No description available.

The thesis Witt Groups of Complex Varieties studies and compares two related cohomology theories that arise in the areas of algebraic geometry and topology: the algebraic theory of Witt groups, and real topological K-theory. Specifically, we introduce comparison maps from the Grothendieck-Witt and Witt groups of a smooth complex variety to the KO-groups of the underlying topological space and analyse their behaviour. We focus on two particularly favourable situations. Firstly, we explicitly compute the Witt groups of smooth complex curves and surfaces. Using the theory of Stiefel-Whitney classes, we obtain a satisfactory description of the comparison maps in these low-dimensional cases. Secondly, we show that the comparison maps are isomorphisms for smooth cellular varieties. This resultapplies in particular to projective homogeneous spaces. By extending knowncomputations in topology, we obtain an additive description of the Witt groups of all projective homogeneous varieties that fall within the class of hermitian symmetric spaces.

The Jiang-Su algebra Z and the notion of Z-stability (i.e. tensorial absorption of the Jiang-Su algebra) are now widely acknowledged to be of particular importance in the classification and structure theory of separable nuclear C*-algebras. The key results in this thesis are early attempts to explore Z-stability outside the constraints of unital and of nuclear C*-algebras. Standard unitisations of a separable Z-stable C*-algebra are not Z-stable and we therefore explore possible unitisations that preserve Z-stability. We construct the minimal Z-stable unitisation of a separable Z-stable C*-algebra and show that it satisfies an appropriate universal property. An interesting area in which to exploit Z-stability outside of the context of nuclear C*-algebras is the so-called Kadison’s similarity problem. We show that the tensor product of two separable unital C*-algebras has Kadison’s similarity property if one of them is nuclear and admits a unital *-homomorphism from (the building blocks of) the Jiang-Su algebra. An immediate consequence of this is that any separable unital Z-stable C*-algebra also has this property.

We define morphism (E, M)-structures in an abstract category, develop their basic properties and present some examples. We also consider the existence of such factorization structures, and find conditions under which they can be extended to factorization structures for certain classes of sources. There is a Galois correspondence between the collection of all subclasses of X-morphisms and the collection of all subclasses of X-objects. A-epimorphisms diagonalize over A-regular morphisms. Given an (E, M)-factorization structure on a finitely complete category, E-separated objects are those for which diagonal morphisms lie in M. Other characterizations of E-separated objects are given. We give a bijective correspondence between the class of all (E, M)factorization structures with M contained in the class of all X-embeddings and the class of all strong limit operators. We study M-preserving morphisms, M-perfect morphisms and M-compact objects in a morphism (E, M)-hereditary construct, and prove some of their properties which are analogous to the topological ones. / Mathematical Sciences / M. Sc. (Mathematics)

