La simulation des phénomènes physiques exige souvent l’utilisation d’une discrétisation du milieu sous forme de maillage. Un exemple de ce type de situation est la simulation d’écoulement de fluides et la simulation du stress géomécanique pour les gisements pétroliers. Dans ces cas, le milieu étudié n’est pas homogène et l'hypothèse sur l’homogénéité de ce milieu peut mener à des résultats incorrects. C’est pourquoi la simulation des hétérogénéités est très importante pour ce genre de problèmes.Cette thèse est consacrée à la simulation géostatistique des hétérogénéités sur les maillages non-structurés par les méthodes géostatistiques non-linéaires. Le but de cette thèse est la création d’algorithmes de simulation des hétérogénéités directement sur les maillages non-structurés, sans utiliser les maillages fins réguliers intermédiaires et de l’upscaling. On présente deux modèles théoriques pour les simulations des variables continues sur les maillages non-structurés qui sont les deux versions différentes du modèle Gaussien discret (DGM) - DGM 1 et DGM 2. Le modèle théorique utilisé dans cette thèse permet de convertir le problème de simulation sur un maillage non-structuré en un problème de simulation d’un vecteur Gaussien multivarié et l’application de fonctions de transformation adaptées pour chaque élément du vecteur. La simulation de faciès est aussi envisagée en utilisant une généralisation des modèles pluri-Gaussiens et Gaussien tronqués pour les maillages non-structurés.L’application des méthodes développées est illustrée sur un gisement pétrolier - le cas d’étude X (gisement du gaz offshore). / Simulations of physical phenomenon often require discretizing the medium with a mesh. An example of this type of simulation is the simulation of fluid flow through a porous medium and the evaluation of the geomechanical stress in the petroleum reservoir. The studied medium is often not homogeneous and applying a homogeneity hypothesis can lead to incorrect simulation results. That makes simulation of heterogeneities important for this kind of problems.This thesis is devoted to geostatistical simulations of heterogeneities on unstructured grids using methods of non-linear geostatistics. The objective of this work is the development of algorithms for simulating heterogeneities directly on unstructured grids without using intermediate fine scale regular grids and upscaling. We present two theoretical models for geostatistical simulations of continuous parameters on unstructured grids which are different generalizations of the Discrete Gaussian model (DGM) – DGM 1 and DGM 2. The proposed theoretical models enable converting the problem of geostatistical simulation on an unstructured grid into the well-studied problem of simulating multivariate Gaussian random vectors followed by application of block-dependent transformation functions. The problem of simulating facies is also addressed in this work, for which generalizations of pluri-Gaussian and truncated Gaussian simulation models for unstructured grids are proposed.An application of the proposed methods is demonstrated on a case study X, which is an offshore gas reservoir with a tartan-meshed grid.

La modélisation structurale consiste à approximer les structures géologiques du sous-sol en un modèle numérique afin d'en visualiser la géométrie et d'y effectuer des calculs d'estimation et de prédiction. L'approche implicite de la modélisation structurale utilise des données de terrain interprétées pour construire une fonction volumétrique sur le domaine d'étude qui représente la géologie. Cette fonction doit honorer les observations, interpoler entre ces dernières, et extrapoler dans les zones sous-échantillonnées tout en respectant les concepts géologiques. Les méthodes actuelles portent cette interpolation soit sur les données, soit sur un maillage. Ensuite, le problème de modélisation est posé selon la discrétisation choisie : par krigeage dual sur les points de donnée ou en définissant un critère de rugosité sur les éléments du maillage. Dans cette thèse, nous proposons une formulation continue de la modélisation structurale par méthodes implicites. Cette dernière consiste à minimiser une somme de fonctionnelles arbitraires. Les contraintes de donnée sont imposées avec des fonctionnelles discrètes, et l'interpolation est contrôlée par des fonctionnelles continues. Cette approche permet de (i) développer des liens entre les méthodes existantes, (ii) suggérer de nouvelles discrétisations d'un même problème de modélisation, et (iii) modifier le problème de modélisation pour mieux honorer certains cas géologiques sans dépendre de la discrétisation. Nous portons également une attention particulière à la gestion des discontinuités telles que les failles et les discordances. Les méthodes existantes nécessitent soit la création de zones volumétriques avec des géométries complexes, soit la génération d'un maillage volumétrique dont les éléments sont conformes