Cette thèse est dédiée au développement d'outils mathématiques innovants améliorant la modélisation en électrophysiologie cardiaque.Une présentation du modèle bidomaine - un système réaction-diffusion - à domaine fixé est proposée en s'appuyant sur la littérature et une justification mathématique du processus d'homogénéisation (convergence «2-scale») est donnée. Enfin, une étude de l'impact des déformations mécaniques dans les lois de conservation avec la théorie des mélanges est faite.Comme les techniques d'imagerie ne fournissent globalement que des surfaces pour les oreillettes cardiaques dont l'épaisseur est très faible, une réduction dimensionnelle du modèle bidomaine dans une couche mince à une formulation posée sur la surface associée est étudiée. À l'aide de techniques développées pour les modèles de coques, une analyse asymptotique des termes de diffusion est faite sous des hypothèses de gradient d'anisotropie fort à travers l'épaisseur. Puis, une modélisation couplée du cœur - asymptotique pour les oreillettes et volumique pour les ventricules - permet la simulation d'électrocardiogramme complet. De plus, les méthodes asymptotiques sont utilisées pour obtenir des résultats de convergence forte pour les modèles de coque-3D.Enfin, afin de «personnaliser» les modèles, une méthode d'estimation est proposée. Les données médicales intégrées dans notre modèle - au moyen d'un filtre d'état de type Luenberger spécialement conçu - sont les cartes d'activation électrique. Ces problématiques apparaissent dans d'autres domaines où les modèles (réaction-diffusion) et les données (position du front) sont similaires, comme la propagation de feux ou la croissance tumorale. / This thesis aims at developing innovative mathematical tools to improve cardiac electrophysiological modeling. A detailed presentation of the bidomain model - a system of reaction-diffusion equations - with a fixed domain is given based on the literature and we mathematically justify the homogenization process using the 2-scale convergence. Then, a study of the impact of the mechanical deformations in the conservation laws is performed using the mixture theory.As the atria walls are very thin and generally appear as thick surfaces in medical imaging, a dimensional reduction of the bidomain model in a thin domain to a surface-based formulation is studied. The challenge is crucial in terms of computational efficiency. Following similar strategies used in shell mechanical modeling, an asymptotic analysis of the diffusion terms is done with assumptions of strong anisotropy through the thickness, as in the atria. Simulations in 2D and 3D illustrate these results. Then, a complete modeling of the heart - with the asymptotic model for the atria and the volume model for the ventricles - allow the simulation of full electrocardiogram cycles. Furthermore, the asymptotic methods are used to obtain strong convergence results for the 3D-shell models.Finally, a specific data assimilation method is proposed in order to «personalize» the electrophysiological models. The medical data assimilated in the model - using a Luenberger-like state filter specially designed - are the maps of electrical activation. The proposed methods can be used in other application fields where models (reaction-diffusion) and data (front position) are very similar, as for fire propagation or tumor growth.

Dans le contexte du développement d'une agriculture durable visant à préserver les ressources naturelles et les écosystèmes, il s'avère nécessaire d'approfondir notre compréhension des processus souterrains et des interactions entre le sol et les racines des plantes.Dans cette thèse, on utilise des outils mathématiques et numériques pour développer des modèles mécanistiques explicites du mouvement de l'eau et des nutriments dans le sol et de l'absorption racinaire, gouvernés par des équations aux dérivées partielles non linéaires. Un accent est mis sur la prise en compte explicite de la géométrie du système racinaire et des processus à petite échelle survenant dans la rhizosphère, qui jouent un rôle majeur dans l'absorption racinaire.La première étude est dédiée à l'analyse mathématique d'un modèle d'absorption du phosphore (P) par les racines des plantes. L'évolution de la concentration de P dans la solution du sol est gouvernée par une équation de convection-diffusion avec une condition aux limites non linéaire à la surface de la racine, que l'on considère ici comme un bord du domaine du sol. On formule ensuite un problème d'optimisation de forme visant à trouver les formes racinaires qui maximisent l'absorption de P.La seconde partie de cette thèse montre comment on peut tirer avantage des récents progrès du calcul scientifique dans le domaine de l'adaptation de maillage non structuré et du calcul parallèle afin de développer des modèles numériques du mouvement de l'eau et des solutés et de