of 2, over three letters already for a length bound of 1.Also we apply duplication to entire languages rather than to single words; then it is interesting to determine, whether regular and context-free languages are closed under this operation. We show that the regular languages are closed under uniformly bounded duplication, while they are not closed under duplication with a generallength bound. The context-free languages are closed under both operations.The thesis concludes with a list of open problems related with the thesis' topics.

In this thesis we present a compendium of _ve works where discrete mathematics play a key role. The _rst three works describe di_erent developments and applications of the semigroup theory while the other two have more independent topics. First we present a result on semigroups and code e_ciency, where we introduce our results on the so-called Geil-Matsumoto bound and Lewittes' bound for algebraic geometry codes. Following that, we work on semigroup ideals and their relation with the Feng-Rao numbers; those numbers, in turn, are used to describe the Hamming weights which are used in a broad spectrum of applications, i.e. the wire-tap channel of type II or in the t-resilient functions used in cryptography. The third work presented describes the non-homogeneous patterns for semigroups, explains three di_erent scenarios where these patterns arise and gives some results on their admissibility. The last two works are not as related as the _rst three but still use discrete mathematics. One of them is a work on the applications of coding theory to _ngerprinting, where we give results on the traitor tracing problem and we bound the number of colluders in a colluder set trying to hack a _ngerprinting mark made with a Reed-Solomon code. And _nally in the last work we present our results on scientometrics and graphs, modeling the scienti_c community as a cocitation graph, where nodes represent authors and two nodes are connected if there is a paper citing both authors simultaneously. We use it to present three new indices to evaluate an author's impact in the community.

EN CASTELLANO:La localización es una técnica bien conocida en álgebra conmutativa y geometría algebraica. Muchas de las propiedades formales de las localizaciones de módulos son compartidas por otras transformaciones de naturaleza parecida definidas en otros contextos. Este hecho ha conducido a una axiomatización del concepto de funtor de localización en categorías arbitrarias, con una terminología similar a la del álgebra.La implementación de la localización en topología algebraica tuvo sus raíces en los trabajos de Serre y Adams, y se comenzó a formalizar principalmente gracias a las contribuciones de Sullivan y Quillen.Las localizaciones homológicas fueron la vía principal de transporte a la homotopía estable, así como la herramienta principal para el cálculo de los grupos de homotopía estables de las esferas durante muchos años.En las dos últimas décadas ha ido aumentando cada vez más el uso de técnicas del álgebra conmutativa en homotopía estable. La teoría de homotopía estable se centra en el estudio de los espectros y captura una parte esencial de las propiedades homotópicas de los espacios, prescindiendo de los fenómenos peculiares que se dan en dimensiones concretas. El tratamiento axiomático de la categoría estable utilizando el lenguaje de categorías de modelos y categorías trianguladas ha dado lugar a nuevas categorías estables, como la categoría de los espectros simétricos o la categoría de los S-módulos, que permiten trasladar fielmente diversas técnicas y construcciones del álgebra conmutativa a la categoría estable, y trabajar con "espectros anillo" y "espectros módulo" de la misma manera que con sus análogos algebraicos.El objetivo principal de esta memoria es el estudio de los funtores de localización en homotopía estable, centrándose fundamentalmente en las estructuras algebraicas que se conservan bajo la acción de estos funtores. Uno de los resultados centrales de este trabajo establece que bajo hipótesis apropiadas, los funtores de localización en la categoría homotópica estable conservan álgebras sobre opéradas. En particular, transforman espectros anillo en espectros anillo, y espectros módulo sobre un anillo en espectros módulo sobre el mismo espectro anillo (o incluso sobre el localizado de ese espectro). / Localization is a well-known technique in commutative algebra and algebraic geometry. Many of the formal properties of localization of modules are shared by other transformations of similar nature defined in different contexts. This fact has led to an axiomatization of the concept of localization functor in arbitrary categories, with a terminology similar to the one used in algebra.The implementation of localization in algebraic topology had its roots in the work of Serre and Adams, and it begun to formalize thanks to the contributions of Sullivan and Quillen.Homological localizations were the main connection to stable homotopy and a key tool for the computation of the stable homotopy groups of the spheres for many years.In the last two decades the use of commutative algebra techniques in stable homotopy has increased considerably. Stable homotopy theory is focused on the study of spectra and captures an essential part of the homotopical properties of spaces, by forgetting particular phenomena occurring in concrete dimensions. The axiomatic treatment of the stable category using the language of model categories and triangulated categories has produced new stable categories, such as the category of symmetric spectra or the category of S-modules. These new categories allow to translate different techniques and constructions from commutative algebra to the stable category, and to work with "ring spectra" and "module spectra" in the same way as with their algebraic counterparts.The main objective of this thesis is the study of localization functors in stable homotopy and the algebraic structures that these functors preserve. One of the central results of this work states that, under suitable conditions, localization functors in the stable homotopy category preserve algebras over operads. In particular, they send ring spectra to ring spectra, and modules over a ring spectrum to modules over the same ring spectrum (or even over the localization of the ring).