aux surfaces de discontinuité. Nous montrons, en explorant des méthodes sans maillage locales et des concepts de réduction de maillage, qu'il est possible d'assurer l'interpolation des structures tout en réduisant les contraintes liées à la gestion des discontinuités. Deux discrétisations de notre problème de minimisation sont suggérées : l'une utilise les moindres carrés glissants avec des critères optiques pour la gestion des discontinuités, et l'autre utilise des fonctions issues de la méthode des éléments finis avec le concept de nœuds fantômes pour les discontinuités. Une étude de sensibilité et une comparaison des deux méthodes sont proposées en 2D, ainsi que quelques exemples en 3D. Les méthodes développées dans cette thèse ont un grand impact en termes d'efficacité numérique et de gestion de cas géologiques complexes. Par exemple, il est montré que notre problème de minimisation au sens large apporte plusieurs solutions pour la gestion de cas de plis sous-échantillonnés et de variations d'épaisseur dans les couches stratigraphiques. D'autres applications sont également présentées tels que la modélisation d'enveloppe de sel et la restauration mécanique. / Implicit structural modeling consists in approximating geological structures into a numerical model for visualization, estimations, and predictions. It uses numerical data interpreted from the field to construct a volumetric function on the domain of study that represents the geology. The function must fit the observations, interpolate in between, and extrapolate where data are missing while honoring the geological concepts. Current methods support this interpolation either with the data themselves or using a mesh. Then, the modeling problem is posed depending on these discretizations: performing a dual kriging between data points or defining a roughness criterion on the mesh elements. In this thesis, we propose a continuous formulation of implicit structural modeling as a minimization of a sum of generic functionals. The data constraints are enforced by discrete functionals, and the interpolation is controlled by continuous functionals. This approach enables to (i) develop links between the existing methods, (ii) suggest new discretizations of the same modeling problem, and (iii) modify the minimization problem to fit specific geological issues without any dependency on the discretization. Another focus of this thesis is the efficient handling of discontinuities, such as faults and unconformities. Existing methods require either to define volumetric zones with complex geometries, or to mesh volumes with conformal elements to the discontinuity surfaces. We show, by investigating local meshless functions and mesh reduction concepts, that it is possible to reduce the constraints related to the discontinuities while performing the interpolation. Two discretizations of the minimization problem are then suggested: one using the moving least squares functions with optic criteria to handle discontinuities, and the other using the finite element method functions with the concept of ghost nodes for the discontinuities. A sensitivity analysis and a comparison study of both methods are performed in 2D, with some examples in 3D. The developed methods in this thesis prove to have a great impact on computational efficiency and on handling complex geological settings. For instance, it is shown that the minimization problem provides the means to manage under-sampled fold structures and thickness variations in the layers. Other applications are also presented such as salt envelope surface modeling and mechanical restoration.

Les modèles géologiques numériques 2D et 3D permettent de comprendre l'organisation spatiale des roches du sous-sol. Ils sont également conçus pour réaliser des simulations numériques afin d’étudier ou de prédire le comportement physique du sous-sol. Pour résoudre les équations qui gouvernent les phénomènes physiques, les structures internes des modèles géologiques peuvent être discrétisées spatialement à l’aide de maillages. Cependant, la qualité des maillages peut être considérablement altérée à cause de l’inadéquation entre, d’une part, la géométrie et la connectivité des objets géologiques à représenter et, d’autre part, les contraintes requises sur le nombre, la forme et la taille des éléments des maillages. Dans ce cas, il est souhaitable de modifier un modèle géologique afin de pouvoir générer des maillages de bonne qualité permettant la réalisation de simulations physiques fidèles en un temps raisonnable. Dans cette thèse, j’ai développé des stratégies de réparation et de simplification de modèles géologiques 2D dans le but de faciliter la génération de maillages et la simulation de processus physiques sur ces modèles. Je propose des outils permettant de détecter les éléments des modèles qui ne respectent pas le niveau de détail et les prérequis de validité spécifiés. Je présente une méthode pour réparer et simplifier des