l'absorption racinaire à l'échelle de la plante, tout en prenant en compte les phénomènes locaux survenant à l'échelle de la racine unique. / In the context of the development of sustainable agriculture aiming at preserving natural resources and ecosystems, it is necessary to improve our understanding of underground processes and interactions between soil and plant roots.In this thesis, we use mathematical and numerical tools to develop explicit mechanistic models of soil water and solute movement accounting for root water and nutrient uptake and governed by nonlinear partial differential equations. An emphasis is put on resolving the geometry of the root system as well as small scale processes occurring in the rhizosphere, which play a major role in plant root uptake.The first study is dedicated to the mathematical analysis of a model of phosphorus (P) uptake by plant roots. The evolution of the concentration of P in the soil solution is governed by a convection-diffusion equation with a nonlinear boundary condition at the root surface, which is included as a boundary of the soil domain. A shape optimization problem is formulated that aims at finding root shapes maximizing P uptake.The second part of this thesis shows how we can take advantage of the recent advances of scientific computing in the field of unstructured mesh adaptation and parallel computing to develop numerical models of soil water and solute movement with root water and nutrient uptake at the plant scale while taking into account local processes at the single root scale.

Cette thèse est dédiée à l’étude des propriétés de propagation de systèmes de réaction – diffusion issus de la dynamique des populations. Dans la première partie, on étudie la limite de forte compétition de systèmes à deux espèces. À l’aide de la ségrégation spatiale, on détermine le signe de la vitesse de l’onde progressive bistable. La généralisation aux ondes pulsatoires bistables en milieu spatialement périodique est ensuite envisagée afin d’étudier le rôle de l’hétérogénéité spatiale. Après avoir donné une condition suffisante pour l’existence de telles ondes ainsi qu’une condition suffisante pour l’existence d’états stationnaires stables susceptibles au contraire de bloquer l’invasion, on suppose qu’une famille d’ondes pulsatoires existe et on prouve un résultat semblable à celui obtenu en milieu homogène. Dans la seconde partie, des systèmes de type KPP à un nombre arbitraire d’espèces sont considérés. On étudie l’existence d’états stationnaires et d’ondes progressives, les propriétés qualitatives de ces solutions ainsi que la vitesse asymptotique de propagation de certaines solutions du problème de Cauchy. Cela résout des questions ouvertes sur les systèmes de mutation – compétition – diffusion, qui constituent le prototype de système de type KPP. Dans la troisième partie, on revient aux systèmes à deux espèces. Considérant cette fois-ci le cas monostable, on étudie les vitesses asymptotiques de propagation de certaines solutions du problème de Cauchy et, ce faisant, on montre l’existence de solutions décrivant l’invasion d’un territoire inhabité par un compétiteur faible mais rapide suivie de l’invasion de ce territoire par un compétiteur fort mais lent. / This thesis is dedicated to the study of propagation properties of various reaction–diffusion systems coming from population dynamics. In the first part, we study the strong competition limit of competition–diffusion systems with two species. Thanks to the spatial segregation, we determine the sign of the speed of the bistable traveling wave. The generalization to bistable pulsating fronts in spatially periodic media is then considered in order to study the role of spatial heterogeneity. We find a condition sufficient for the existence of such fronts as well as a condition sufficient for the existence of stable steady states which might on the contrary block the propagation. Then we show that whenever a family of strongly competing pulsating fronts exists, we can establish a result very similar to the one obtained in homogeneous media. In the second part, systems of KPP type with any number of species are considered. We study the existence of steady states and traveling waves, the qualitative properties of these solutions as well as the asymptotic speed of spreading of certain solutions of the Cauchy problem. This settles several open questions on the prototypical KPP systems that are mutation–competition–diffusion systems. In the third part, we go back to competition–diffusion systems with two species. Considering this time the monostable case, we study the asymptotic speeds of spreading of certain solutions of the Cauchy problem. By so doing, we show the existence of propagating terraces describing the invasion of an uninhabited territory by a weak but fast competitor followed by the invasion by a strong but slow competitor.