En aquesta tesi estudiem versions refinades del problema invers de la teoria de Galois sobre el cos Q dels racionals, que s'obtenen quan prefixem determinades condicions de ramificació. Ens plantejem, per exemple, les següents qüestions per a un grup finit G :(a)Quin és el mínim natural ram(G) per la qual existeix alguna extensió de Galois de Q ramificada només en ram(G) primers i amb grup de Galois isomorf a G ?(b)Donat un conjunt finit de primers racionals S, existeix alguna realització de G com a grup de Galois d'una extensió de Q no ramificada en S?(c)Existeix alguna extensió de Galois moderadament ramificada i amb grup de Galois Gal(F/Q) isomorf a G?Com a eines utilitzades, destaquem la teoria de cossos de classes, la teoria dels polígons de Newton (aritmètics) i l'especialització d'extensions galoisianes de Q(T) (Teorema d'irreductibilitat de Hilbert,.)Abordem la pregunta (a) per a alguns grups resolubles finits (que sempre admeten resposta afirmativa a (b) i (c)).Per a un l-grup finit G qualsevol (l primer senar), afitem ram(G) per una constant explícita menor o igual que la suma dels nombres de generadors dels factors de la sèrie central inferior de G. A més, generalitzem aquesta fita als grups nilpotents finits d'ordre senar. El punt de partida per a obtenir aquests resultats és la demostració que dóna Serre del Teorema de Scholz-Reichardt.Per a un grup diedral generalitzat G qualsevol, la teoria de cossos de classes d'anell de cossos quadràtics ens permet demostrar que G es realitza com a grup de Galois d'una extensió de Q ramificada en d(G) primers finits. Assumint la validesa de la Hipótesi (H) de Schinzel obtenim el valor de ram(D-sub 2n), per a qualsevol n.Estudiem les qüestions (b) i (c) per a certs grups finits no resolubles. Per al grup alternat A-sub n, considerem primer les realitzacions galoisianes obtingudes com a cossos de descomposició de trinomis racionals. Obtenim caracteritzacions per a l'existència d'aquestes extensions amb diversos comportaments de ramificació prefixats en un conjunt finit de primers. En particular, concloem que (per alguns n) els trinomis no ens permeten respondre a les preguntes (b) i (c) per a G = A-sub n. Sí obtenim resposta (afirmativa) a aquests problemes a partir d'una construcció de Mestre. Demostrem que, per a tot conjunt natural n i tot conjunt finit de primers S, sempre existeixen polinomis mònics de grau n amb coeficients enters, totalment reals, amb grup de Galois A-sub n i discriminant no divisble per cap primer de S.Per als grups de Mathieu M-sub 11 i M-sub 12 i el grup Aut(M-sub22), demostrem l'existència d'especialitzacions moderadament ramificades de realitzacions galoisianes regulars conegudes sobre Q(T). Els exemples triats provenen de construccions obtingudes per l'anomenat mètode de la rigidesa que, segons un suggeriment de Birch, habitualment hauria de donar lloc (per especialització)a extensions de Q salvatgement ramificades. Finalment, considerem problemes d'immersió galoisiana. Demostrem que sempre es pot conservar l'existència d'especializacions moderadament ramificades en resoldre (pròpiament) problemes d'immersió central finits sobre Q(T). Això ens permet respondre afirmativament a la qüestió (c), per a tot grup G extensió central finita d'algun dels grups següents: grups alternats, grups simètrics i els grups de Mathieu M-sub 11 i M-sub 12.Demostrem també que, si K és un cos de característica 0 i G és un grup extensió central finita de A-sub n (n és diferent de 4, 6, 7), aleshores tota extensió de K amb grup de Galois G s'obté per especialització d'alguna realització galoisiana regular de G sobre K(T) (propietat d'aixecament aritmètic). Com a conseqüència d'una generalització d'aquest resultat, G es realitza com a grup de Galois d'alguna extensió de Q en la qual els primers d'un conjunt finit qualsevol prefixat descomponen completament.