La traducció basada en la sintaxi va sorgir en l'àmbit de la traducció automàtica dels llenguatges naturals. Els sistemes han de modelar les transformacions d'arbres, reordenar parts d'oracions, ser simètrics i posseir propietats com la componibilitat o simetria. Existeixen diverses maneres de definir transformacions d'arbres: gramàtiques síncrones, transductors d'arbres i bimorfismes d'arbres. Les gramàtiques síncrones fan tot tipus de rotacions, però les propietats matemàtiques són més difícils de provar. Els transductors d'arbres són operacionals i fàcils d'implementar, però les classes principals no són tancades sota la composició. Els bimorfismes d'arbres són difícils d'implementar, però proporcionen una eina natural per provar componibilitat o simetria. Per millorar el procés de traducció, les gramàtiques síncrones es relacionen amb els bimorfismes d'arbres i amb els transductors d'arbres. En aquesta tesi es duu a terme un ampli estudi de la teoria i les propietats dels sistemes de traducció dirigides per la sintaxi, des d'aquestes tres perspectives molt diferents que es complementen perfectament entre si: com a dispositius generatius (gramàtiques síncrones), com a màquines acceptadores (transductors) i com a estructures algebraiques (bimorfismes). S'investiguen i comparen al nivell de la transformació d'arbres i com a dispositius que defineixen translacions. L'estudi es centra en bimorfismes, amb especial èmfasi en les seves aplicacions per al processament del llenguatge natural. També es proposa una completa i actualitzada visió general sobre les classes de transformacions d'arbres definits per bimorfismes, vinculant-los amb els tipus coneguts de gramàtiques síncrones i transductors d'arbres. Provem o recordem totes les propietats interessants que les esmentades classes posseeixen, millorant així els coneixements matemàtics previs. A més, s'exposen les relacions d'inclusió entre les principals classes de bimorfismes mitjançant un diagrama Hasse, com a dispositius de traducció i com a mecanismes de transformació d'arbres. / La traducción basada en la sintaxis surgió en el ámbito de la traducción automática de los lenguajes naturales. Los sistemas deben modelar las transformaciones de árboles, reordenar partes de oraciones, ser simétricos y poseer propiedades como la composición o simetría. Existen varias maneras de definir transformaciones de árboles: gramáticas síncronas, transductores de árboles y bimorfismos de árboles. Las gramáticas síncronas hacen todo tipo de rotaciones, pero las propiedades matemáticas son más difíciles de probar. Los transductores de árboles son operacionales y fáciles de implementar pero las clases principales no son cerradas bajo la composición. Los bimorfismos de árboles son difíciles de implementar, pero proporcionan una herramienta natural para probar composición o simetría. Para mejorar el proceso de traducción, las gramáticas síncronas se relacionan con los bimorfismos de árboles y con los transductores de árboles. En esta tesis se lleva a cabo un amplio estudio de la teoría y las propiedades de los sistemas de traducción dirigidas por la sintaxis, desde estas tres perspectivas muy diferentes que se complementan perfectamente entre sí: como dispositivos generativos (gramáticas síncronas), como máquinas aceptadores (transductores) y como estructuras algebraicas (bimorfismos). Se investigan y comparan al nivel de la transformación de árboles y como dispositivos que definen translaciones. El estudio se centra en bimorfismos, con especial énfasis en sus aplicaciones para el procesamiento del lenguaje natural. También se propone una completa y actualizada visión general sobre las clases de transformaciones de árboles definidos por bimorfismos, vinculándolos con los tipos conocidos de gramáticas síncronas y transductores de árboles. Probamos o recordamos todas las propiedades interesantes que tales clases poseen, mejorando así los previos conocimientos matemáticos. Además, se exponen las relaciones de inclusión entre las principales clases de bimorfismos a través de un diagrama Hasse, como dispositivos de traducción y como mecanismos de transformación de árboles. / Syntax-based machine translation was established by the demanding need of systems used in practical translations between natural languages. Such systems should, among others, model tree transformations, re-order parts of sentences, be symmetric and possess composability or forward and backward application. There are several formal ways to define tree transformations: synchronous grammars, tree transducers and tree bimorphisms. The synchronous grammars do all kind of rotations, but mathematical properties are harder to prove. The tree transducers are operational and easy to implement, but closure under composition does not hold for the main types. The tree bimorphisms are difficult to implement, but they provide a natural tool for proving composability or symmetry. To improve the translation process, synchronous grammars were related to tree bimorphisms and tree transducers. Following this lead, we give a comprehensive study of the theory and properties of syntax-directed translation systems seen from these three very different perspectives that perfectly complement each other: as generating devices (synchronous grammars), as acceptors (transducer machines) and as algebraic structures (bimorphisms). They are investigated and compared both as tree transformation and translation defining devices. The focus is on bimorphisms as they only recently got again into the spotlight especially given their applications to natural language processing. Moreover, we propose a complete and up-to-date overview on tree transformations classes defined by bimorphisms, linking them with well-known types of synchronous grammars and tree transducers. We prove or recall all the interesting properties such classes possess improving thus the mathematical knowledge on synchronous grammars and/or tree transducers. Also, inclusion relations between the main classes of bimorphisms both as translation devices and as tree transformation mechanisms are given for the first time through a Hasse diagram. Directions for future work are suggested by exhibiting how to extend previous results to more general classes of bimorphisms and synchronous grammars.