coupes géologiques de manière locale, limitant ainsi l’extension des modifications. Cette méthode fait appel à des opérations d’édition de la géométrie et de la connectivité des entités constitutives des modèles géologiques. Deux stratégies sont ainsi explorées : modifications géométriques (élargissements locaux de l'épaisseur des couches) et modifications topologiques (suppressions de petites composantes et fusions locales de couches fines). Ces opérations d’édition produisent un modèle sur lequel il est possible de générer un maillage et de réaliser des simulations numériques plus rapidement. Cependant, la simplification des modèles géologiques conduit inévitablement à la modification des résultats des simulations numériques. Afin de comparer les avantages et les inconvénients des simplifications de modèles sur la réalisation de simulations physiques, je présente trois exemples d'application de cette méthode : (1) la simulation de la propagation d'ondes sismiques sur une coupe au sein du bassin houiller lorrain, (2) l’évaluation des effets de site liés à l'amplification des ondes sismiques dans le bassin de la basse vallée du Var, et (3) la simulation d'écoulements fluides dans un milieu poreux fracturé. Je montre ainsi (1) qu'il est possible d’utiliser les paramètres physiques des simulations, la résolution sismique par exemple, pour contraindre la magnitude des simplifications et limiter leur impact sur les simulations numériques, (2) que ma méthode de simplification de modèles permet de réduire drastiquement le temps de calcul de simulations numériques (jusqu’à un facteur 55 sur une coupe 2D dans le cas de l’étude des effets de site) tout en conservant des réponses physiques équivalentes, et (3) que les résultats de simulations numériques peuvent être modifiés en fonction de la stratégie de simplification employée (en particulier, la modification de la connectivité d’un réseau de fractures peut modifier les écoulements fluides et ainsi surestimer ou sous-estimer la quantité des ressources produites). / Numerical geological models help to understand the spatial organization of the subsurface. They are also designed to perform numerical simulations to study or predict the rocks physical behavior. The internal structures of geological models are commonly discretized using meshes to solve the physical governing equations. The quality of the meshes can be, however, considerably degraded due to the mismatch between, on the one hand, the geometry and the connectivity of the geological objects to be discretized and, on the other hand, the constraints imposed on number, shape and size of the mesh elements. As a consequence, it may be desirable to modify a geological model in order to generate good quality meshes that allow realization of reliable physical simulations in a reasonable amount of time. In this thesis, I developed strategies for repairing and simplifying 2D geological models, with the goal of easing mesh generation and simulation of physical processes on these models. I propose tools to detect model elements that do not meet the specified validity and level of detail requirements. I present a method to repair and simplify geological cross-sections locally, thus limiting the extension of modifications. This method uses operations to edit both the geometry and the connectivity of the geological model features. Two strategies are thus explored: geometric modifications (local enlargements of the layer thickness) and topological modifications (deletions of small components and local fusions of thin layers). These editing operations produce a model on which it is possible to generate a mesh and to realize numerical simulations more efficiently. But the simplifications of geological models inevitably lead to the modification of the numerical simulation results. To compare the advantages and disadvantages of model simplifications on the physical simulations, I present three applications of the method: (1) the simulation of seismic wave propagation on a cross-section within the Lorraine coal basin, (2) the site effects evaluation related to the seismic wave amplifications in the basin of the lower Var river valley, and (3) the simulation of fluid flows in a fractured porous medium. I show that (1) it is possible to use the physical simulation parameters, like the seismic resolution, to constrain the magnitude of the simplifications and to limit their impact on the numerical simulations, (2) my method of model simplification is able to drastically reduce the computation time of numerical simulations (up to a factor of 55 in the site effects case study) while preserving an equivalent physical response, and (3) the results of numerical simulations can be changed depending on the simplification strategy employed (in particular, changing the connectivity of a fracture network can lead to a modification of fluid flow paths and overestimation or underestimation of the quantity of produced resources).