DE LA TESIS:El problema objeto de esta memoria tiene su origen en la clásica formula del género para curvas algebraicas planas. Dicha formula expresa el género (efectivo) de una curva algebraica plana en función de su género virtual (o aritmético según algunos autores) y de un término dependiente de las singularidades de la curva.Es bien sabido que los géneros virtual y efectivo de una curva no singular coinciden, de modo que el género efectivo de una curva cualquiera, al ser un invariante birracional, puede entenderse como el género virtual de su modelo no singular. Si se escribe la fórmula del género en la forma g = p + delta donde "g" es el género efectivo y "p" el género virtual, "delta" puede interpretarse como la diferencia entre el género virtual del modelo no singular y el de la propia curvaEl mismo problema puede considerarse para superficies algebraicas si bien el proceso de desingularización de una superficie no es tan sencillo como el de una curva: siguiendo a Zariski, sabemos que puede alcanzarse un modelo no singular de una superficie "S" mediante sucesivas normalizaciones y transformaciones cuadráticas centradas en puntos múltiples. Aun en el caso de una superficie normal, al efectuar una transformación cuadrática centrada en un punto múltiple, puede obtenerse una superficie no normal (por existir una curva múltiple en el primer entorno, por ejemplo). Parece pues justificado realizar un estudio de la variación experimentada por el género virtual en el proceso de normalización y tal es el tema de esta tesis.

En un trabajo no publicado y con vistas a la teoría de cuerpos de clases, J. Tate modificó los grupos "o" de cohomología de un grupo finito G con coeficientes en un G-módulo A, de tal manera que los nuevos grupos obtenidos, los grupos de cohomología de Tate, se pueden combinar en una sola sucesión H(q)(G,A) (-infinito menor que q menor que +infinito), la sucesión derivada completa de G.Bajo un aspecto puramente matemático, la cohomología de Tate presenta dos ventajas: a) es "calculable" a partir de una resolución completa W(q) (-infinito menor que q menor que +infinito) de G (complejo de Tate; existen grupos finitos G -entre ellos todos los cíclicos y cuaterniónicos generalizados- para los cuales H(G,A) es periódica para todo G-módulo A, es decir existe un n natural tal que, para todo i, H(i)(G,A) es más o menos igual a H(i+n)(G,A). Estos grupos, a los que llamaremos periódicos, fueron caracterizados por E. Artin y J. Tate ([1], XII.1). Resulta de esta caracterización que la categoría de los grupos periódicos no es muy vasta, ya que todo p-subgrupo de un grupo periódico G ha de ser forzosamente cíclico o cuaterniónico generalizado, para todo p primo divisor del orden de G. En este trabajo, de naturaleza fundamentalmente topológica, presentamos algunos resultados que conciernen a espacios sobre los que opera un grupo finito, el grupo fundamental del espacio orbital. Para ello realizamos previamente un estudio puramente algebraico de los p-períodos de un grupo p-periódico.Esta memoria está distribuida en tres capítulos. El capítulo 1 agrupa todas las definiciones agrupa todas las definiciones y resultados sobre cohomología de Tate, que necesitamos, así como los teoremas de caracterización de la periodicidad. El capítulo 2 es también de naturaleza puramente algebraica y contiene algunos resultados de Swan y los teoremas que obtenemos referentes a los p-períodos de un grupo p-periódico. El capítulo 3 es estrictamente topológico y, además de la sucesión espectral de Swan, contiene, entre otros, los teoremas topológicos que se deducen como aplicación de los resultados del capítulo 2.