An algebra is a typical object of study in pure mathematics. Take a collection of numbers (for example, all whole numbers or all decimal numbers). Inside, you can add and multiply, but with respect to these operations different collections can behave differently. Here is an example of what I mean by this. The collection of whole numbers is called Z. Starting anywhere in Z you can get to anywhere else by adding other members of the collection: 9 + (-3) + (-6) = 0. This is not true with multiplication; to get from 5 to 1 you would need to multiply by 1/5 and 1/5 doesn’t exist in the restricted universe of Z. Enter R, the collection of all numbers that can be written as decimals. Now, if you start anywhere—apart from 0—you can get to anywhere else by multiplying by members of R—if you start at zero you’re stuck there. By adjusting what you mean by ‘add’ and ‘multiply’, you can add and multiply other things too, like polynomials, transformations or even symmetries. Some of these collections look different, but behave in similar ways and some look the same but are subtly different. By defining an algebra to be any collection of things with a rule to add and multiply in a sensible way, all of these examples (and many more you can’t imagine) can be treated in general. This is the power of abstraction: proving that an arbitrary algebra, A, has some property implies that every conceivable algebra (including Z and R) has that property too. In order to start navigating this universe of algebras it is useful to group them together by their behaviour or by how they are constructed. For example, R belongs to a class called simple algebras. There are mental laboratories full of machinery used to construct new and interesting algebras from old ones. One recipe, invented by Ivan Cherednik in 1993, produces Cherednik algebras. Attached to each algebra is a collection of modules (also called representations). As shadows are to a sculpture, each module is a simplified version of the algebra, with a taste of its internal structure. They are not algebras in their own right: they have no sense of multiplication, only addition. Being individually simple, modules are often much easier to study than the algebra itself. However, everything that is interesting about an algebra is captured by the collective behaviour of its modules. The analogy fails here: for example, shadows encode no information about colour. Sometimes the interplay between its modules leads to subtle and unexpected insights about the algebra itself. Nobody understands what the modules for Cherednik algebras look like. One first step is to simplify the problem by only considering modules which behave ‘nicely’. This is what is referred to as category O. Being Koszul is a rare property of an algebra that greatly helps to describe its behaviour. Also, each Koszul algebra is mysteriously linked with another called its Koszul dual. One of the main results of the thesis is that, in some cases, the modules in category O behave as if they were the modules for some Koszul algebra. It is an interesting question to ask, what the Koszul dual might be and what this has to do with Cherednik’s recipe. Geometers study tangled, many-dimensional spaces with holes. In analogy with the algebraic world, just as algebraists use modules to study algebras, geometers use sheaves to study their spaces. Suppose one could construct sheaves on some space whose behaviour is precisely the same as Cherednik algebra modules. Then, for example, theorems from geometry about sheaves could be used to say something about Cherednik algebra modules. One way of setting up this analogy is called localisation. This doesn’t always work in general. The last part of the thesis provides a rule for checking when it does.

En aquest treball, estudiarem diferents exemples de construccions d'anells i de monoides. En cada cas hem intentat fer notables les idees en la construcció per generadors i relacions. Una eina que utilitzarem bastant per a trobar formes normals a partir de presentacions de monoides és el Lema del Diamant [15, Theorem I.4.9]. En altres casos, no obtenim formes normals d'elements pròpiament dites, però podem aconseguir expressions per als elements que no són úniques però si conserven certes propietats. En altres casos, ens és molt útil de?nir funcions sobre els generadors d'un anell per poder treballar amb l'estructura graduada de l'anell i les components homogènies dels elements. Els exemples que tractarem, seran anells i monoides amb condicions de cadena. Tractar les condicions de cadena amb generadors i relacions ens planteja la di?cultat de que generalment ens calen una quantitat in?nita d'aquests. Això fa que l'exemple vingui presentat per molts generadors i moltes relacions.