Ces travaux présentent des avancées théoriques pour l'application de l'approche EDPS (Équation aux Dérivées Partielles Stochastique) en Géostatistique. On considère dans cette approche récente que les données régionalisées proviennent de la réalisation d'un Champ Aléatoire satisfaisant une EDPS. Dans le cadre théorique des Champs Aléatoires Généralisés, l'influence d'une EDPS linéaire sur la structure de covariance de ses éventuelles solutions a été étudiée avec une grande généralité. Un critère d'existence et d'unicité des solutions stationnaires pour une classe assez large d'EDPSs linéaires a été obtenu, ainsi que des expressions pour les mesures spectrales associées. Ces résultats permettent de développer des modèles spatio-temporels présentant des propriétés non-triviales grâce à l'analyse d'équations d'évolution présentant un ordre de dérivation temporel fractionnaire. Des paramétrisations adaptées de ces modèles permettent de contrôler leur séparabilité et leur symétrie ainsi que leur régularité spatiale et temporelle séparément. Des résultats concernant des solutions stationnaires pour des EDPSs issues de la physique telles que l'équation de la Chaleur et l'équation d'Onde sont présentés. Puis, une méthode de simulation non-conditionnelle adaptée à ces modèles est étudiée. Cette méthode est basée sur le calcul d'une approximation de la Transformée de Fourier du champ, et elle peut être implémentée de façon efficace grâce à la Transformée de Fourier Rapide. La convergence de cette méthode a été montrée théoriquement dans un sens faible et dans un sens fort. Cette méthode est appliquée à la résolution numérique des EDPSs présentées dans ces travaux. Des illustrations de modèles présentant des propriétés non-triviales et reliés à des équations de la physique sont alors présentées. / This dissertation presents theoretical advances in the application of the Stochastic Partial Differential Equation (SPDE) approach in Geostatistics. This recently developed approach consists in interpreting a regionalised data-set as a realisation of a Random Field satisfying a SPDE. Within the theoretical framework of Generalized Random Fields, the influence of a linear SPDE over the covariance structure of its potential solutions can be studied with a great generality. A criterion of existence and uniqueness of stationary solutions for a wide-class of linear SPDEs has been obtained, together with an expression for the related spectral measures. These results allow to develop spatio-temporal covariance models presenting non-trivial properties through the analysis of evolution equations presenting a fractional temporal derivative order. Suitable parametrizations of such models allow to control their separability, symmetry and separated space-time regularities. Results concerning stationary solutions for physically inspired SPDEs such as the Heat equation and the Wave equation are also presented. A method of non-conditional simulation adapted to these models is then studied. This method is based on the computation of an approximation of the Fourier Transform of the field, and it can be implemented efficiently thanks to the Fast Fourier Transform algorithm. The convergence of this method has been theoretically proven in suitable weak and strong senses. This method is applied to numerically solve the SPDEs studied in this work. Illustrations of models presenting non-trivial properties and related to physically driven equations are then given.

L’objectif de cette thèse est de proposer un modèle d’érosion diffuse qui intègre les principaux processus de ce phénomène (détachement, transport, sédimentation) et qui prend en compte l’interaction des gouttes de pluie avec ces processus. Dans un premier temps, nous avons établi une loi de détachement par la pluie qui inclut l’effet des gouttes et celui de l’épaisseur de la lame d’eau qui couvre la surface du sol. Pour obtenir cette loi, une étude numérique avec le logiciel Gerris a permis de modéliser les cisaillements créés par l’impact des gouttes sur des épaisseurs de lame d’eau variables. Ces cisaillements estiment la quantité de sol détaché par chaque goutte. Nous avons montré, à travers une étude probabiliste, que les gouttes sont quasiment indépendantes lors du détachement. Les détachements de l’ensemble des gouttes sont donc sommés pour établir la loi de détachement pour la pluie. Par ailleurs, l’étude probabiliste a montré la possibilité d’une forte interaction entre les gouttes de pluie et les particules en sédimentation. Par conséquent, pour le processus de transport-sédimentation, nous avons privilégié une approche expérimentale. Cette étude a révélé que l’effet des gouttes de pluie est d’augmenter la vitesse de sédimentation des particules. Enfin, nous avons proposé un nouveau modèle d’érosion qui généralise plusieurs modèles d’érosion de la littérature et décrit l’évolution des concentrations en sédiments avec des effets linéaires et non-linéaires. Selon le choix des paramètres du modèle, celui-ci peut représenter l’érosion diffuse et concentrée à l’échelle du bassin versant, le transport par charriage dans les rivières ou encore le transport chimique. L’intégration du modèle dans le logiciel de ruissellement FullSWOF est aussi réalisée. / The aim of this work is to formulate an interrill erosion model. This model should take into account the main erosion processes (detachment, transport and sedimentation) and the interaction of raindrops during these processes. First we develop a law for rainfall detachment that includes the effects of the raindrops and the water layer thickness at the soil surface. We use the Gerris software to simulate the shear stresses created by the impacts of raindrops at the soil surface. These shear stresses allow to evaluate the quantity of soil detached by each raindrop. We have shown with a probabilistic approach that raindrops are almost independent during soil detachment. Then by summing all the raindrops detachments we obtain the rainfall detachment law. Futhermore the probabilistic study has revealed the possibility of a strong interaction between raindrops and settling particles. So, we used specific laboratory experiments to investigate the particles transport and sedimentation processes. These experiments show that the effect of raindrops is to increase the particles settling velocity. Finally, we propose a new erosion model which encompasses previous literature erosion models and that can describe the behavior of sediments concentrations with linear and non-linear behaviors. The model is able to simulate interrill and rill erosions at the watershed scale, bedload transport in rivers and chemical transfer. The integration of the model in the FullSWOF runoff software is also carried out.