Els convertidors commutats de potència són solucions apropiades per subministrar energia a dispositius electrònics per la seva elevada eficiència i reduït cost. El seu ús extensiu en les últimes dècades ha motivat els investigadors a millorar els seus dissenys i aprofundir en la comprensió del seu comportament el qual, com la majoria de dispositius electrònics de potència, presenta dinàmiques no lineals. Recentment, han aparegut equipaments electrònics que disposen de múltiples càrregues com són els PDA, telèfons mòbils, MP3... Freqüentment, aquestes aplicacions necessiten múltiples alimentacions amb doble polaritat. Els convertidors amb inductor únic i múltiples sortides, Single-Inductor Multiple-Input Multiple-Output (SIMIMO), han esdevingut solucions per subministrar energia a dispositius de baixa potència, com pantalles LCD, i per carregar bateries ja que l'ús d'un sol inductor redueix significativament la mida del convertidor. La inherent naturalesa commutada d'aquests sistemes classifica la seva dinàmica dins el camp de sistemes d'estructura variable, Variable Structure Systems (VSS), els quals també es coneixen com a sistemes suaus a trams, Piecewise Smooth (PWS) systems. Atès que la teoria clàssica per a sistemes suaus no pot explicar completament el seu comportament, en els últims anys s'han dirigit molts esforços cap a la recerca de les propietats de la dinàmica no suau en diferent camps d'aplicació. Aquesta tesi aprofundeix en la caracterització de convertidors SIMIMO, que ens permetrà provar la seva viabilitat. Es proposen dues estratègies de control basades en el conegut control PWM (Pulse Width Modulation). En la primera alternativa, el control ens permet regular un convertidor amb dues entrades i dues sortides (Two-Input Two-Output , SITITO), amb polaritats oposades. En aquest cas, les dues senyals moduladores necessàries són generades sincronitzadament i per aquest motiu, en aquesta tesi ens referirem a aquesta estratègia de control PWM com a SPC (Single Phase Control) en contraposició amb la segona alternativa, la qual serà anomenada IC (Interleaved Control), capaç de regular un número generalitzat de sortides. Aquest control està basat en l'ús de diverses senyals moduladores, tantes com a sortides, les quals s'han desfasat progressivament. La dinàmica dels convertidors SIMIMO, al igual que els convertidors bàsics contínua - contínua, exhibeix una rica varietat de fenòmens, els quals engloben des de bifurcacions suaus, com són les bifurcacions de doblament de període (period doubling bifurcation), Saddle-Node o Hopf, fins a bifurcacions no suaus. Un cop verificada l'existència de dinàmica estable quan els paràmetres s'han seleccionatapropiadament, aquesta tesi aborda la recerca de models amb els quals analitzar la complexa dinàmica dels convertidors en un rang ampli de paràmetres. Es proposen i analitzen alguns models que s'utilitzen complementàriament: els anomenats averaged models, amb els quals es pot analitzar la dinàmica lenta, i els models discrets, capaços de detectar les inestabilitats degudes a la dinàmica ràpida. A més a més, alguns d'aquest models seran definits i analitzats. La seva utilitat s'ha provat no només en la predicció de la estabilitat, sinó també en la caracterització de bifurcacions no suaus presents en el circuit. Es demostra que senzills sistemes lineals a trams de dimensió ú proporcionen expressions analítiques per a les condicions d'estabilitat y existència de punts fixos. Per finalitzar, es desenvolupen mapes de dimensió més elevada per tal d'incrementar la precisió de les prediccions obtingudes mitjançat els averaged models i els models discrets. L'anàlisi discreta del convertidor SITITO governat per cadascuna d'aquestes estratègies ha revelat que la dinàmica por ser modelada per un sistema lineal a trams en un rang específic de paràmetres. Fins on sabem, la bibliografia proporcionada sobre mapes PWL inclou tant mapes continus com discontinus, encara que limitats a dos trams. Per tant, aquesta tesi contribueix en el camp de la dinàmica no suau amb el desenvolupament de les propietats d'un mapa de tres trams. Respecte al control IC, s'ha obtingut una anàlisi general de la seva estabilitat per a un convertidor SIMIMO amb un nombre genèric de càrregues. L'estudi de l'estabilitat del model discret de dimensió ú ha revelat l'existència d'un tipus de bifurcació no suau la qual ha estat classificada con una non-smooth pitchfork atesa l'aparició de nous punts fixos després de produir-se la bifurcació. Una anàlisi més detallada de models discrets de dimensions més elevades, associa aquesta bifurcació a una Neimark-Sacker. Finalment, aquesta tesi també inclou alguns resultats experimentals obtinguts amb un prototip d'un