S'estudien els anells (associatius i no necessàriament commutatius) tals que tot mòdul sobre aquest anell és imatge homomòrfica d'una suma directa de còpies de qualsevol mòdul finitament generat amb anullador no nul. Aquests anells s'anomenen finitament Pseudo-Frobenius o FPF.En la memòria es caracteritzen els anells FPF semiprimers i s'estudien els seus centres. S'analitza el comportament dels anells FPF, i el d'altres classes relacionades d'anells, sota construccions standard: anells de polnomis, anells de sèries de potències, anells de grup i anells d'invariants per l'acció d'un grup. / We study the class of rings (associative and not necessarily commutative) such that any module is a homomorphic image of a direct sum of copies of any faithful and finitely generated module. Such rings are known as finitely Pseudo-Frobenius, FPF for short. In the thesis FPF semiprime rings are characterized and a detailed study of their center is made. The core of the work studies the behaviour of FPF rings, and related classes of rings, under standard constructions: polynomial rings, power series rings, group rings and the rings of invariants by a group action.

Aquesta memona està dedicada a l'estudi dels nombres d'extensions abelianes en dos casos importants. En el primer capítol treballem en el cas local. Sigui K una extensió finita de Q(p); M. Krasner el 1.966 i J-P. Serre el 1.978 varen obtenir el nombre de totes les extensions de K de grau donat. En aquesta memòria estudiem els següents problemes:Problema 1.- Donats enters positius e,n:a) caracteritzar en quins casos és no buit el conjunt M(ab)(n,e;K) de totes les extensions abelianes de grau "n" de K amb índex de ramificació e;b) calcular el cardinal a(n,e;K) de M(ab)(n,e;K), per a totes les parelles (n,e);c) calcular el nombre a(n;K) de totes les extensions abelianes de grau "n" de K.Seguidament introduïm la funció generatriu de tots els nombres a(n;K), nombres que posem com a coeficients d'una sèrie de Dirichlet.Problema 2.- Estudiar aquesta funció generatriu; especialment, la seva extensió meromorfa a tot el pla complex i els seus pols.En els capítols II i III treballem en el cas en què el cos base és el cos Q dels nombres racionals. Fixem un conjunt finit P = {p(1),p(2),...,p(k)} d'enters primers p(i) <p(i+1) i definim els conjuntsM(ab)(n;P) = {K/Q:K/Q abeliana, [K:Q] = n i K/Q no ramificada fora de P},iM(ab)(n, e, P)={K pertany a (M)(ab)(n;P): e(pi)(K/Q)=e(i, 1 -/= i -/= k}, on e = (e(1),e(2),...,e(k)) és un vector format per enters e(1)> 1.Estudiem, aleshores, els següents problemes:Problema 1'.- Donats P, e, n:a) caracteritzar quan> (M)ab(n, e, P) és no buit;b) calcular el cardinal de M(ab)(n, e, P);c) caracteritzar quan M(ab)(n;P) és no buit;d) calcular el cardinal, a(n;P) de M(ab)(n;P).Introduïm també la funció generatriu dels nombres a(n;P).Problema 2'.- Estudiar aquesta funció generatriu, com en el cas local.Tots els resultats de teoria de grups que necessitem s'inclouen en un apèndix. Tracten del nombre de subgrups d'un p-grup abelià finit que satisfan certes condicions. Tot i que les solucions d'alguns d'aquests problemes són conegudes, en donem aquí una solució completa de manera que els resultats es puguin aplicar directament als problemes de cossos plantejats. / This memory is devoted to the study of the number of abelian extensions in two important cases. In the first chapter we work in the local case. Let K be a finite extension of Q(p); M. Krasner in 1.966 and J.P. Serre in 1.978 have obtained the number of all extensions of K with given degree.

En esta tesis se estudia la extensión del concepto de Super-carácter, introducido originariamente para grupos de matrices unitriangulares, a grupos de la forma G=1+J, con J el radical de Jacobson de un álgebra asociativa de dimensión finita. Este concepto se extiende también al caso en el que el álgebra se sustituye por un R-módulo libre con R un anillo de Galois.Por último, se definen un nuevo tipo de códigos cuánticos correctores de errores: los códigos de Clifford producto y se estudian sus propiedadescorrectoras.