La zone de Vieux-Habitants rassemble les indices permettant de supposer la présence d’un système hydrothermal de haute température. Les données géophysiques acquises pour la prospection de ce système ne suffisent pas à sa compréhension qui nécessite l’analyse d’analogues. Pour proposer un modèle de système géothermique de cette zone, une analyse multiscalaire de la déformation fragile et une caractérisation des propriétés pétrophysiques des formations volcaniques ont été ménées sur trois paléo systèmes. L’analyse des populations de fractures montre que leur organisation n’est pas régie par une seule loi mathématique. Les faciès volcano-sédimentaires sont peu déformés ou de manière très localisée contrairement aux laves dont les densités de fracturation sont fortes. L’analyse de la distribution des faciès hydrothermalisés par rapport à ces structures indique qu’à l’échelle kilométrique, certaines intersections de failles contrôlent le drainage des fluides et localisent les zones d’altération hydrothermale prononcée. Les faciès sont divisés en grands groupes en fonction de leur nature et de leur degré d’altération. Ils montrent une grande variabilité des propriétés pétrophysiques. A l’état sain, les laves d’une part et les faciès pyroclastiques et de coulées de débris d’autre part, constituent deux groupes bien distincts. L’altération hydrothermale induit une restructuration totale du squelette matriciel et du réseau poreux. Elle permet une forte atténuation du signal magnétique et le développement d’un groupe ayant des propriétés réservoirs intermédiaires en diminuant les propriétés réservoirs des dépôts volcano-sédimentaires et en améliorant celles des laves. Le modèle de réservoir ainsi disponible conjugue des éléments structuraux et des hétérogénéités lithologiques permettant le transfert rapide des fluides, alors que les propriétés matricielles d’origines primaire et secondaire vont plutôt contrôler les propriétés de stockage de fluide et de chaleur. / The Vieux-Habitants area gathers indicators allowing to suppose a high-temperature hydrothermal system. The interpretation of geophysical data acquired for the exploration of this system requires the analysis of analogues. Several hydrothermal paleo-systems were studied in order to propose a conceptual model of a geothermal system for the Vieux-Habitants area. Studies of these analogues are based on a multi-scale study of the brittle deformation and a petrophysical characterization of the different volcanic rocks. The organization of fractures indicates the occurrence of a characteristic scale for each level of observation. Volcano-sedimentary units are far less deformed compared to highly fractured lavas. The brittle deformation in volcano-sedimentary deposits is highly localized in fractured corridors. Some fault intersections control major fluid flow at the kilometer scale. Moreover, the most hydrothermalized rocks are localized in the vicinity of these intersections. Volcanic rocks are divided according to their mechanism of formation (lava, debris flow…) and their degree of alteration. They exhibit strong heterogeneities of petrophysical properties. Fresh rocks are separated in two distinct groups, on one side lavas and on the other side debris flows and pyroclastic deposits. Hydrothermal alteration produces mineralogical replacements involving a complete reorganization of both the matrix skeleton and the pore network. It is marked by a removal of magnetic signal, an increase of porosity and permeability in lavas and a decrease of these properties in debris flows and pyroclastic deposits. Therefore, hydrothermalized rocks form a group with intermediate reservoir properties between the two groups of fresh rocks. The reservoir model combines both structural components and lithological heterogeneities that allow an efficient fluid transfer, whereas the matrix properties of primary and secondary origins will rather control the fluid and heat storage properties.