convertidor SITITO, per tal de validar els escenaris trobats en l'anàlisi del comportament dinàmic del convertidor regulat per les dues estratègies de control. / Switching power converters are known to be appropriate solutions to supply energy to electronic devices owing to their high efficiency and low cost. Their extensive use in the last decades has motivated researches to improve their designs and to go deeply into the comprehension of their behavior which, like most power electronic devices, exhibit nonlinear dynamics. More recently, electronic equipments containing multiple loads have been arisen such as PDA, mobile phones, MP3... These applications frequently require multiple supplies with different polarities. Single-Inductor Multiple-Input Multiple-Output (SIMIMO) switching dc-dc converters are becoming as solutions to supply low power devices as LCD displays and to charge batteries due to the significant reduction of size because the use of a single inductor. The inherent switching nature of these systems classifies their dynamics into the field of Variable Structure Systems (VSS), which are also known as Piecewise Smooth (PWS) systems. Due to the fact that their dynamics cannot be completely explained with the classical smooth theory, in the last years a lot of effort has been addressed towards the research on a theory of non-smooth dynamics motivated by different fields of application. This dissertation deals with the dynamical characterization of SIMIMO converters, which can help us to prove their viability. Two strategies of control, both of them based on the widely used Pulse Width Modulation (PWM) control, are discussed. In the first alternative, the control is used to regulate a Two-Input Two-Output (SITITO) converter with opposite polarity. The two required modulate signals are generated synchronizely. This strategy of PWM control is called in this work Single Phase Control (SPC) in contrast to a second strategy, which is noted here as Interleaved Control (IC), capable of driving a generalized single inductor multiple-input multiple-output converters. This control is based on the use of various modulating signals, equal to the number of outputs, which are progressively time delayed. The dynamics of the SIMIMO converters, just like of the basic dc-dc converters, presents a rich variety of nonlinear phenomena, which covers from smooth bifurcations, such as period doubling, Saddle-Node or Hopf bifurcations, to non-smooth bifurcations. After proving the existence of stable dynamics if appropriate parameters are selected, this dissertation will deal with the investigation of models to analyze the complex dynamics of the converter in a wide range of parameters. Several models are proposed and analyzed in this work. Averaged models, from which slow scale instability condition can be determined, and discrete-time models, able to prove fast scale instabilities, are used in a complementary way. Besides this, several approaches of these models will be established and validated. Their usefulness will be proved not only in the prediction of the stability, but also in the characterization of the non-smooth bifurcations presents in this converter. It will be shown that simple one-dimensional Piecewise-Linear (PWL) models provide analytical expressions for the stability and existence conditions of fixed points of the discrete-time models. Furthermore, higher dimensional maps are developed to improve the accuracy of the predictions obtained by means of one-dimensional maps and averaged models. The discrete-time analysis of a SITITO converter driven by each of the two strategies of control has revealed that its dynamics can be modeled by a PWL with three trams in a specific range of parameters. To our best knowledge, the literature on PWL maps includes continuous and discontinuous maps but is limited to two trams. Therefore, this dissertation is a contribution in the field of non-smooth dynamics in base to the unfolding of specific dynamics of three-piece maps. Concerning the IC control, a generalized analysis of the stability is obtained for a SIMIMO converter with a generic number of loads. The stability analysis of the one-dimensional model has revealed the existence of a type of non-smooth bifurcation, which has been classified in this dissertation as a non-smooth pitchfork owing to the appearance of two new fixed points after undergoing the bifurcation. Detailed analysis in higher dimensional maps associates this bifurcation to a Neimark-Sacker, whose existence cannot be predicted by averaged models. This dissertation also includes some experimental results obtained with a SITITO dc-dc converter prototype, to validate some of the scenarios found in the analysis.

Els models de calibratge multivariant relacionen respostes instrumentals (per exemple, espectres) d'un conjunt de mostres de calibratge amb quantitats de variables físiques o químiques tals com concentració d'analit, o índexs (per exemple, el nombre d'octà en gasolines). Aquesta relació es fa servir per predir aquestes quantitats a partir de les respostes instrumentals de noves mostres desconegudes, mesurades de la mateixa manera. La predicció emprant models de calibratge multivariants està esdevenint un pas comú en els procediments analítics. Per tant, l'habilitat del model de donar prediccions precises i no esbiaixades té una influència decisiva en la qualitat del resultat analític. És important que les mostres de calibratge i els sensors es triïn adequadament de manera que els models pugin representar adequadament el fenomen en estudi i assegurar la qualitat de les prediccions. En aquesta tesi s'ha estudiat la selecció de mostres de calibratge d'un a llista de mostres candidates en regressió sobre components principals (PCR) i la selecció de longituds d'ona en el model de mínims quadrats clàssics (CLS). El fonament l'ha donat la teoria del disseny estadístic d'experiments. En PCR, el nombre mínim de mostres de calibratge es tria emprant les respostes instrumentals de les mostres candidates. La concentració d'analit només cal determinar-la en les mostres seleccionades. S'han proposat diferents usos del criteri d'optimalitat D.En CLS, s'han interpretat diferents criteris per la selecció de longituds d'ona des del punt de vista de l'el·lipsoide de confiança de les concentracions predites. Els criteris també s'han revisat de manera crítica d'acord amb el seu efecte en la precisió, exactitud i veracitat (que s'han revisat d'acord amb les definicions ISO). Basat en la teoria del disseny d'experiments, s'han donat les regles per a la selecció de sensors. A demés, s'ha proposat un nou mètode per a detectar i reduir el biaix en les prediccions de noves mostres predites mitjançant CLS. Conclusions1. Criteris d'optimalitat del disseny d'experiment en MLR s'han aplicat per triar longituds d'ona de calibratge en CLS i el nombre mínim de mostres de calibratge en MLR i PCR a partir de les respostes instrumentals o scores de components principals d'una llista de candidats. Aquests criteris són un alternativa a (i/o complementen) el criteri subjectiu de l'experimentador. Els models construïts amb els punts triats per aquests criteris tenen una menor variància dels coeficients o concentracions i una millor habilitat de predicció que els models construïts amb mostres triades aleatòriament.2. El criteri D s'ha emprat amb èxit per triar mostres de calibratge en PCR i MLR, per triar un grup reduït de mostres per a comprovar la validesa de models de PCR abans d'estandarditzar-los i per triar longituds d'ona en CLS a partir de la matriu de sensibilitats. Les mostres de calibratge que són D òptimes generalment donen models de PCR i MLR amb una millor habilitat de predicció que quan les mostres de calibratge es trien aleatòriament o emprant l'algorisme de Kennard-Stone 3. Cal emprar algorismes d'optimització per trobar, els subconjunts de I punts òptims entre una llista de N candidats. En aquest treball es van emprar els algorismes de Fedorov, de Kennard-Stone i algorismes genètics.4. L'el·lipsoide de confiança de les concentracions estimades i la teoria del disseny d'experiments proporcionen el marc per interpretar l'efecte dels sensors triats amb aquests criteris en els resultats de predicció del model i per definir noves regles per triar longituds d'ona. 5. L'eficàcia dels criteris de selecció en CLS basats en la matriu de calibratge necessiten que no hi hagi biaix en la resposta dels sensors triats. La qualitat de les dades s'ha de comprovar abans de que s'empri el mètode de selecció de longituds d'ona. 6. La senyal analítica neta (NAS) és important pera comprendre el procés de quantificació en CLS i la propagació dels errors a les concentracions predites. S'han emprat diagnòstics tals com la sensibilitat, selectivitat i el gràfic de regressió del senyal analític net (NASRP), que es basen en el NAS d'un analit particular. S'ha vist que la norma del NAS està relacionada amb l'error de predicció. 7. El NASRP és una eina per a detectar gràficament si la resposta mesurada de la mostra desconeguda segueix el model calculat. La concentració estimada és el pendent de la recta ajustada als punts de gràfic. plot. Els sensors amb biaix es poden detectar i els sensors que segueixen el model es poden triar emprant la funció indicador d'Error i un mètode de finestres mòbils. / Multivariate calibration models relate instrumental responses (e.g. spectra) of a set of calibration samples to the quantities of chemical or physical variables such as analyte concentrations, or indexes (e.g. octane number in fuels). This relationship is used to predict these quantities from the instrumental response data of new unknown samples measured in the same manner. Prediction using multivariate calibration models is becoming one common step in the analytical procedure. Therefore, the ability of the model to give precise and unbiased predictions has a decisive influence on the quality of the analytical result. It is important that the calibration samples and sensors be carefully selected so that the models can properly represent the phenomenon under study and assure the quality of the predictions.We have studied the selection of calibration samples from the list of all the available samples in principal component regression (PCR) and the selection of wavelengths in classical least squares (CLS). The underlying basis has been given by experimental design theory. In PCR, the minimum number of calibration samples are selected using the instrumental responses of the candidate samples. The analyte concentration is only determined in the selected samples. Different uses of the D-criterion have also been proposed.In CLS, different criteria for wavelength selection have been interpreted from the point of view of the experimental design using the confidence hyperellipsoid of the predicted concentrations. The criteria have also been critically reviewed according to their effect on precision, accuracy and trueness (which are revised following ISO definitions). Based on the experimental design theory, new guidelines for sensor selection have been given. Moreover, a new method for detecting and reducing bias in unknown samples to be analyzed using CLS.Conclusions1. Optimality criteria derived from experimental design in MLR have been applied to select calibration wavelengths in CLS and the minimum number of calibration samples in MLR and PCR from the instrumental responses or principal component scores of a list of candidates. These criteria are an alternative (and/or a complement) to the experimenter's subjective criterion. The models built with the points selected with the proposed criteria had a smaller variance of the coefficients or concentrations and better predictive ability than the models built with the samples selected randomly 2. The D-criterion has been successfully used for selecting calibration samples in PCR and MLR, for selecting a reduced set of samples to assess the validity of PCR models before standardization and for selecting wavelengths in CLS from the matrix of sensitivities. D optimal calibration samples generally give PCR and MLR models with a better predictive ability than calibration samples selected randomly or using the Kennard-Stone algorithm. 3. Optimization algorithms are needed to find the optimal subsets of I points from a list of N candidates. Fedorov's algorithm, Kennard-Stone algorithm and Genetic Algorithms were studied here. 4. The confidence ellipsoid of the estimated concentrations and the experimental design theory provide the framework for interpreting the effect of the sensors selected with these criteria on the prediction results of the model and for deriving new guidelines for wavelength selection. 5. The efficacy of the selection criteria in CLS based on the calibration matrix requires there to be no bias in the response at the selected sensors. The quality of the data must be checked before a wavelength selection method is used. 6. The net analyte signal (NAS) is important to understand the quantification process in CLS and the propagation of errors to the predicted concentrations. Diagnostics such as sensitivity, selectivity and net analyte signal regression plots (NASRP) which are based on the NAS for each particular analyte have been used. The norm of the NAS has been found to be related to the prediction error . 7. The NASRP is a tool for graphically detecting whether the measured response of the unknown sample follows the calculated model. The estimated concentration is the slope of the straight line fitted to the points in this plot. The sensors with bias can be detected and the sensors that best follow the model can be selected using the Error Indicator function and a moving window method.

This thesis seeks to contribute to a deeper understanding of the moduli spaces M-sub X, H (r; c1,., Cmin{r;n}) of rank r, H-stable vector bundles E on an n-dimensional variety X, with fixed Chern classes c-sub1(E) = csub1 H-super2i ( X , Z) , displaying new and interesting geometric properties of M-sub X, H (r; c1,., Cmin{r;n}) which nicely reflect the general philosophy that moduli spaces inherit a lot of .geometrical properties of the underlying variety X.More precisely, we consider a smooth, irreducible, n-dimensional, projective variety X defined over an algebraically closed field k of characteristic zero, H an ample divisor on X, r >/2 an integer and c-subi H-super2i(X,Z) for i = 1, .,min{r,n}. We denote by M-sub X, H (r; c1,., Cmin{r;n}) the moduli space of rank r, vector bundles E on X, H-stable, in the sense of Mumford-Takemoto, with fixed Chern classes c-subi(E) = c-subi for i = 1, . , min{r, n}.The contents of this Thesis is the following: Chapter 1 is devoted to provide the reader with the general background that we will need in the sequel. In the first two sections, we have collected the main definitions and results concerning coherent sheaves and moduli spaces, at least, those we will need through this work.The aim of Chapter 2 is to establish the enterions of rationality for moduli spaces of rank two, it-stable vector bundles on a smooth, irreducible, rational surface X that will be used as one of our tools for answering Question (1), who is that follows: "Let X be a smooth, irreducible, rational surface. Fix C-sub1 Pic(X) and 0 « c2 Z. Is there an ample divisor H on X such that M-sub X,H(2; Ci, c2) is rational?"In Chapter 3 we prove that the moduli space M-sub X,H(2; Ci, c2) of rank two, H-stable, vector bundles E on a smooth, irreducible, rational surface X, with fixed Chern classes C-sub1(E) = C-sub1 Pic(X) and 0 « C-sub2«(E) Z is a smooth, irreducible, rational, quasi-projective variety (Theorem 3.3.7) which solves Question (1).In Chapter 4 we study moduli spaces (M-sub X,H(2; Ci, c2)) of rank r, H-stable vector bundles on either minimal rational surfaces or on algebraic K3 surfaces.In Chapter 5 we deal with moduli spaces M-sub x,l (2;Ci,C2) of rank two, L-stable vector bundles E, on P-bundles of arbitrary dimension, with fixed Chern classes.

Given a compensated Poisson process $(X_t)_{t \geq 0}$ based on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, the Wiener-Poisson isomorphism $\mathcal{W} : \mathfrak{F}_+(L^2 (\mathbb{R}_+)) \to L^2 (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ is constructed. We restrict the isomorphism to $\mathfrak{F}_+(L^2 [0,1])$ and prove some novel properties of the Poisson exponentials $\mathcal{E}(f) := \mathcal{W}(e(f))$. A new proof of the result $\Lambda_t + A_t + A^{\dagger}_t = \mathcal{W}^{-1}\widehat{X_t} \mathcal{W}$ is also given. The analogous results for $\mathfrak{F}_+(L^2 (\mathbb{R}_+))$ are briefly mentioned. The concept of a compensated Poisson process over $\mathbb{R}_+$ is generalised to any measure space $(M, \mathcal{M}, \mu)$ as an isometry $I : L^2(M, \mathcal{M}, \mu) \to L^2 (\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ satisfying certain properties. For such a generalised Poisson process we recall the construction of the generalised Wiener-Poisson isomorphism, $\mathcal{W}_I : \mathfrak{F}_+(L^2(M)) \to L^2 (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, using Charlier polynomials. Two alternative constructions of $\mathcal{W}_I$ are also provided, the first using exponential vectors and then deducing the connection with Charlier polynomials, and the second using the theory of reproducing kernel Hilbert spaces. Given any measure space $(M, \mathcal{M}, \mu)$, we construct a canonical generalised Poisson process $I : L^2 (M, \mathcal{M}, \mu) \to L^2(\Delta, \mathcal{B}, \mathbb{P})$, where $\Delta$ is the maximal ideal space, with $\mathcal{B}$ the completion of its Borel $\sigma$-field with respect to $\mathbb{P}$, of a $C^*$-algebra $\mathcal{A} \subseteq \mathfrak{B}(\mathfrak{F}_+(L^2(M)))$. The Gelfand transform $\mathcal{A} \to \mathfrak{B}(L^2(\Delta))$ is unitarily implemented by the Wiener-Poisson isomorphism $\mathcal{W}_I: \mathfrak{F}_+(L^2(M)) \to L^2(\Delta)$. This construction only uses operator algebra theory and makes no a priori use of Poisson measures. A new Fock space proof of the quantum Ito formula for $(\Lambda_t + A_t + A^{\dagger}_t)_{0 \leq t \leq 1}$ is given. If $(F_{\ \! \! t})_{0 \leq t \leq 1}$ is a real, bounded, predictable process with respect to a compensated Poisson process $(X_t)_{0 \leq t \leq 1}$, we show that if $M_t = \int_0^t F_s dX_s$, then on $\mathsf{E}_{\mathrm{lb}} := \mathrm{linsp} \{ e(f) : f \in L^2_{\mathrm{lb}}[0,1] \}$, $\mathcal{W}^{-1} \widehat{M_t} \mathcal{W} = \int_0^t \mathcal{W}^{-1} \widehat{F_s} \mathcal{W} (d\Lambda_s + dA_s + dA^{\dagger}_s),$ and that $(\mathcal{W}^{-1} \widehat{M_t} \mathcal{W})_{0 \leq t \leq 1}$ is an essentially self-adjoint quantum semimartingale. We prove, using the classical Ito formula, that if $(J_t)_{0 \leq t \leq 1}$ is a regular self-adjoint quantum semimartingale, then $(\mathcal{W} \widehat{M_t} \mathcal{W}^{-1} + J_t)_{0 \leq t \leq 1}$ is an essentially self-adjoint quantum semimartingale satisfying the quantum Duhamel formula, and hence the quantum Ito formula. The equivalent result for the sum of a Brownian and Poisson martingale, provided that the sum is essentially self-adjoint with core $\mathsf{E}_{\mathrm{lb}}$, is also proved.